单层球壳结构强震下倒塌模式的构件截面优化

刘文政， 叶继红

(1.东南大学混凝土与预应力混凝土结构教育部重点实验室，江苏 南京 210018；2.山东省建筑科学研究院, 山东 济南 250031)

引 言

网壳结构的截面优化设计是指在满足规范和规程要求的条件下，通过优化杆件截面尺寸使结构重量减轻，达到减小用钢量、降低结构造价的目的。早期国内外学者采用传统优化方法对网壳结构进行优化研究[1～4]。近几年来，以遗传算法、模拟退火算法为代表的一些智能优化算法在网壳结构优化中的应用日益广泛[5～12]。遗传算法(GA)是基于达尔文的生物进化理论和孟德尔的遗传学说，通过模拟自然选择和有性繁殖，寻找优化问题的相对最优解[13]。与传统优化方法相比，遗传算法的优越性主要体现在：变量采用编码处理；直接以目标函数值作为搜索信息，不受目标函数和约束空间的连续性或可导性限制；隐含的并行性；概率转移规则。模拟退火算法(SA)是模拟统计物理学中固体退火过程而建立的一种随机搜索算法[14]。它是通过Metropolis算法迭代实现目标函数的最优化。模拟退火算法的优越性主要体现在：概率接受准则，能够避免陷入局部最优；通用性和灵活性，适用于目标函数难以求导和导数不存在的优化问题。然而采用上述两种智能优化方法对实际结构进行优化时，遗传算法存在局部搜索能力不强和后期收敛速度慢的缺点，模拟退火算法存在计算效率低的缺点。

单层网壳结构在地震作用下主要存在两种倒塌破坏模式，即动力失稳和强度破坏[15]，其中动力失稳模式的延性和耗能能力较差，破坏具有突然性，是一种非理想的破坏模式。如果单层网壳结构在未预料的强震作用下发生此类无征兆破坏，就会危及人民生命安全并造成巨大经济损失。因此有必要在单层网壳结构优化设计过程中对其倒塌模式进行控制。本文以结构杆件重量最轻为优化目标，以杆件截面尺寸为优化变量，考虑长细比、挠度、杆件强度及稳定性为约束条件，建立了单层球壳结构倒塌破坏模式优化模型。同时基于构形易损性理论，将构形度作为约束条件用于控制结构在强震下的倒塌破坏特征。将遗传算法和模拟退火算法相结合，基于混合策略构造出遗传-模拟退火算法(GASA)。采用C++语言编制GASA计算程序，并与APDL语言编写的单层球壳结构ANSYS分析命令流相结合，得到GASA-ANSYS优化程序。应用GASA-ANSYS优化程序对一个跨度为70 m的K6型单层球壳结构进行截面优化，并通过优化前后构形易损性分析和地震动力时程分析对优化结果进行验证。

1 单层网壳破坏模式优化模型

1.1 目标函数

以结构杆件重量最轻为优化目标，即

(1)

式中W为单层球壳结构的杆件重量，ρ为杆件材料密度，Ai为第i根杆件的截面积，Li为第i根杆件的几何长度，nm为杆件数量。

1.2 优化变量

以杆件截面尺寸为优化变量，即

(2)

式中Di为第i根杆件的外径，ti为第i根杆件的壁厚，Dmin和Dmax分别为杆件外径的最小值和最大值，tmin和tmax分别为杆件壁厚的最小值和最大值，其余符号同式(1)。实际结构杆件的外径Di与壁厚ti取值均为离散型数据。本文优化过程中变量Di和ti均按照GB/T 8162-2008《结构用无缝钢管》取值[16]，本文选取128种杆件规格(表1所示)，其中外径Di的取值范围为89～180 mm，壁厚ti的取值范围为3.5～12 mm。

表1 钢管规格表

1.3 约束条件

(1)长细比约束条件[17]

(3)

式中λi为第i根杆件的长细比；l0i为第i根杆件的计算长度；ii为第i根杆件的截面回转半径；[λ]为单层球壳结构的容许长细比。其中受压杆件的容许长细比取150，受拉杆件的容许长细比取300。

(2)位移约束条件[17]

(4)

式中wmax为单层球壳结构节点的最大挠度；L为结构跨度。

(3)强度约束条件[18]

(5)

式中Ni为第i根杆件的轴力值；Ani为第i根杆件的净截面积；Mxi和Myi分别为第i根杆件两个主轴方向的弯矩值；γx和γy为截面塑性发展系数，此处取值为1.15；Wnxi和Wnyi分别为第i根杆件两个主轴方向的净截面抵抗矩；f为构件材料的强度设计值。

(4)稳定约束条件[18]

(i=1,2,3,…,nm)

(6)

(7)

式中λi为第i根杆件的长细比，Ai为第i根杆件的毛截面面积。

(5)构形度约束条件

Blockley教授基于图论针对杆系结构建立了构形易损性理论[19～21]。Ye等将构形易损性理论用于研究单层网壳结构的失效机理[22]，通过振动台试验结果与构形易损性分析结果对比，得出网壳结构在地震作用下的倒塌破坏模式与构形度Q值密切相关，即构形度Q值变化均匀，则结构整体刚度均匀，地震作用下易出现强度破坏倒塌模式；构形度Q值变化不均匀，则结构存在薄弱区域，地震作用下易出现动力失稳倒塌破坏模式。基于上述倒塌机理，在优化过程中通过控制构形度Q值的对数标准差，使整个网壳结构的构形度Q值变化均匀，结构在强震作用下的倒塌模式具有强度破坏特征，即

(8)

(9)

式中d为节点数量，qk为节点jk的构形度，qk计算如下

(10)

式中Kkk为结构总体刚度矩阵中与节点jk对应的子矩阵，c为子矩阵Kkk的维数，λi为子矩阵Kkk的特征值，称为节点主刚度系数，det(Kkk)为子矩阵Kkk的行列式值。

2 优化算法及程序

2.1 遗传-模拟退火算法

遗传算法(GA)是基于生物进化理论和遗传学说而形成的一种随机概率搜索算法。在遗传算法中采用染色体表示优化问题的解，通过对染色体的适应度评价和基因的遗传操作，有效利用已有的信息指导搜索，最终收敛于问题的近似最优解。遗传算法主要实施步骤如下：(1)编码和生成初始种群；(2)计算适应度；(3)选择、交叉和变异；(4)收敛性判断。模拟退火算法(SA)是基于统计物理学中固体退火过程而建立的一种随机搜索算法。在模拟退火算法中，将问题的解对应固体的微观状态，目标函数值对应固体处于该微观状态的能量，控制参数t代替固体退火过程中的温度。模拟退火算法的具体实施步骤如下：对于控制参数t的每一个取值，算法从某个初始解开始，持续进行“产生新解—概率准则判断—接受/舍弃”的迭代过程；经过大量变换后，可以得到在给定控制参数t值下优化问题的相对最优解；然后减小控制参数t的数值，重复上述迭代过程。当t趋于0时，算法最终收敛于问题的最优解。

遗传算法和模拟退火算法能够解决复杂、高度非线性和具有隐式约束的优化问题。当采用这两种算法对实际结构进行优化时，遗传算法存在局部搜索能力不强和早熟收敛的问题，而模拟退火算法存在计算效率低下的问题。针对这两种算法存在的优缺点，本文采用混合策略构造出遗传-模拟退火算法(GASA)，其混合策略的内容如下：遗传算法利用模拟退火算法的解作为初始种群，通过选择、交叉和变异使后代个体模式更加优良，搜索过程快速进入最有希望的重点区域，防止优化效率迟滞；模拟退火算法对遗传算法得到的种群进行进一步优化，高温下的概率接受准则有利于优化过程中状态大范围的迁移，避免陷入局部最优；低温下的概率接受准则有利于优化过程中状态的局部小范围移动，防止过早收敛。这种混合策略实现了两种算法优化机制的融合和优化行为的互补，为解决网壳结构复杂优化问题提供了路径。遗传-模拟退火算法的具体实施步骤如下：

(1)编码：本文采用二进制编码方案，其优点是搜索能力强，交叉和变异等遗传操作便于实现，并且适用于处理离散变量的优化问题。设问题的某个离散优化变量xi在取值范围内存在d个值，则此变量对应的二进制编码串位数mi应该满足下式

(11)

(2)适应度函数：适应度函数用于评价个体的优良程度。本文的优化目标是使结构杆件重量最轻，因此构造适应度函数如下

(12)

式中x为当前种群中的一条染色体，f(x)为个体x对应的目标函数值；Wmax为当代种群中个体目标函数的最大值。优化模型中存在约束条件(式(3)～(8)所示)，需要采用惩罚函数将其转化为无约束条件的优化问题。本文采用Gen和Cheng的惩罚函数[23]，其构造如下：

(3)选择、交叉和变异：本文采用轮盘赌选择法，根据当前种群中每个个体的适应度值，选择比较优良的个体进行下一步的交叉和变异操作，实现“优胜劣汰”。交叉操作是以一定的交叉概率Pc交换父代染色体的部分基因构成新个体。变异操作是以一定的变异概率Pm改变染色体编码串中某些基因值构成新个体。交叉和变异是遗传算法中产生新个体的主要操作，交叉概率和变异概率是影响遗传算子效率的重要参数。本文采用自适应策略根据种群实际情况随机调整交叉概率Pc和变异概率Pm的大小[24]，即

(4)SA状态产生函数及温度参数：SA状态产生函数采用二变换法，即随机产生两个基因座位置，对处于这两个基因座位置之间的基因采取逆序操作。为了避免初始温度对于算法优化质量和优化效率的影响，采用自适应策略[25]，根据初始种群中个体适应度确定初始温度t0，即

t0=-|F0,max-F0,min|/lnpr

(18)

式中F0,max，F0,min为初始种群个体适应度的最大值和最小值，pr为初始接受概率。温度衰减函数采用指数函数，即

tk+1=αtk

(19)

式中α为温度下降系数，k为算法当前迭代次数。

(5)概率接受函数：采用Metropolis概率接受准则，即

(20)

式中t为控制参数，F(j)，F(i)分别代表新旧个体的适应度值。从上式可以看出：在算法开始阶段，控制参数t较高，算法可以接受较差的恶化解；随着t值的减小，只能接受较好的恶化解；最后当t值趋于0时，不能接受恶化解。

(6)内外循环终止准则：Metropolis算法的迭代次数采用固定长度法。算法进程的终止准则采用遗传算法的停止准则，即达到最大进化代数。

2.2 GASA-ANSYS优化程序

采用C++语言编写GASA算法主程序。采用APDL语言编写单层球壳结构有限元分析命令流，用于判断种群中的个体是否满足式(3)～(7)所示长细比、位移、杆件强度及稳定的约束条件。采用C++语言编制单层网壳结构构形易损性分析程序，计算种群中个体的构形度标准差，用于判断种群中的个体是否满足式(8)所示的构形度约束条件。C++程序编译平台为Visual C++6.0，ANSYS有限元分析软件版本为10.0，操作系统为Windows XP。Visual C++6.0编程平台具有高度灵活的开放式结构，能够与ANSYS有限元分析相结合实现批处理操作，因此整个程序实现连续化计算，提高了运算效率。优化程序流程如图1所示。

图1 单层网壳结构优化程序流程

3 单层球壳倒塌模式截面优化

3.1 结构布置

K6型单层球壳结构的跨度为70 m，矢跨比为1∶3.5，径向分割数为10，结构布置如图2所示。整个结构共有930根杆件和331个节点，采用固定支座，分布在结构最外环的每一个节点处。结构杆件均采用Q345钢管，弹性模量为2.06×108kN/m2，钢材密度为7.85×103kg/m3，泊松比为0.3。根据《建筑结构荷载规范》(GB50009-2012)，作用于网壳上的各种荷载标准值如下：球壳自重为0.4 kN/m2，节点自重为0.1 kN/m2，屋面板自重为0.6 kN/m2，设备管道自重为0.4 kN/m2，屋面活荷载为0.5 kN/m2，因此作用于单层球壳结构上的均布荷载设计值为：q=1.2×恒荷载+1.4×活荷载=2.5 kN/m2，以等效集中荷载的形式作用于节点上，节点等效荷载为20.5 kN。优化前根据静力满应力条件确定结构杆件的初始截面尺寸。

图2 K6型单层球壳结构布置图

3.2 优化参数

为了减少优化变量的数量，将结构对称位置上的杆件进行归类，每一类杆件的截面规格均相同。归类处理后，整个结构的杆件分为9类，即存在9组优化变量Di×ti(i=1,2,…,9)。优化变量与杆件位置的对应关系及杆件初始截面尺寸如表2所示。优化过程中，杆件截面尺寸优化变量Di×ti(i=1,2,…,9)按照离散变量进行取值，其取值范围如表1所示。可以看出每个截面尺寸优化变量Di×ti的取值存在128种，根据式(11)得出每个优化变量Di×ti对应的二进制编码串位数为7位，所以一条染色体对应的二进制编码串位数为7×9=63位。

表2 单层球壳结构的杆件分类

3.3 优化结果

为了对比GA算法和GASA算法的优化性能，分别采用GA算法和GASA算法对该结构进行优化。参照GA算法和SA算法常规的计算参数[26,27]，本文算例的优化参数如表3所示。最终得到的目标函数最优值随算法进程的变化曲线如图3所示，可以看出结构重量随算法进程逐渐降低，与GA算法相比，GASA算法可以有效避免搜索进程陷入局部最优。GASA算法的最终目标函数值为50 965 kg，小于GA算法得到的目标函数值54 711 kg，与优化前相比结构重量减轻12%。GA算法和GASA算法的优化结果如表4所示，可以看出，两种算法得到的优化结果均满足式(3)～(8)的约束条件。

图3 单层球壳优化的目标函数值变化曲线

表3 单层球壳结构优化参数

表4 单层球壳结构的优化结果

图4 优化后球壳的荷载-节点位移全过程曲线

图5 优化后球壳的自由簇构形度Q值变化曲线

图6 优化后球壳的地震波峰值-最大节点位移曲线 (纵坐标为输入PGA/优化前的临界PGA)

按照一致缺陷模态法，对优化后的单层球壳施加L/300初始缺陷，采用弧长法对其进行弹塑性稳定全过程分析，其荷载-位移曲线如图4所示。可以看出，优化后的单层球壳结构的失稳临界荷载为104.2 kN，大于5倍的等效节点力，满足静力稳定性要求。基于构形易损性理论，对优化后的单层球壳结构进行构形易损性分析，得到自由簇构形度Q值的变化规律如图5所示。可以看出，与优化前相比，优化后单层球壳结构的自由簇构形度变化均匀，没有较大波动，说明优化后的单层球壳结构整体刚度均匀。

采用ANSYS有限元软件对优化后的单层球壳结构进行动力时程分析。杆件采用BEAM189单元。BEAM189是ANSYS中的三节点梁单元，基于Timoshenko梁元理论，该梁在非线性分析中能考虑大变形、大转角和大应变效应。考虑钢材的本构关系，假设材料为理想弹塑性，屈服准则采用Miss屈服准则。同时考虑几何非线性，阻尼假定为Rayleigh阻尼，阻尼比取0.02，基底分别三向输入El-Centro地震波和TAFT地震波。结构的重力荷载代表值为q=恒荷载+0.5×雪荷载=1.75 kN/m2，以等效集中质量的形式作用于节点上。逐级提高输入地震波加速度峰值(PGA)，直至结构发生倒塌破坏，得到两种地震波作用下结构相对地震波加速度峰值-最大节点位移曲线如图6所示。优化前结构在El-Centro地震波和TAFT地震波作用下的极限PGA分别为2 200和2 000 gal；优化后结构的极限PGA分别为2 120和1 900 gal，仍然达到了抵御未预料的罕遇地震设防水平。从图6可以看出，优化后结构在随机选取的两种地震波作用下，强度破坏特征均更加显著，结构延性增强，即球壳在较低水平PGA下，产生一定挠度，可被使用者察觉和及时加固修复，进而避免结构一旦经受未预料的强震时发生突然性倒塌破坏。

4 结 论

(1)本文以结构重量最轻为优化目标，以杆件截面为优化变量，建立单层球壳结构优化模型。优化模型考虑了长细比、挠度、杆件强度及稳定性约束条件，保证优化后的结构满足规范和规程要求。同时基于结构在强震下的倒塌模式与构形度关系，将构形度标准差亦作为约束条件，保证优化后结构在强震下呈现理想的、有征兆的强度破坏特征。

(2)以遗传算法(GA)为主体流程，将模拟退火算法(SA)的优化机制引入其中，基于混合策略得到遗传-模拟退火优化算法(GASA)。GASA算法通过GA控制算法流程和种群并行搜索策略，与SA算法相比，提高了计算效率。通过SA的概率接受准则，赋予搜索过程中各状态可控的概率突跳性，与GA算法相比，能够避免陷入局部最优。同时，采用自适应策略削弱了算法对计算参数的依赖性。

(3)采用C++语言编写GASA优化程序，与APDL语言编写的结构有限元分析命令流相结合，得到GASA-ANSYS优化程序。采用该优化程序对跨度为70 m的单层球壳结构进行杆件截面尺寸优化。优化结果表明：优化后结构重量较优化前有较为明显的下降，同时在强震下的倒塌模式具有明显的强度破坏特征，因此GASA-ANSYS优化程序适用于大型单层球面网壳结构强震下倒塌破坏模式的截面优化问题，且优化效果显著。

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