教学，贴着学生的思维前行

吴小武

【课前思考】

“3的倍数的特征”的学习安排在“2、5的倍数的特征”之后，2、5的倍数特征只要看一个数的个位，而3的倍数特征，需从各位上数的和是否是3的倍数的角度去判断。由于受前者的影响，更因为缺少“将各位上的数相加的和”的学习经验，所以，在探究3的倍数的特征时，学生思维的关注点总是停留在观察一个数的个位上，很难通过举例、观察、猜想、验证等过程，自主探究出3的倍数的特征。另一方面，学生超前学习的现象已越来越普遍。笔者曾做过课前调查，发现任教的两个班，均有近半数的学生课前已经知道了3的倍数的特征，并能运用概念进行判断。当然，知道其中缘由的学生几乎没有。

教学，如何才能贴近学生的思维实际呢？既然学生受认知水平的限制，难以自然想到各位上数的和，何不将探究活动的重心由探究结果转向引导学生由果溯因？何况有那么多学生已事先知道结论了，他们更关注3的倍数的特征为什么要看各位上数的和。虽然小学生由于知识和思维特点的限制，理解现象背后的本质有困难，教材也没有编排这一部分内容，但是3的倍数的特征的数论原理，其基础是借助整除的知识，将整百整十数除以3的过程加以概括，进而得出新的结论。对一个五年级的学生而言，借助除法计算来理解整除的过程，并总结规律应该没有很大的困难。

基于以上思考，笔者开始了新的教学尝试。

【教学实践】

一、复习引入

1.回顾

师：2、5的倍数有什么特征？我们是怎样发现的？

生1：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数；个位上是0或5的数，是5的倍数。

生2：先举出一些2或5的倍数，通过观察发现，这些数的个位是有特征的，然后再举一些更大的数来验证，就归纳出规律了。

师：是的，2、5的倍数的特征，我们是通过举例、观察分析、猜想、验证、归纳等探究过程得到结论的。

2.设疑

师：3的倍数有什么特征？你打算用怎样的方法进行研究？

生3：我打算先举一些3的倍数，然后像探究2、5的倍数的特征一样去研究。

师：哪些同学已预先知道结论了？（有十多个学生举手）你们知道3的倍数为什么有这样的特征吗？（几乎没人举手）好，不知道结论的同学请先自主探究，再与同桌交流；已经知道的同学，想一想结论是怎么得到的。

二、自主探究

1.举例：举出一些3的倍数。

2.观察并思考：3的倍数有什么特征。

3.交流

师：观察3的倍数，你们发现特征了吗？（如课前所料，大多数学生茫然不知）你们在观察时是怎样想的？碰到什么困难了？

生4：2、5的倍数，我们是看个位上的数字，但是3的倍数，个位上0到9都有可能，好像没有规律。

师：个位上找不到规律，想过看其他数位吗？

生4：我发现十位、百位上的数字也没有什么特征。

师：看来，3的倍数不能只看某一位上的数字。再想一想，还能发现什么规律？（多数学生还是满脸疑惑，事先知道结论的学生跃跃欲试）我们请已经知道结论的同学来说说。

4.呈现结论：各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

5.举例验证。

三、深入探究

1.设疑

师：看到3的倍数的特征，你有什么疑问吗？

生5：为什么3的倍数的特征要看各位上的数的和，而2、5的倍数的特征只要看个位上的数字？

2.验证

师：判断一个数是不是3的倍数，可以用这个数除以3，如果没有余数，这个数就是3的倍数。也可以把这个数分解成整百整十数，分别除以3，看是否有余数。以234为例，要判断它是否是3的倍数，可以从这个数的高位除起，先用2个百除以3，每个百都余几？共余几？同样道理，3个10除以3，每个十都余几？共余几？个位上还有4，将余下来的数相加是几？9除以3，没有余数，说明什么？

生6：2个百除以3，每个百都余1，共余2，3个10除以3，每个十都余1，共余3，个位上还有4，将余下来的数相加是9，9除以3，没有余数，说明234是3的倍数。

结合小棒图演示计算过程：

■

师：你能同样的方法分析345是不是3的倍数吗？

生6：3个100除以3，余下3个1；4个10除以3，余下4个1；个位上还有5，将余下的数相加是12，12除以3，没有余数，说明345就是3的倍数。

（学生同桌之间照此思路分析3的倍数）

3.提炼

师：判断一个数是不是3的倍数，需要根据整个数都除以3来判断吗？

生7：不用的，只要看各位上的数除以3以后余下的数的和是不是3的倍数就可以了。

师：但是，前面得出的结论却是看各位上的数的和，这是怎么回事？（引导学生观察刚才的验证过程）

生7：因为各位上的数除以3余下的数恰好与原来数位上的数相同，比如，百位上的数是2，除以3余下的数也是2；十位上是3，除以3余下的数也是3。所以，各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

生8：真巧！原来是这样啊！（就像发现了新大陆，学生兴奋不已）

4.归纳：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。

四、沟通联系

师：通过刚才的学习，我们不但知道了3的倍数的特征，而且还用除法计算对结论进行了验证。想一想，2和5的倍数的特征能用刚才的思路进行分析吗？为什么2和5的倍数的特征只要看个位上的数字？

生9：2、5的倍数的特征也可以用除法计算进行推理证明的，因为整百、整十的数都是2、5的倍数，所以2和5的倍数只要看个位上的数字。endprint

师：看来，3的倍数的特征和2、5的倍数的特征，它们的判断方法是一致的，都可以用除法来进行验证，只是2、5的倍数，整十、整百的数都是它们的倍数，所以只要看个位上的数字。能用这个方法探究其他数的倍数的特征吗？如，4、9的倍数的特征。课后大家可以继续研究。

五、练习巩固

1.判断下面哪些数是3的倍数：45、74、236、876、3698。

2.学习“划去3、6、9”的判断方法。

生10：在判断3698时，只要把3、6、9先划去，直接看8就行了。

师：为什么不先求和也能判断？

生10：因为当各位上的数除以3的余数是3、6、9的时候，这些余数本身就是3的倍数，如果继续除以3，就没有余数了，所以可以先划去。

生11：照你这么说，如果余数大于3，还可以先划去3的倍数，再用余下的数的和来判断。

师：你能举例说明吗？

生10：比如876，每位除以3的余数分别是8、7、6，8里面有2个3，就划去2个3，还余下2；7里面也有2个3，也划去还余1；6可以全部划去，最后只要根据2+1=3，就能判876是3的倍数了。

师：你真善于思考，在证明结论的过程中，你又进一步发现了新的判断方法。

3.在方框里填上数字，使这个数是3的倍数.

4□2 65□ 12□1

【课后反思】

回顾整节课，由于教学活动以学生的认知发展水平和已有的知识经验为基础，以理解概念本质为核心，教学贴着学生的思维前行，因此收到了较好的教学效果，具体表现在以下几个方面。

一、基于学生的认知水平切入教学

在学习“3的倍数的特征”之前，学生已具备怎样的认知水平呢？由于3的倍数要根据各位数上的和是否是3的倍数来判断，而先前学习的“2、5倍数的特征”是看个位上的数来判断的，显然，新知与原有经验是不一致的；学生在以前的学习中几乎没有“将各位上的数相加的和”的学习经验，所以，学生要自主发现3的倍数的特征是困难的。在众多的教学设计中，为了给学生提供合适的探究材料，教师可谓想尽办法，最常见的有以下两种材料：先引导学生在百数表中找到3的倍数，然后组织学生进行观察、猜测、验证（如人教版、北师大版的编排）；在计数器上分别表示出几个3的倍数，看看各用了几颗数珠（如苏教版的编排）。但是教学实践表明，不管给学生怎样的探究材料，学生还是难以自主探究出3的倍数的特征，即使在一些大型的公开课中也不例外。多数情况是在教师近乎直白告知的引导下，如：“3的倍数和各位上的数有什么关系？”“将每个数的各个数位上的数字加起来试试看？”结论才千呼万唤始出来的。

显然，小学生由于受知识和思维特点的限制，并不具备自主探究出结论的能力。如果课堂教学不顾学生的思维现状，把大量的时间用于所谓的自主探究，那么，这样的教学不但是低效的，而且学生对知识的理解也仅仅停留在形式化层面，对思维能力的培养并无多大价值。再者，对预先就知道结论的学生而言（知道的学生人数不在少数），这样的课堂教学既没有什么思维增量，也不利于学生探究意识的培养。

既然学生无力自主探究出结论，何不以此为起点切入教学，及时调整探究方向？所以，在课的引入环节，首先让学生回忆2、5的倍数的特征及探究方法，从而引导学生用所学的方法探究3的倍数的特征，让学生再次经历举例、观察、猜想、验证、归纳等探究活动，从中获得对探究方法的更为丰富的体验。探究过程中，学生由2、5的倍数的特征类比推理3的倍数的特征，从个位上发现不了规律联想到从十位、百位进行观察思考，虽然这些探究活动都没有结果，但是学生越是不得其解，就越想知道其中的奥秘。当学生的思维处于愤悱状态时，考虑到学生的认知发展水平，教师不再一厢情愿地要求学生继续人为地去发现结论，而是及时通过超前学习的学生的回答来呈现3 的倍数的特征。让学生颇有“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”之感。为什么3的倍数的特征要看各位上的数的和，而2、5的倍数的特征只要看个位上的数字呢？真可谓是“一波未平，一波又起”，继续将学生的思维引向探究现象背后的本质。

二、顺着学生的思维展开教学

3的倍数的特征为什么要看各位上的数之和呢？结论呈现后，不管是先前探究未果的学生，还是事先知道结论的学生，大多将思维的焦点聚焦于此。

我们知道，一个数的倍数的特征，其数论原理是“寻求一个自然数能否被另一个自然数整除”，简便的判别方法是“可把这个自然数分为大小不等的两个自然数的和，并且使较大的加数已能被另一个自然数整除时，只要判别较小的加数能否被另一个自然数整除就可以了”。如，判断一个数是否是3的倍数，分析如下：345=3×100+4×10+5=3×99+3+4×9+4+5，因为在计算单位“十”、“百”、“千”……中，9、99、999…是3最大的倍数，按照位值原则，每个数位余下的数恰好是各位上的数，所以，3的倍数的特征是各位上的数的和是3的倍数。

如果照此进行抽象地分析，对小学生而言，显然难度太大。小学五年级学生正处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡时期，在理解抽象的数学原理时，仍应以具体形象的实物操作做支撑，才能完成向抽象思维的过渡。

为了让学生能理解推理证明的过程，掌握概念的本质，教师采用了先扶后放的教学策略。首先，让学生明确：判别一个自然数是否是3的倍数，就是通过除法计算，从高位到低位依次除以3，如果余数为0，这个数就是3的倍数；如果余数不是0，则把每位除以3的余数相加，看是否是3的倍数。然后结合小棒图，使学生直观感知每个数位上除以3余下的数恰好是各位上的数。由于以除法计算为基础，并辅以数形结合，多数学生能理解推理证明过程。回归知识本源的学习，不但使学生透过现象理解概念的本质，培养了学生的推理能力，同时也有利于学生养成追根究底的学习习惯。

理解了3的倍数的特征，那么，2、5的倍数的特征为什么只要看个位上的数字呢？有了先前的学习经验，学生自然就想到了2、5的倍数的特征也可以用除法计算进行推理证明，因为整百、整十的数都是2、5的倍数，所以2和5的倍数只要看个位上的数字。相信有的学生能运用这样的探究经验和思维方法继续去探究4、9的倍数的特征。由于顺着学生的思维进行教学，不但自然地沟通了知识间的内在联系，同时也加深了学生对知识本质的理解。

在练习巩固环节，判断3698是否是3的倍数时，有的学生居然想到了“划去3、6、9的方法”，只要看8就行了，理由是当各位上的数除以3的余数是3、6、9的时候，这些余数本身就是3的倍数，如果继续除以3，就没有余数了，所以可以划去。可见，虽然小学生理解3的倍数的原理有些困难，但是实践证明，以除法计算为基础，并借助直观教学手段，学生不但能理解其原理，有的学生甚至能以此为基础，想到更简洁的判断方法。

（责编 金 铃）endprint