内激励作用下的单对齿轮振动噪声分析

张霖霖， 朱如鹏， 靳广虎， 李发家， 沈稼耕

(南京航空航天大学江苏省精密与微细制造技术重点实验室， 江苏 南京 210016)

引 言

齿轮系统具有效率高、结构紧凑、传动比稳定等优点，被广泛应用于各工业领域中。轮齿啮合刚度的时变性、轮齿传递误差、啮入啮出冲击以及传动系统输入力矩和负载力矩等的变化均会产生动态啮合力。这样的动态啮合力的激励会使齿轮产生振动，从而引起齿轮及其系统的振动和噪声，并影响系统的稳定性。为此国内外许多学者进行了大量研究[1～6]。但以往的研究方法大多数是从加工方法、修形、提高精度和阻尼减振等方面来研究减小振动从而降低噪声[2]。本文从产生噪声的振动入手，考虑了齿轮的时变啮合刚度、传动误差和阻尼的影响，建立了齿轮传动动力学模型，研究了其振动响应，用Kato修正公式对传动产生的噪声进行了定量计算，并使用该方法计算齿轮噪声，为齿轮系统的降噪设计及优化设计打下了基础。

1 齿轮传动动力学模型

齿轮啮合刚度随时间而变、传递误差随啮合位置而发生变化，故齿轮传动会产生自激振动，振动响应具有时变特性[3]。考虑到这些因素的影响，建立单对齿轮传动的扭转振动物理模型，如图1所示。

图1 单对齿轮传动的扭转振动物理模型

取单对齿轮副的重合度为1～2，则单对齿轮副的扭转振动数学模型为

定义啮合线上的两齿轮相对位移为

x=Rpθp-Rgθg-e(t)

则单对齿轮扭转振动数学模型为

(1)

式(1)也可表示为

(2)

若模型中考虑原动机或者负载引起的载荷波动，则

(3)

(4)

根据式(4)，可将式(2)变为

(5)

引入无量纲时间τ=ωnt、位移标称尺度bc，则无量纲位移、速度、加速度分别表达为

则式(5)可以简为

(6)

2 齿轮时变啮合刚度

由于直齿轮啮合刚度的特性，在许多文献中，将齿轮的啮合刚度假设为矩形波模式[4]。对于斜齿轮，理想精度情况下，一对啮合齿轮副的时变啮合刚度与齿轮副总接触线长度成正比。当单位接触线长度的啮合刚度为常数时，该斜齿齿轮啮合副的啮合刚度如下

k(t)=2k0L(t)

(7)

式中L(t)为斜齿轮副瞬时总接触线长度。

对于斜齿轮传动，某一接触线长度的变化过程可理解为是一个从0逐渐增加至一个定值，然后又逐渐减小至0而退出啮合的过程(设某一接触线刚进入啮合平面时，t=0，齿宽为b，基圆螺旋角为βb)。图2为啮合面上处于啮合中的某一轮齿接触线变化(其中εα为端面重合度，εβ为纵向重合度。)

图2 啮合中的某一轮齿接触线变化图

接触线的长度可以由下面的公式计算出。

(8)

图3 接触线长度示意图

这是一个周期为(M+1)×Tm的周期函数，其中M为小于εr的最大整数。将l1(t)表示成傅里叶级数，可以得到下面的等式。

(9)

所以有

li(t)=l1[t+(i-1)Tm]

(10)

从而可以求得总接触线长度

bksin2kπωmt)

(11)

式中

(12)

3 齿轮啮合的辐射噪声计算

齿轮噪声研究最初是由G Niemann于1965年提出的，他给出了一个齿轮副噪声的简单计算公式。后来日本的Kato在德国G Niemann研究的基础上提出了公式[5,6]。

Kato公式计算结果仅在少数情况下与实验结果吻合较好，原因在于该公式仅考虑了不同加工精度对噪声的影响，而无法预估不同齿廓加工方法的影响。实际上理论分析与实验研究均表明，不仅误差的大小，而且误差形状也对噪声强度有较大影响。因此20世纪90年代初T Masuda等考虑了不同齿廓加工方法对噪声强度的影响，指出由于齿轮系统的噪声主要与传递功率和振动大小有关，而振动大小又可用振动幅值来描述，因此T Masuda通过大量实验和理论研究得出了传递功率和振动幅值的积WX与噪声之间具有很好地相关性，从而给出了Kato公式的修正公式。

20lgx+20 (dB)

(13)

式中L为距离齿轮箱1 m的噪声强度，β为齿轮的螺旋角；u为传动比，εa为法向重合度；W为传递功率(单位是hp)；fv为速度系数，该系数类似于齿轮强度计算中的动载系数，由节圆线速度和齿轮精度等级推算。x为齿轮副沿啮合方向的相对振动位移。修正公式考虑了误差等对噪声的影响。该公式可以预估各种方法加工的齿轮箱在不同工作条件下的噪声强度。其精度较高，且计算结果与实测值一致。

4 几何参数对齿轮噪声的影响

根据上述模型和Kato修正公式，计算一对啮合齿轮的辐射噪声。齿轮的参数如下：齿数Z1=20，模数m=2，压力角α=20°，螺旋角β=0°，传动比μ=1.65，重合度εa=1.68，传动功率W=20 hp，齿轮转速n=1 500 r/min，齿轮精度为7级。

为了评估不同的几何参数对齿轮的振动噪声的影响，计算不同几何参数的齿轮条件下的振动位移，在齿轮的振动位移的基础上使用Kato修正公式计算齿轮啮合的噪声。在不改变其他参数的情况下，只考虑单一变量如模数(齿数、齿宽、螺旋角、重合度)对齿轮啮合的振动噪声，振动噪声的变化规律如图4～8所示。

由图4可以看出，在一定功率和转速条件下，存在某一模数使得单对齿轮传动的振动和噪声最小。在某一模数范围内，齿轮传动的振动和噪声会随着模数的增大而减小；轻载条件下，模数变大将使得齿轮振动噪声增大。

由图5可以看出，在一定功率和速度的条件下，齿轮传动的振动噪声随着齿数的增加而减小，这与齿数对齿轮传动振动噪声影响的定性分析结果不同[6]。其原因主要为齿数的改变只对等效质量和齿轮半径有影响，而模型没有能够考虑到声功率辐射引起的损耗的影响。

由图6可以看出，在一定功率和速度的条件下，齿轮宽度变大，振动位移量和噪声值有所下降，但不是很明显。这与齿宽对齿轮传动振动噪声影响的定性分析结果相同。但相对于其他的方法来说，这个方法不够经济。

由图7可以看出， 一定功率和转速条件下，随着螺旋角变大，振动位移变化不明显，而噪声会有明显的下降。

由图8可以看出， 一定功率和转速条件下，随着螺旋角变大，振动位移变化不明显，噪声会随着螺旋角的减小明显下降。在重合度为1或2时，振动有明显的突变。

增加重合度可以减小齿轮传动的噪声。首先增大重合度可以减小啮合齿的负载，从而可以减小啮入和啮出的负载冲击，降低齿轮噪声；其次，随着接触齿对的增加，单对齿轮的误差被均化，从而减小了齿轮的动态激励。此外，几乎所有的对齿轮噪声有影响的几何参数，实际上都是由于它们对重合度的影响而起作用。

图5 仅考虑齿数单一因素影响的单对齿轮振动位移和噪声变化趋势图

图6 仅考虑齿宽单一因素影响的单对齿轮振动位移和噪声变化趋势图

图7 仅考虑螺旋角单一因素影响的单对齿轮振动位移和噪声变化趋势图

图8 仅考虑重合度单一因素影响的单对齿轮振动位移和噪声变化趋势图

5 结 论

本文考虑了齿轮传动的时变啮合刚度、传动误差的影响，采用修正 Kato 公式对啮合传动产生的噪声进行了定量计算，然后分析了几何参数对齿轮啮合的振动噪声的影响。由于Kato公式中直接涉及到的齿轮几何参数为传动比，螺旋角和重合度、模数、齿宽、齿数等没有涉及，只能通过相对振动位移来体现。在此基础上可以辐射噪声为目标进行低噪声优化设计，因而为齿轮降噪设计打下了基础。

参考文献:

[1] Choy F K， Qian W. Vibration and noise analysis of a gear trans 2mission system[A]. 31st AIAA Aerospace Sciences Meeting & Exhibit[C]. AIAA-93-2150， 1993.

[2] 左言言.齿轮箱噪声分析与控制[J].中国机械工程，1994,5(2):55—57.Zuo Yanyan. Analysis and control of gearbox noise[J]. China Mechanical Engineering, 1994，5(2):55—57.

[3] 邵忍平，沈允文，孙进才.齿轮减速器系统可变固有特性动力学研究[J].航空学报，2001，22(1):64—68.Shao Renping, Shen Yunwen, Sun Jincai. Dynamics Study on the variable inherent characteristics of gear reducer system[J]. Aviation Journal, 2001,22(1):64—68.

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