基于同步挤压和时间窗的时变结构损伤识别

刘景良, 任伟新，, 王佐才

(1.中南大学土木工程学院，湖南 长沙 410075；2.合肥工业大学土木与水利工程学院，安徽 合肥 230009)

引 言

作为结构健康监测系统的一个关键问题，损伤识别研究已成为土木工程领域的研究热点。实际工程结构在服役期限内受到工作荷载或极端荷载作用时，其损伤不可避免且不断累积，本质上属于时变和非线性的结构系统。时变结构的损伤是一个由轻微损伤到严重损伤的渐变过程，在此过程中，结构的动力特性随时间不断变化，其响应信号呈现非平稳性。采用信号处理与分析的方法识别结构的时变损伤时，需要时频的分析工具。小波变换作为一种较新的线性时频分析方法，克服了傅里叶变换不具有局部分析能力的缺陷，能够自适应地调整时窗和频窗大小，通过信号的多分辨率分析实现结构的损伤识别[1～5]。近几年来小波变换与其他方法相结合的方法已经广泛运用于损伤识别研究领域。Khorram等提出了一种联合小波变换和因子设计的损伤识别方法[6]，该方法能够有效地探测移动荷载作用下简支梁结构的多条裂缝。Yang等提出了小波变换和独立成分分析相结合的结构损伤盲源识别方法[7，8]。小波包是在小波变换的基础上发展起来的，针对小波变换中没有细分的高频部分做进一步的分解，从而提高了时频分辨率。在小波包变换提取损伤指标的研究中，小波包节点能量的定义为基于小波包变换的损伤识别方法的发展奠定了基础[9，10]。由于小波包节点能量对损伤的敏感性，以小波包节点能量作为输入向量，可采用神经网络、支持向量机等方法对结构进行损伤识别[11，12]。Peng等根据输出响应的协方差构造了小波包能量变化率指标来评估海底悬跨管道的损伤[13，14]。Mikami等通过小波包变换对信号进行分解并估计各个分量的功率谱密度[15]，然后根据各分量功率谱密度幅值的差异提出了新的损伤定位指标并将其应用于梁类结构的损伤识别。Yan等总结了包括连续小波变换、离散小波变换、二代小波变换、小波包变换、小波有限元、双树复小波变换在内的各种小波损伤识别方法[16]，并指出：尽管基于小波理论的损伤识别方法存在一定的挑战性，但仍然是未来最有前途的损伤识别技术之一。

目前，小波和小波包变换在结构损伤识别领域已经获得了广泛的应用，但是针对时变结构的损伤识别研究仍然十分少见，现有的损伤识别方法也不能很好地解决时变结构的损伤识别问题。因此，提出一个时变的损伤指标来追踪结构损伤的演化过程是十分必要的。最近，Daubechies提出一种联合小波变换和重组的新方法——同步挤压小波变换(Synchrosqueezing Wavelet Transform, SWT)[17]，该方法能够有效地将小波变换后的时频图进行挤压重组，从而获得较高频率精度的时频曲线。本文提出了一种基于同步挤压和时间窗(Time Window, TW)思想的时变损伤指标[18]，并将此指标应用于简支梁结构的损伤识别，结果表明提出的指标对于时变损伤是敏感的，可以准确地反映结构的损伤演化过程。

1 基本原理

对于一个时变信号x(t)，一般可以表示为N个本征函数和一个余量之和[19]

(1)

同步挤压小波变换以小波变换为基础。给定小波母函数ψ(t)，时变信号x(t)的连续小波变换为

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

如果频率ω和尺度a为连续变量，式(6)相应变为

(7)

(8)

2 时变损伤指标

损伤位置处响应信号的各组成成分能量在损伤前后通常会发生比较大的变化，因此可以采用能量作为损伤指标。然而实际工程结构的损伤通常是一个动力特性不断改变的过程，时不变的小波包节点能量虽然能够识别出结构的损伤位置，但是无法识别出结构的时变损伤。因此本文在小波包节点能量的基础上运用同步挤压和时间窗思想重新定义了一个时变的损伤指数——小波能量变化率。小波能量变化率指标仅需已知结构的响应信号，就能识别出结构的时变损伤。

给定任意响应信号x(t)，首先对其进行傅里叶变换，可得响应信号的幅频图。若信号x(t)含p个频率成分，根据幅频图可以将频率轴划分为p个频率区间，分别为[f1l，f1r]，[f2l，f2r]，…，[fil，fir]，…，[fpl，fpr]。按式(2)对响应信号x(t)进行连续小波变换可得小波系数矩阵，其中m代表尺度ai个数，n为采样时间点bj个数。由于小波尺度跟频率存在一一对应关系

(9)

式中a为小波尺度，Fc为小波中心频率，fs为采样频率，fa为尺度a对应的频率。根据式(9)频率区间可转化为尺度区间[a1l，a1r]，[a2l，a2r]，…，[ail，air]，…，[apl，apr]。对第i个尺度区间的小波系数进行同步挤压可得

(10)

式中Tx(ai，bj)为同步挤压后的小波系数值，是n维行向量。

为追踪结构的时变损伤，在同步挤压小波系数曲线上设置一个滑动时间窗，窗口长度为2Δt，以窗内的小波能量平均值代表滑动窗中心点的小波能量。令窗口沿时间轴不断滑动，可以求得第i阶小波能量在每个中心点的值

(11)

考虑到各阶模态的正交性，响应信号x(t)的小波能量应为各阶小波能量之和，亦为时间t的函数，其表达式如下式所示

(12)

(13)

损伤前后的小波能量变化率为

(14)

3 数值验证

为验证所提出的小波能量变化率指标的正确性，以简支梁为例，对刚度突变和线性变化两种工况下结构的时变损伤进行识别。简支梁长5 m，划分为20个单元，节点编号和单元编号如图1所示。简支梁密度ρ=2 500 kg/m3，初始弹性模量E0=2.1×104MPa，横截面面积A=0.04 m2(0.2 m×0.2 m)，惯性矩I=1.333×10-4m4。简支梁的损伤通过降低单元刚度来实现。各个节点的位移、速度和加速度响应可通过结构动力学中的Newmark积分求解，其中采样频率fs=1 000 Hz。识别过程中按下式对响应信号x(t)施加白噪声干扰

x′(t)=x(t)(1+εr)

(15)

式中r为均值为0，方差为1的正态分布随机序列，代表噪声水平，为已添加噪声的响应信号。

图1 简支梁模型

3.1 刚度突变工况下的时变损伤识别

设定跨中单元10和11的刚度在4 s时降低20%，其刚度变化如图2所示，其中E0I为初始刚度。采用Newmark积分求解简支梁各节点的自由响应，其中刚度突变工况和未损工况下简支梁跨中节点11的位移响应(已添加10%水平白噪声)如图3所示。采用复Morlet小波对节点11的位移响应进行连续小波变换，并对小波系数进行同步挤压。选取时间窗长为100(0.1 s)，根据式(11)～(13)构建各时间点的归一化小波能量变化ΔEx(t)，如图4(a)所示。由图4(a)可知，前4 s结构的小波能量变化为零，未出现损伤，即结构的损伤时刻为第4 s。但是从图4(a)中无法直接识别出时变结构的损伤演化趋势，因此根据式(14)求得结构的小波能量变化率，如图4(b)所示。小波能量变化率在4 s左右出现突变，这说明节点11处的刚度此刻突然降低，即发生损伤。通过图2与图4(b)的比对，可以得出如下结论：小波能量变化率指标能够较为准确地识别结构的时变损伤类型为突变。

图3 10%噪声水平下节点11的位移响应

图4 刚度突变工况下归一化小波能量变化及小波能量变化率

3.2 刚度线性变化工况下的时变损伤识别

设定跨中单元10和11的刚度在t=4～8 s时线性降低20%，即EI=E0I[1-0.05(t-4)], 如图5所示，其中E0I为初始刚度。与刚度突变工况类似，考虑的白噪声水平为10%。刚度线性变化工况和未损工况下简支梁跨中节点11的自由位移响应如图6所示。选取时间窗长为100(0.1 s)，求得简支梁的归一化小波能量变化如图7(a)所示。从图7(a)可以清楚地看到，前4 s结构的小波能量没有变化，即结构在前4 s完好无损。4 s之后结构的损伤不断增加，但其发展趋势仍然未知。图7(b)给出了小波能量变化率指标随时间变化的关系。小波能量变化率在4～8 s内不断增加，近似线性变化，这表明简支梁跨中节点11的刚度在该时间段呈线性下降趋势。8 s之后小波能量变化率值基本保持不变，此时结构的损伤已经停止并不再继续发展。通过图5和图7(b)之间的对比，再一次验证了小波能量变化率指标识别时变损伤的准确性。

图5 刚度线性变化曲线

图6 10%噪声水平下节点11的位移响应

图7 刚度线性变化工况下归一化小波能量变化及小波能量变化率

图8 含两处损伤位置的简支梁损伤识别结果

图9 时间窗长对小波能量变化率损伤指标的影响

3.3 简支梁多点时变损伤识别

为验证提出的指标能否识别含多个损伤位置的简支梁结构的时变损伤，以图1中的简支梁模型为例，设定四分之一跨处单元5和6的刚度在t=2～6 s时间段线性降低20%，即EI=E0I[1-0.05(t-2)]，而跨中单元10和11的刚度在t=8 s时降低20%。在采用Newmark积分求解简支梁跨中节点11的自由响应并施加10%高斯白噪声干扰后，选取时间窗长为100(0.1 s)，按式(11)～(14)计算简支梁的归一化小波能量变化和小波能量变化率，如图8所示。由图8(b)可知，小波能量变化率在2～6 s内不断增加，近似线性变化，这反映了简支梁四分之一跨处节点6的刚度在该时间段线性下降。在6～8 s时间段小波能量变化率值基本保持不变，这表明在该时间段结构没有新的损伤出现。小波能量变化率指标在8 s左右出现突变，这反映了跨中节点11的刚度此刻突然降低。8 s之后小波能量变化率值基本保持不变，此时结构的损伤已经停止并不再继续发展。因此，小波能量变化率指标能够有效识别含简支梁结构的两点甚至多点时变损伤。

3.4 时间窗长对时变损伤指标的影响

由于时间窗思想的引入，小波能量变化率损伤指标变成一个时变指标，可以用于结构的时变损伤识别。然而时间窗的选取对于损伤指标的取值是有一定影响的，其影响程度尚未可知。为研究时间窗长对小波能量变化率损伤指标的影响，仍以上述的简支梁模型为例，采样时间间隔设为0.001 s，假定时间窗长分别为100(0.1 s)，500(0.5 s)和1 000(1 s)，求解刚度突变和刚度线性变化两种工况下的小波能量变化率值，如图9所示。由图9可知，无论时间窗取何种长度，小波能量变化率曲线基本保持一致，均能较为准确反映结构的损伤演化趋势，即能够识别出结构的时变损伤。时间窗长对小波能量变化率指标的影响主要集中在刚度发生改变的临界点，且影响程度较小，而窗口长度在其他时间点的影响基本可以忽略不计。因此，在一定范围内可以根据实际需要选择合适的时间窗长。

4 结 论

本文在同步挤压小波变换基本原理的基础上，运用时间窗思想提出了新的时变结构损伤识别方法。该方法从损伤前后的能量变化入手，通过小波能量变化率沿时间轴线的分布情况进行时变结构的损伤识别。简支梁在自由激励下的损伤识别数值算例结果表明：结构的小波能量变化率指标对于结构损伤是比较敏感的，该指标不但能够准确地识别刚度突变及线性变化两种工况下的时变损伤，也能够有效地识别简支梁多点时变损伤，且时间窗的选取对时变损伤指标取值基本上不影响。

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