基于物理形变模型的非刚性配准研究方法综述

李莉华

摘 要：基于物理形变模型的非刚性配准研究方法是医学图像非刚性配准方法中的重要一种，本文对该种研究方法现状进行了综述整理，以供研究者参考。

关键词：非刚性配准；物理形变模型

基于灰度的非刚性配准算法可分为两大类：基于物理形变模型的非刚性配准算法和基于基函数拟合模型的非刚性配准算法。基于物理形变模型非刚性配准算法使用偏微分方程理论；基于基函数拟合模型的非刚性配准算法使用插值与拟合理论。

Broit[1]根据压力和张力理论，将线性弹性模型应用到非刚性配准算法中，提出了基于偏微分方程的弹性配准模型。弹性配准模型将变形场的变形过程看作弹性材料拉伸的物理过程。变形场在拉伸过程中受到外力和内力的共同作用。外力作用在弹性材料上，表示配准算法中的相似性测度；内力是弹性材料发生变形时产生的应力和阻止弹性材料离开平衡态的阻力，表示变形场平滑性。弹性配准模型可用Navier-Cauchy偏微分方程描述

其中，u为位移向量场；f为驱动弹性材料变形的外力；λ和μ是Lamé常数，用于描述弹性材料的变形方式。求解Navier-Cauchy偏微分方程等价于平衡性优化问题，即在变形过程中平衡外力和内力，通常可使用变分法[1]、有限差分法[2]和有限元法等方法求解。弹性配准模型一般适合配准小形变图像。

Navier-Cauchy偏微分方程使用小形变模型，弹性配准模型中的形变能量随形变强度线性增加，因此Navier-Cauchy方程不能处理大形变问题。但是人体组织的个体差异巨大，使得参考图像和浮动图像之间存在严重的非线性大形变，这就要求非刚性配准算法能够配准大形变的图像区域。Christensen根据连续力学理论，提出了粘性流体配准模型，解决了大形变图像的配准问题。粘性流体配准模型把浮动图像看作粘性流体，浮动图像在外力作用下发生变形，而内力在变形过程中逐步释放，使得浮动图像能够产生高度局部化的变形场。基于粘性流体模型的配准算法满足质量守恒和能量守恒等物理定律。

从物理角度而言，Navier-Stokes流体偏微分方程描述了作用力在流体区域上的平衡关系。Christensen提出的逆一致粘性流体配准算法是典型的粘性流体配准算法，通过多层配准策略，依次使用仿射变换、弹性变换和粘性流体变换，其自由度逐级增长，提高了配准精度和速度。但是，因为使用了逐次超松弛迭代法求解Navier-Stokes偏微分方程，所以逆一致粘性流体配准算法计算量巨大，制约了该算法进一步应用。Nielsen提出了逆一致粘性流体配准算法的快速算法，通过线性弹性算子的主值函数提取卷积滤波器，从而求解Navier-Stokes方程，降低了该算法的计算量。粘性流体配准模型既可以配准大形变图像，也可以配准复杂形变的图像。但是，因为粘性流体配准模型不具备拓扑保持性，所以在配准脑部等具有复杂结构的图像时，粘性流体配准模型可能误配准相连的不同组织。

根据热力学理论的分子扩散模型，Thirion提出了Demons非刚性配准算法。Demons算法将浮动图像看作可自由形变的网格，图像中的点分别被标记为外点或内点，其假设的体素扩散选择器Demons位于参考图像上，可将内点推入目标位置，将外点推出目标位置。Demons配准算法可以选择多种图像形变作用力，其中最典型的是基于光流场理论的作用力。光流场理论使用体素灰度的时间微分和空间梯度估计运动状态，常应用于机器人或虚拟现实的场景分析和运动图像补偿等。

因为光流场方程是病态方程，所以需要在方程中添加正则项来平滑光流场以约束方程的解空间。Demons算法通过高斯滤波器卷积变形场的方式平滑变形场，计算效率高，成为一种备受关注的算法。Demons非刚性配准算法使用光流场理论，是一种小形变配准模型，仅能配准图像中的小形变区域，不能配准发生大形变的图像。Wang通过假定扩散可以双向进行，提出了主动Demons配准算法。主动Demons算法假设选择器不但可以推动浮动图像向参考图像扩散，也可以推动参考图像向浮动图像扩散。根据作用力与反作用力原理，主动Demons配准算法使用新的变形作用力，体素移动方向由浮动图像和参考图像的梯度共同确定

主动Demons算法能够配准图像的大形变区域，不仅提高了配准的准确性，而且提高了配准的一致性和收敛速度，一定程度上克服了Demons配准算法仅能配准小形变图像的缺点。Cachier通过总结Demons相关算法，提出了更具一般性的PASHA算法。PASHA算法可以使用常规的优化理论解释Demons算法。根据PASHA算法，参考图像F和浮动图像M的能量函数E为

其中，Sim是相似性测度；C为图像对应性，即M中的每一个点在S中都有对应点；T是受正则化能量R约束的平滑向量场；λ控制变形场平滑性；σ为图像噪声水平。PASHA算法指出，常规优化方法求解需同时优化C和T，但是当正则化能量具有正交性时，可以使用快速交替寻优算法。Vercauteren根据李群理论提出了diffeomorphic Demons非刚性配准算法，并指出Demons算法使用的变形场向量加法迭代和向量复合迭代方法是李群复合的近似。

人体组织形态多样，但就本质而言，组成成分只有细胞和细胞外基质，分别可以看作弹性物质和无弹性物质，具有各向异性。细胞级的力学模型可以很好地描述组织的非线性形变，连续生物力学理论可以描述生物材料的复杂行为特点[3]。因此，基于连续生物力学模型的配准算法通过关注特定条件下的组织行为模拟图像形变，将是非刚性配准算法研究的一个重要研究方向。

参考文献

[1] Haber E， Modersitzki J， Numerical methods for image registration[M]. New York： Oxford University Press， 2004. 106-120.

[2] BROIT C. Optical Registration of Deformed Images[M]. Pennsylvania： University of Pennsylvania， 1981.1-21.

[3] Humphrey J D. Continuum biomechanics of soft biological tissues [J]. Mathematical， Physical and Engineering， 2003， 459： 3-46.