基于有限元法的周期压电智能梁滤波特性分析

丁 兰， 朱宏平

(华中科技大学土木工程与力学学院，湖北 武汉 430074)

引 言

近年来，国内外关于压电材料和智能结构的研究已经蓬勃发展起来，尤其是压电周期结构在振动控制研究和工程应用方面引起了人们广泛的兴趣[1]。实际工程中动态载荷经常出现，因此研究压电周期智能结构中的波传播问题很有必要。不同于非周期结构，周期结构具有通频和禁频等特殊的力学性质。当波动频率处于结构通频区域时，波动会无限制地传遍整个结构，其幅值和能量不会发生衰减；而当波动频率处于结构禁带范围内时，其不会传遍整个结构[2]。为了利用该性质研究周期结构中的波传播，通常采用传递矩阵特征值的方法，但对于多个特征值的多耦合周期结构，Romeo和Paolone采用传递矩阵几何不变量的方法对其进行研究[3]。除此之外，局部化因子的方法可方便地研究波在多耦合周期结构中的传播特性[4,5]。

针对周期压电结构中的波动传播问题，Baz采用传递矩阵特征值法对周期压电质量-弹簧系统的振动主动控制进行了研究，指出可以通过改变结构的参数来调整通禁带的宽度和位置[2]。Li等综合传递矩阵特征值法及Lyapunov指数法对周期嵌有压电材料的杆状结构中的波传播和局部化进行了分析[6]。Li和Wang通过计算局部化因子研究了层状周期压电复合材料结构中的波动局部化问题，得到了一些有意义的结论[7]。随后他们研究了Rayleigh表面波在随机失谐压电声子晶体中的传播，为此类压电周期结构的优化设计和振动控制提供了理论参考和指导[8]。以往的研究多数都针对的是周期性地嵌有压电材料的智能结构，而Thorp等对周期性地粘贴压电片杆结构中的波动传播和局部化问题进行了研究[1]，Spadoni等探讨了周期粘贴压电片板结构的振动主动控制问题[9]。Chen等提出了一种改进的周期粘贴压电片杆结构的波传播模型，利用传递矩阵特性值法对其频带特性进行了分析[10]。但是，对表面粘贴压电片的轴-弯耦合智能周期梁结构的波传播问题尚未涉及，因此有待于深入研究。

本文基于Timoshenko梁理论，研究了周期性地粘贴压电片的轴-弯耦合梁的波传播特性。采用有限单元和传递矩阵相结合的方法，推导了结构的动态刚度矩阵，建立了结构相邻胞元间的传递矩阵，给出了局部化因子的表达式，分析了几何尺寸和材料特性对结构频带性质的影响，对压电周期结构的滤波特性和振动控制研究提供了理论参考。

1 压电智能Timoshenko梁的传播模型

1.1 压电梁的势能和动能

考虑一周期粘贴有压电片的智能梁，如图1所示。设压电周期结构中含有n个胞元，每个胞元中含有两个子结构，分别称为子结构1和子结构2。设压电层和基梁完好联结无滑移，且具有相同的横向位移w1(x,t)和转角ψ1(x,t)。图2给出了压电梁的局部变形图，其中基梁和压电层均考虑为Timoshenko梁。

图1 周期压电梁示意图

图2 压电双层梁的变形图

子结构1中基梁位移为

ubx=u1b-zψ1，uby=0，ubz=w1

(1)

压电层位移为

(2)

由界面处位移连续条件知

(3)

式中Hb和Hp分别为基梁和压电层的厚度。

子结构1中基梁和压电层的应变分别为

(4)

子结构2中基梁的应变可以表示为

(5)

式中u2b，ψ2和w2分别为子结构2的轴向位移、转角和横向位移。

压电材料在轴向力荷载作用下的本构方程为[11]

(6)

在零电场下(U=0)，可得到电位移

(7)

由于压电片很薄，电位移D沿厚度方向可视为一常数。利用式(3)和(4)，电位移D可表示为位移u1b和ψ1的函数，即

(8)

子结构1的势能V1和动能T1可以表达为：

(9)

(10)

式中Eii，Aii，Iii，ρii，Gii和κii分别为基梁和压电层的杨氏模量、横截面面积、惯性矩、密度、剪切模量和横截面抗剪形状系数。

子结构2的势能V2和动能T2可以表达为

(11)

(12)

1.2 有限单元法形函数

将各子结构的运动表示为位移自由度和形函数的级数：

uib(x,t)=Niu(x)δi(t)， (i=1,2)

(13)

wi(x,t)=Niw(x)δi(t)， (i=1,2)

(14)

ψi(x,t)=Niψ(x)δi(t)， (i=1,2)

(15)

式中i代表子结构编号。

利用有限元法，梁的形函数Niu(x)，Niw(x)和Niψ(x)可以表示为[12]：

(16)

(17)

(18)

式中

(19)

1.3 解析解形函数

对于子结构1，由高阶导数的泛函变分原理，可推导其振动控制方程为：

式(20)～(22)的解可表示为

(23)

式中αn，r1n和r2n为系数；kn(n=1,2,…,6)为波数。

将式(23)代入式(20)～(22)中可得到波数kn及其系数r1n和r2n，进而利用节点位移边界条件可得到子结构1的解析解形函数，即

(24)

式中

(25)

其中，εn=e-iknl1。

对于子结构2，其控制方程可由式(20)～(22)消去压电项即可，其解析形函数表达式N2u，N2w和N2ψ见参考文献[13]。

1.4 传递矩阵

节点自由度向量为

(26)

式中 下标L和R分别代表子结构1和子结构2的左右节点。

将式(13)～(15)代入式(9)和(10)，并利用式(3)消除up，可得子结构1的势能和动能

(27)

(28)

同理，将式(13)～(15)代入式(11)和(12)可得子结构2的势能和动能

(29)

(30)

式中K1，K2，M1和M2分别为子结构1和子结构2的刚度矩阵和质量矩阵：

(31)

(32)

(33)

(34)

当周期结构以频率ω振动时，利用式(31)～(34)可得子结构1和子结构2的动态刚度矩阵：

Kd1=K1-ω2M1

(35)

Kd2=K2-ω2M2

(36)

根据动态刚度矩阵，第j个胞元中各个子结构的动态运动方程可表示为

(37)

(38)

经调整，式(37)和(38)可表达为

(39)

(i=1,2)

(40)

两个子结构界面处满足

(41)

式(41)可以表示为如下矩阵形式

(42)

其中，

(43)

式中I为3阶单位矩阵。

利用式(39)和(42)，可得到第j个胞元左右两端状态向量间的关系式为

(44)

第(j-1)个胞元右端和第j个胞元左端界面处满足

(45)

代入式(44)得第(j-1)个胞元和第j个胞元状态向量间的关系式为

(46)

2 Lyapunov指数和局部化因子

Lyapunov指数用来度量相空间中相邻相轨线的平均指数发散程度或收敛程度，是衡量系统动力学特性的一个重要定量指标。研究周期结构中弹性波的传播和局部化时，引用Lyapunov指数的概念，可以给出关于弹性波幅值衰减程度的度量指标。弹性波在失谐周期结构中传播时，波动幅值将以空间指数形式衰减，而相应的空间指数衰减常数称为局部化因子[14]。

根据周期结构的对称性，Lyapunov指数总是以互为相反数的关系成对出现。若结构传递矩阵的阶数2d×2d,(d>1)，则可将Lyapunov指数按从大到小的顺序排列为

λ1≥λ2≥…≥λd≥0≥λd+1(=-λd)≥λd+2(=-λd-1)≥…≥λ2d(=-λ1)

(47)

最小正的Lyapunov指数定义为局部化因子[7,8]，它代表了幅值衰减程度最弱的波，其在结构中传播的距离最远，刻画了系统中弹性波的主要衰减特性。

Wolf给出了计算连续型动力系统中Lyapunov指数的方法[15]，借鉴此方法，可以给出离散型系统中Lyapunov指数的计算方法。设系统传递矩阵的阶数为2d×2d，第m(1≤m≤2d)个Lyapunov指数的表达式为[7,8]

(48)

(49)

…

(50)

利用式(48)，可以计算出d对互为相反的Lyapunov指数，第d个Lyapunov指数λd即为局部化因子。对于本文中的谐调周期结构，相邻胞元间的传递矩阵T(j)保持不变，且其维数为6×6，因此局部化因子为λ3。利用局部化因子即可分析周期结构的频带特性，进而得到其波动传播规律。

3 压电智能梁的滤波特性

利用局部化因子考虑不同参数对周期压电梁滤波特性的影响。本文中基梁弹性材料采用铝和钢两种，压电材料采用PKI 502[11,16]，子结构的长度l2=5l1=0.5 m，所用到的几何和材料参数如表1所示。

表1 基梁和压电层的几何和材料参数表

3.1 有限元解和解析解的对比分析

为了证实上述有限元分析模型的正确性，图3比较分析了有限元解和解析解的计算结果，其中弹性材料取铝。通过比较发现，对于谐调周期压电智能梁，两种方法计算结果吻合良好。因此，利用有限元方法局部化因子同样可以描述谐调周期结构的波传播行为。

图3 有限元法解和解析解的对比

3.2 厚度比μ=Hb/Hp对频带的影响

在弹性材料为铝、压电材料厚度不变的情况下，考虑基梁与压电层厚度比μ=10，20，30和40对周期结构频带特性的影响，并将计算结果与基于Bernoulli-Euler梁理论得到的结果进行了对比。图4给出了局部化因子随频率的变化曲线。

图4 厚度比对周期结构滤波特性的影响

由图4可观察到，周期结构的厚度比对波传播的频率范围有较大的影响。如图4(a)中所示，当μ=10时，在频率区间ω∈(26.8,45.9) krad/s内，局部化因子λ3>0，该区间即为频率禁带；在频率范围ω∈(45.9,80.5) krad/s内，局部化因子λ3=0，该区间即为频率通带。在频率区间ω∈(26.8,45.9) krad/s内，随着厚度比的增加，禁带的位置和带宽发生了显著的变化，并且变化规律与频率密切相关：随着频率的增加，当μ=20时，频带的左端部由通带迅速变为禁带；当μ=30时，频带的中部由禁带迅速变为通带；当μ=40时，频带的右端部由禁带迅速变为通带。这说明选择不同的厚度比，可以对通带和禁带频率进行调整。整体上，在低频范围内，禁带带宽较窄，局部化因子峰值小；而在高频范围内，禁带带宽较宽，局部化因子峰值较大，衰减较强。表明了压电周期结构能有效地控制高频波在结构中的传播。

比较图4(a)和(b)发现，随着厚度比的增加，采用Bernonlli-Euler梁理论得到的结果与采用Timoshenko梁理论得到的结果存在明显偏差，特别地，当μ=40时，采用Bernonlli-Euler梁理论得到的禁带频率ω∈(27.8,40.9) krad/s，而采用Timoshenko梁理论得到的禁带频率ω∈(27.8,36.3) krad/s，禁带带宽减小了54%，这是由于梁的厚度增加时，弯曲变形引起的转动惯量和剪切效应影响变得不同忽视，因此，在分析周期压电深梁的滤波特性时，应采用Timoshenko梁理论模型。

3.3 不同弹性材料和长度比γ=l2/l1对频带的影响

当弹性材料分别为铝和钢、子结构1的长度保持不变时，分别考虑子结构2和子结构1的长度比γ=4，5和6对周期结构频带特性的影响，计算结果见图5。

图5 长度比对周期压电铝、钢梁滤波特性的影响

由图5可知，不同的弹性材料对周期压电结构滤波特性影响不同，钢梁的禁带带宽略小于铝梁的禁带带宽。长度比对禁带频率有较大的影响，但禁带带宽和位置变化趋势相同。随着长度比的增大，局部化因子峰值明显增加，禁带内衰减增强，并且禁带频率范围逐渐地向低频移动，高频禁带带宽被扩大，这种禁带频率上的变化对设计滤波器有一定的意义。

3.4 压电材料的压电常数h31对频带的影响

弹性材料为铝，当压电材料的压电常数选取不同值时，局部化因子随频率的变化曲线如图6所示。

图6 压电常数对周期结构滤波特性的影响

由图6可见，在频率范围(20～50) krad/s内，不同压电常数的周期结构的禁带起始频率相同，随着压电常数的增加，低频禁带带宽和局部化因子依次减小，而高频情况则刚好相反。因此可以通过调谐压电材料的压电常数来改变波传播特性。

4 结 论

本文对周期压电贴片Timoshenko梁的波传播特性进行了研究，并将部分结果与Bernoulli-Euler梁理论得到的结果进行了对比。通过数值算例分析得到以下结论：周期压电梁能有效地限制一定频率范围内的振动能量；相比于Bernoulli-Euler梁结果，周期压电Timoshenko深梁禁带带宽发生显著变化，转动惯量和剪切效应对波动传播特性的影响不容忽视；通过改变结构的几何尺寸和材料常数，可以调整结构的频带特性，从而实现振动控制的目的。

参考文献：

[1] Thorp O, Ruzzene M, Baz A. Attenuation and localization of wave propagation in rods with periodic shunted piezoelectric patches [J]. Smart Materials and Structures, 2001, 10(5): 979—989.

[2] Baz A. Active control of periodic structures [J]. ASME, Journal of Vibration and Acoustics, 2001, 123(4):472—479.

[3] Romeo F, Paolone A. Wave propagation in three-coupled periodic structures [J]. Journal of Sound and Vibration, 2007, 301(3-5): 635—648.

[4] Castanier M P, Pierre C. Lyapunov exponents and localization phenomena in multi-coupled nearly periodic systems [J]. Journal of Sound and Vibration, 1995, 183(3): 493—515.

[5] Xie W C, Ibrahim A. Buckling mode localization in rib-stiffened plates with misplaced stiffeners—a finite strip approach [J]. Chaos, Solitons and Fractals, 2000, 11(10): 1 543—1 558.

[6] Li F M, Wang Y S, Chen A L. Wave localization in randomly disordered periodic piezoelectric rods [J]. Acta Mechanica Solida Sinica, 2006, 19(1): 50—57.

[7] Li F M, Wang Y S. Study on wave localization in disordered periodic layered piezoelectric composite structures [J]. International Journal of Solids and Structures, 2005, 42(24/25): 6 457—6 474.

[8] Wang Y Z, Li F M, Huang W H, et al. The propagation and localization of Rayleigh waves in disordered piezoelectric phononic crystals [J]. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2008, 56(4): 1 578—1 590.

[9] Spadoni A, Ruzzene M, Cunefare K. Vibration and wave propagation control of plates with periodic arrays of shunted piezoelectric patches [J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2009, 20(8): 979—990.

[10] Chen S B, Wen J H, W G, et al. Improved modeling of rods with periodic arrays of shunted piezoelectric patches [J]. Journal of Intelligent Material Systems and Structures, 2012, 23(14):1 613—1 621.

[11] Lee U, Kim J. Dynamics of elastic-piezoelectric two-layer beams using spectral element method [J]. International Journal of Solids and Structures, 2000, 37(32): 4 403—4 417.

[12] 诸葛荣, 陈全公. 桁架振动的有限元分析-Timoshenko梁理论的应用[J]. 上海海运学院学报, 1982, 3 (4): 9—24.Zhu Gerong, Chen Quangong. The finite element analysis for truss vibration-the application of Timoshenko beam theory [J]. Journal of Shanghai maritime university, 1982, 3 (4): 9—24.

[13] Lee U. Spectral Element Method in Structural Dynamics [M]. Singapore: John Wiley & Sons, 2009: 44—53.

[14] 陈阿丽, 李凤明, 汪越胜. 失谐压电周期结构中波动的局部化 [J]. 振动工程学报, 2005, 18(3): 272—275.Chen Ali, Li Fengming, Wang Yuesheng. Wave localization in disordered periodic piezoelectric structures [J]. Journal of Vibration Engineering, 2005, 18(3):272—275.

[15] Wolf A, Swift J B, Swinney H L, et al. Determining Lyapunov exponents from a time series [J]. Physica D, 1985, 16(3): 285—317.

[16] Lee U, Kim J. Spectral element modeling for the beams treated with active constrained layer damping [J]. International Journal of Solids and Structures, 2001, 38(32/33): 5 679—5 702.