直觉主义逻辑的缘起及其基本思想

高航

摘 要：直觉主义逻辑作为一个哲学逻辑分支在19世纪80年代产生。直觉主义逻辑基于数学中的直觉主义思想，主张存在即被构造，数学是逻辑学的基础。直觉主义逻辑拒斥排中律和双重否定原则，认为逻辑主义和形式主义都是错误的。在此，通过对直觉主义逻辑产生、发展和基本思想的介绍，指出直觉主义逻辑的重要意义和价值，以引起国内学界的关注，深入开展这方面的研究工作。

关键词：直觉主义逻辑；数学；可构造性；排中律

中图分类号：B815.9 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2014）06-0025-02

一、直觉主义逻辑的缘起

按照海丁（Heyting，A.）的说法，“直觉主义数学在于心智的构造，而一个数学定理表达一个经验事实，即是某种构造的结果”，“在事实上，从直觉主义观点看，数学是人类心灵的某些职能的一种研究”[1]。在直觉主义者看来，数学公式是直觉符号系列，它们是心智构造的结果，而定理的证明亦是直觉符号序列可观察到的排列，因而拒绝间接证明。直觉主义者坚持要求构造性定义，即是指出产生被定义对象的方法并且能在有穷步骤内确定其是否具有某种性质。当然，直觉主义者拒绝非构造性的存在证明。于是，对于数学来说，唯一来源于直觉，直觉把概念及推理放在我们眼前而是显得非常直接明白。“这个直觉”不过是一种能力，可以分别处理各种概念以及做出正规的出现于通常思维之中的那些推理。

数学领域直觉主义思潮发端于19世纪80年代，它的先驱者是科伦内科（Kronecker，L.），他认为整数在直观上是清楚的，其他的东西都是人造的，是可疑的。直觉主义逻辑真正奠基人是布劳维尔。在20世纪初，当时现代逻辑尚处于幼年阶段，弗雷格的逻辑主要在数学小圈子里流传，怀特海和罗素的《数学原理》尚未出版，布劳维尔关于逻辑的专门知识也有限。但是，他提出了使当代人震惊的观点，他主张逻辑不居先于数学，相反逻辑依赖与数学。数学的对象是心智构造，而这些对象的性质又是根据心智构造规定的。经典逻辑是从有穷集合及其子集合的数学中抽象出来的，后来人们忘记了这个有限的来源，错误地把逻辑当作高于一切数学的东西，最后又毫无根据地把它应用于无穷的数学上去[2]。布劳维尔认为对有穷集合有效的经典逻辑原则——排中律，不能用于无穷集合。这条规律的一般形式是：对于一个命题p，或者p或者非p，必有一个是真的。也就是说，在数学领域，每个特定的数学问题都能够在这样的含义上得到解决：所提到的问题或者被肯定，或者被否定。让我们通过一个例子来说明。考虑一下哥德巴赫猜想（用G表示）：每个偶数都是两个质数的和。

最先用更形式化方法考虑直觉主义逻辑的人是格里文科（Glivenko，V.）和戈尔摩戈洛夫（Kolmogorov，A.N.）。前者提出直觉主义命题逻辑片段，后者则构建直觉主义谓词逻辑片段。1928年海丁独立形式地表述了直觉主义谓词逻辑和算术及“集合论”的基础理论。海丁的形式表述为大胆的逻辑学家开辟了一个新领域，但是他并没有提供一个“标准的”或“预期的”解释。于是，缺少一种概念解释的内在相干性。海丁后来提出一个被称作证明解释的一种解释，它的基本思想可追溯到布劳维尔：数学陈述的真理性是通过证明建立起来的，因而逻辑连结词的意义可借助于证明和构造来说明[3]。例如，通过例子来考察一个逻辑连结词“→”：？渍→？鬃的一个证明是一个这样的构造，？渍的任何证明都能转化为？鬃的一个证明。

我们注意到，如果把逻辑看作心智构造活动，那么就不能要求一个陈述是二值的，即真的或假的。证明的解释至少非形式地洞察到直觉主义真理的奥秘。也有些逻辑学家考察了直觉主义逻辑和拓扑的闭包运算之间的相似性，构建被称作直觉主义逻辑的拓扑的解释。坚钦于1934年构建了自然演绎系统和他的相继式演算，这使直觉主义连结词的意义比希尔伯特型的形式化表述更加具体。普拉维茨则推广了坚钦的工作。在20世纪30年代，哥德尔独立于坚钦，表述了由经典谓词逻辑到直觉主义谓词逻辑一个片段的转换，推广了格里文科的早期工作。他也建立了模态逻辑系统S4和直觉主义逻辑之间的联系。后来他又表述了论辩的解释，它属于解释的算法类型。论辩的解释和克林的可实现性的解释对于证明论的目标来说是极富有成果的。

二、直觉主义逻辑的基本思想

三、结语

一方面，逻辑哲学中的直觉主义学派高度认可直觉和个人的创造性思维在科学实践中的作用，这具有积极的意义。同时，他们对排中律原则、双重否定原则和德摩根律有效性的质疑，揭示了经典逻辑真理性只是相对的而不是绝对的。另一方面，直觉主义逻辑学家们倡导的构造性证明的能行性的研究方法，促进了人工智能和计算机科学的发展。

参考文献：

[1]Heyting， A. Intuitionism An Introduction[M]. North. Holland Publishing Company 1956：8-10.

[2][美]S.C.克林著.元数学导论：上[M].莫绍揆，译.北京：科学出版社，1984：48.

[3]Brouwer，J.Historical Background，Principles and Methods of Intuitionism[M]. South African Journal of Science，1952：59.endprint

摘 要：直觉主义逻辑作为一个哲学逻辑分支在19世纪80年代产生。直觉主义逻辑基于数学中的直觉主义思想，主张存在即被构造，数学是逻辑学的基础。直觉主义逻辑拒斥排中律和双重否定原则，认为逻辑主义和形式主义都是错误的。在此，通过对直觉主义逻辑产生、发展和基本思想的介绍，指出直觉主义逻辑的重要意义和价值，以引起国内学界的关注，深入开展这方面的研究工作。

关键词：直觉主义逻辑；数学；可构造性；排中律

中图分类号：B815.9 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2014）06-0025-02

一、直觉主义逻辑的缘起

按照海丁（Heyting，A.）的说法，“直觉主义数学在于心智的构造，而一个数学定理表达一个经验事实，即是某种构造的结果”，“在事实上，从直觉主义观点看，数学是人类心灵的某些职能的一种研究”[1]。在直觉主义者看来，数学公式是直觉符号系列，它们是心智构造的结果，而定理的证明亦是直觉符号序列可观察到的排列，因而拒绝间接证明。直觉主义者坚持要求构造性定义，即是指出产生被定义对象的方法并且能在有穷步骤内确定其是否具有某种性质。当然，直觉主义者拒绝非构造性的存在证明。于是，对于数学来说，唯一来源于直觉，直觉把概念及推理放在我们眼前而是显得非常直接明白。“这个直觉”不过是一种能力，可以分别处理各种概念以及做出正规的出现于通常思维之中的那些推理。

数学领域直觉主义思潮发端于19世纪80年代，它的先驱者是科伦内科（Kronecker，L.），他认为整数在直观上是清楚的，其他的东西都是人造的，是可疑的。直觉主义逻辑真正奠基人是布劳维尔。在20世纪初，当时现代逻辑尚处于幼年阶段，弗雷格的逻辑主要在数学小圈子里流传，怀特海和罗素的《数学原理》尚未出版，布劳维尔关于逻辑的专门知识也有限。但是，他提出了使当代人震惊的观点，他主张逻辑不居先于数学，相反逻辑依赖与数学。数学的对象是心智构造，而这些对象的性质又是根据心智构造规定的。经典逻辑是从有穷集合及其子集合的数学中抽象出来的，后来人们忘记了这个有限的来源，错误地把逻辑当作高于一切数学的东西，最后又毫无根据地把它应用于无穷的数学上去[2]。布劳维尔认为对有穷集合有效的经典逻辑原则——排中律，不能用于无穷集合。这条规律的一般形式是：对于一个命题p，或者p或者非p，必有一个是真的。也就是说，在数学领域，每个特定的数学问题都能够在这样的含义上得到解决：所提到的问题或者被肯定，或者被否定。让我们通过一个例子来说明。考虑一下哥德巴赫猜想（用G表示）：每个偶数都是两个质数的和。

最先用更形式化方法考虑直觉主义逻辑的人是格里文科（Glivenko，V.）和戈尔摩戈洛夫（Kolmogorov，A.N.）。前者提出直觉主义命题逻辑片段，后者则构建直觉主义谓词逻辑片段。1928年海丁独立形式地表述了直觉主义谓词逻辑和算术及“集合论”的基础理论。海丁的形式表述为大胆的逻辑学家开辟了一个新领域，但是他并没有提供一个“标准的”或“预期的”解释。于是，缺少一种概念解释的内在相干性。海丁后来提出一个被称作证明解释的一种解释，它的基本思想可追溯到布劳维尔：数学陈述的真理性是通过证明建立起来的，因而逻辑连结词的意义可借助于证明和构造来说明[3]。例如，通过例子来考察一个逻辑连结词“→”：？渍→？鬃的一个证明是一个这样的构造，？渍的任何证明都能转化为？鬃的一个证明。

我们注意到，如果把逻辑看作心智构造活动，那么就不能要求一个陈述是二值的，即真的或假的。证明的解释至少非形式地洞察到直觉主义真理的奥秘。也有些逻辑学家考察了直觉主义逻辑和拓扑的闭包运算之间的相似性，构建被称作直觉主义逻辑的拓扑的解释。坚钦于1934年构建了自然演绎系统和他的相继式演算，这使直觉主义连结词的意义比希尔伯特型的形式化表述更加具体。普拉维茨则推广了坚钦的工作。在20世纪30年代，哥德尔独立于坚钦，表述了由经典谓词逻辑到直觉主义谓词逻辑一个片段的转换，推广了格里文科的早期工作。他也建立了模态逻辑系统S4和直觉主义逻辑之间的联系。后来他又表述了论辩的解释，它属于解释的算法类型。论辩的解释和克林的可实现性的解释对于证明论的目标来说是极富有成果的。

二、直觉主义逻辑的基本思想

三、结语

一方面，逻辑哲学中的直觉主义学派高度认可直觉和个人的创造性思维在科学实践中的作用，这具有积极的意义。同时，他们对排中律原则、双重否定原则和德摩根律有效性的质疑，揭示了经典逻辑真理性只是相对的而不是绝对的。另一方面，直觉主义逻辑学家们倡导的构造性证明的能行性的研究方法，促进了人工智能和计算机科学的发展。

参考文献：

[1]Heyting， A. Intuitionism An Introduction[M]. North. Holland Publishing Company 1956：8-10.

[2][美]S.C.克林著.元数学导论：上[M].莫绍揆，译.北京：科学出版社，1984：48.

[3]Brouwer，J.Historical Background，Principles and Methods of Intuitionism[M]. South African Journal of Science，1952：59.endprint

摘 要：直觉主义逻辑作为一个哲学逻辑分支在19世纪80年代产生。直觉主义逻辑基于数学中的直觉主义思想，主张存在即被构造，数学是逻辑学的基础。直觉主义逻辑拒斥排中律和双重否定原则，认为逻辑主义和形式主义都是错误的。在此，通过对直觉主义逻辑产生、发展和基本思想的介绍，指出直觉主义逻辑的重要意义和价值，以引起国内学界的关注，深入开展这方面的研究工作。

关键词：直觉主义逻辑；数学；可构造性；排中律

中图分类号：B815.9 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2014）06-0025-02

一、直觉主义逻辑的缘起

按照海丁（Heyting，A.）的说法，“直觉主义数学在于心智的构造，而一个数学定理表达一个经验事实，即是某种构造的结果”，“在事实上，从直觉主义观点看，数学是人类心灵的某些职能的一种研究”[1]。在直觉主义者看来，数学公式是直觉符号系列，它们是心智构造的结果，而定理的证明亦是直觉符号序列可观察到的排列，因而拒绝间接证明。直觉主义者坚持要求构造性定义，即是指出产生被定义对象的方法并且能在有穷步骤内确定其是否具有某种性质。当然，直觉主义者拒绝非构造性的存在证明。于是，对于数学来说，唯一来源于直觉，直觉把概念及推理放在我们眼前而是显得非常直接明白。“这个直觉”不过是一种能力，可以分别处理各种概念以及做出正规的出现于通常思维之中的那些推理。

数学领域直觉主义思潮发端于19世纪80年代，它的先驱者是科伦内科（Kronecker，L.），他认为整数在直观上是清楚的，其他的东西都是人造的，是可疑的。直觉主义逻辑真正奠基人是布劳维尔。在20世纪初，当时现代逻辑尚处于幼年阶段，弗雷格的逻辑主要在数学小圈子里流传，怀特海和罗素的《数学原理》尚未出版，布劳维尔关于逻辑的专门知识也有限。但是，他提出了使当代人震惊的观点，他主张逻辑不居先于数学，相反逻辑依赖与数学。数学的对象是心智构造，而这些对象的性质又是根据心智构造规定的。经典逻辑是从有穷集合及其子集合的数学中抽象出来的，后来人们忘记了这个有限的来源，错误地把逻辑当作高于一切数学的东西，最后又毫无根据地把它应用于无穷的数学上去[2]。布劳维尔认为对有穷集合有效的经典逻辑原则——排中律，不能用于无穷集合。这条规律的一般形式是：对于一个命题p，或者p或者非p，必有一个是真的。也就是说，在数学领域，每个特定的数学问题都能够在这样的含义上得到解决：所提到的问题或者被肯定，或者被否定。让我们通过一个例子来说明。考虑一下哥德巴赫猜想（用G表示）：每个偶数都是两个质数的和。

最先用更形式化方法考虑直觉主义逻辑的人是格里文科（Glivenko，V.）和戈尔摩戈洛夫（Kolmogorov，A.N.）。前者提出直觉主义命题逻辑片段，后者则构建直觉主义谓词逻辑片段。1928年海丁独立形式地表述了直觉主义谓词逻辑和算术及“集合论”的基础理论。海丁的形式表述为大胆的逻辑学家开辟了一个新领域，但是他并没有提供一个“标准的”或“预期的”解释。于是，缺少一种概念解释的内在相干性。海丁后来提出一个被称作证明解释的一种解释，它的基本思想可追溯到布劳维尔：数学陈述的真理性是通过证明建立起来的，因而逻辑连结词的意义可借助于证明和构造来说明[3]。例如，通过例子来考察一个逻辑连结词“→”：？渍→？鬃的一个证明是一个这样的构造，？渍的任何证明都能转化为？鬃的一个证明。

我们注意到，如果把逻辑看作心智构造活动，那么就不能要求一个陈述是二值的，即真的或假的。证明的解释至少非形式地洞察到直觉主义真理的奥秘。也有些逻辑学家考察了直觉主义逻辑和拓扑的闭包运算之间的相似性，构建被称作直觉主义逻辑的拓扑的解释。坚钦于1934年构建了自然演绎系统和他的相继式演算，这使直觉主义连结词的意义比希尔伯特型的形式化表述更加具体。普拉维茨则推广了坚钦的工作。在20世纪30年代，哥德尔独立于坚钦，表述了由经典谓词逻辑到直觉主义谓词逻辑一个片段的转换，推广了格里文科的早期工作。他也建立了模态逻辑系统S4和直觉主义逻辑之间的联系。后来他又表述了论辩的解释，它属于解释的算法类型。论辩的解释和克林的可实现性的解释对于证明论的目标来说是极富有成果的。

二、直觉主义逻辑的基本思想

三、结语

一方面，逻辑哲学中的直觉主义学派高度认可直觉和个人的创造性思维在科学实践中的作用，这具有积极的意义。同时，他们对排中律原则、双重否定原则和德摩根律有效性的质疑，揭示了经典逻辑真理性只是相对的而不是绝对的。另一方面，直觉主义逻辑学家们倡导的构造性证明的能行性的研究方法，促进了人工智能和计算机科学的发展。

参考文献：

[1]Heyting， A. Intuitionism An Introduction[M]. North. Holland Publishing Company 1956：8-10.

[2][美]S.C.克林著.元数学导论：上[M].莫绍揆，译.北京：科学出版社，1984：48.

[3]Brouwer，J.Historical Background，Principles and Methods of Intuitionism[M]. South African Journal of Science，1952：59.endprint