关于欧文·M·柯匹的不完全性问题

周谧

摘 要：关于欧文·M·柯匹的19条推论规则的不完全性问题，西方学术界很少讨论，如果提出一个有效论证不能用十九条推论规则证明其有效性，会引入条件证明和间接证明，研究发现间接证明其是条件证明的衍生，同样引入重言式可以证明一些不能用欧文·M·柯匹提出19条推理规则证明的论证，所以对有效论证引入附加前提，只要附加的前提是重言式都可以用于推理中使用。

关键词：符号逻辑；不完全性；重言式；条件证明；排中律

逻辑学是研究用于区分正确推理与不正确推理的方法和原理的学问，正确推理有很多客观标准，逻辑学研究的宗旨就在发现并塑造这些标准。【1】最早由古希腊学者亚里士多德创建的，用某种缩写来表明自己的观点，符号逻辑则是引进更多的符号，用数学的方法研究关于推理、证明等问题的学科。符号逻辑一方面是评价推论有效性强有力的工具和手段，另一方面作为逻辑推理的工具和手段，它本身就有很多值得研究的论题。

欧文·M·柯匹的19条推论规则的集合被设计成从前提推导出系统化结论。然而，站在它的立场，系统无法到达任何陈述都是真实。这是因为前九条规则明确要求需要首要前提，而后十条规则是等值替换，既假定一个前提替代。欧文·M·柯匹在讨论19个推论规则时候发现在很多特殊的不完全性，他从奥·西蒙教授设定的证明规则发现十九条规则是不完全的，并且通过证明A→B∴A→ （A ·B），他提出一个有效讨论形式，即仅仅用19条推论规则是不能证明它有效性。【2】必须加入条件证明或者间接证明。例如条件证明规则：论证一，如果前提P，假设A我们能够推出B，所以A→B；间接证明规则：论证二，如果前提P，假设～C我们能够推出～A∧A，所以C。【3】

假设第一个论证是有效的，让p被作为第二论证的前提，运用条件证明的规则两次，通过条件证明我们可以得出

我们已经表明，间接证明可以通过19个推论规则加上条件证明中推导出来的。

讨论相对关系时，欧文·M·柯匹提出引进附加的前提，但是这个前提必须明确是真的。例如：论证“小明和小方的身高相同，小方和小王的身高相同，因此，小明和小王的身高相同.”为了提供有效的证明，增加相同的身高的传递为前提是很重要的，柯匹教授认为在讨论大量的命题能够假设有相同的论点，大量的听众和读者可以通过不重复众所周知的知识来减少复杂，原来许多平凡的真命题，有时因为复杂不停代入而变的难以理解，听众或读者可能更加期待清晰简单命题提供给自己。很多重言式都是一个平凡的真命题，例如：同一律A→A，排中率A∨～A。每个人都能接受这些重言式是真命题。因此，逻辑上不能反对引进它为一个附加的前提用来构建一个真正的证明。引入重言式作为附加的前提并不会影响证明的本身，在大多数情况下，仅仅利用原来19个规则是可以得出结论，但在有很多特殊的论证是不能通过19条规则证明出来，通过引入重言式是一个有用的工具去缩短许多证明

使用同一原则，排中原则，不矛盾原则的能够进一步用于证明是出于逻辑的基本原理。欧文·M·柯匹提出，“我们可以把这三大思想法则看做是支配真值表构造的原理。” 【5】 在构建真值表时我们确实使用这几个原理为指导，作为基本原则，他们是所有有效论证的附加前提，其实重言式是从十九条规则之一中衍生出来。

因此，十九条规则包含这些思想法则，对A→B 所以 A→ （A∧B）的证明是附加重言式规则，附加的重言式是独立于19个规则。根据该论证不能够被19个推论规则的证明，如果这个结论是正确的，那么欧文·M·柯匹展示的不完全的证明必须有一些错误。根据该论证不能够被19个独立规则的证明。但是，如果这里提供的论证都是对的，它是可以的

参考文献

[1]【美】欧文·M·柯匹.卡尔·科恩 逻辑学导论 2007

[2]L·西蒙斯 没有重言式的逻辑.圣母形式逻辑杂志1978

[3]P·J·坎贝尔 对阿姆斯特朗关于科匹一书完全性的问题的解答.圣母形式逻辑杂志1977

[4]普通逻辑 上海人民出版社 2012

[5]【美】I·M·柯匹.符号逻辑 北京大学出版社 1988