与“比例”相关的数学知识的归纳与点拨

国丹丹

【知识归纳】

1.比例：表示两个比相等的式子.

2.比例的性质：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积.

符号语言：若a：b=c：d，则ad=bc；若a/b= c/d，则ad=bc.

3.正比例：若y/x=k（k为常数），则y与x成正比例.

4.反比例：若满足xy=k（k为常数），则y与x成反比例.

5.解比例：求比例中未知项的过程.

6.判断两个比是否能成比例的方法：

（1）根据比例的意义判断两个比是否能成比例.

若两个比的比值相等，则它们成比例，否则不成比例.

（2）根据比例的基本性质判断两个比是否能成比例.

若一个比例式的两个比的外项之积等于内项之积，则它们成比例，否则不成比例.

7.根据比例的意义判断四个数是否成比例的步骤：

（1）把四个数从小到大排序；

（2）第一个数与第二个数的比值若等于第三个与第四个数的比值，则这四个数成比例，否则不成比例.

8.解比例的方法：

（1）利用除法意义解比例；

（2）利用比例的基本性质解比例.

【考题解析】

例1.反比例函数y=（1-2k）/x的图象经过点（-2，3），则k的值为（）

A.6B.-6C.7/2D.-7/2

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

分析：把点（-2，3）代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值.

解答：由题意，得3=（1-2k）/（-2 ），解得，k=7/2.故选C.

点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上.

例2.在一个比例中，两个比的比值都是3，这个比例的两个内项都是6，写出这个比例式.

考点：比例的意义和基本性质.

分析：根据题意可知，求的是这个比例的两个外项，也就是第一个比缺少比的前项，就用比值乘上比的后项；第二个比缺少比的后项，就用比的前项除以比值；分别求出后，再写出比例即可.

解答：第一个比的前项：3×6=18，第二个比的后项：6÷3=2，这个比例式是：18：6=6：2.

点评：解决此题关键是根据比的前项、后项和比值之间的关系，先分别求得这两个比的前项或后项，也就是这个比例的两个外项，进而写出此比例即可.

例3.如果y/4= x/3，，那么x和y成___比例，如果4/y= x/3，那么x和y成___比例.

分析：根据正比例和反比例的意义：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，即y/x=k（一定），y与x成正比例；那么反比例关系式用字母表示为：xy=k（一定），y与x成反比例，进行解答即可.

解答：如果y/4= x/3，则3y=4x，即y：x=4：3（定值），所以y与x成正比例；如果4/y= x/3，根据比例的基本性质得：xy=12（一定），所以y与x成反比例；故答案为：正，反.

点评：解答此题的关键是根据成正比例和反比例的意义，进行判断即可.

例4.大小两瓶油共重2.7千克，大瓶油用去0.2千克，剩下的油与小瓶油的重量比是3：2，求大小瓶子原来分别装油（）千克

A.1.7，1.0B.1.6，1.1

C.1.5，1.2D.1.4，1.3

分析：设大瓶原来装有油x千克，则小瓶原来有油（2.7-x）千克，后来大瓶有油（x-0.2）千克，再由“剩下的油与小瓶的油的重量比是3：2”，列出比例解答即可.

解答：设大瓶原来装有油x千克，则小瓶原来有油（2.7-x）千克，则

（x-0.2）：（2.7-x）=3：2

3（2.7-x）=2（x-0.2）8.1-3x=2x-0.4 5x=8.1+0.4 x=8.5÷5 x=1.7

小瓶原来有油：2.7-1.7=1（千克）.

答：大瓶原来装有油1.7千克；小瓶原来有油1千克.故选：A

点评：本题关键是设出未知数，根据题意用未知数表示出大瓶剩下的油与小瓶的油的重量，列出比例解答即可.

【能力提高】

1.修路队修一条960米的公路，前12天修了全场的四分之一，照这样的速度，再有多少天可以修完？

2.啤酒生产情况记录表如下：

请同学们完成下面的问题.

（1）表中（）和（）是相关联的量.

（2）工作总量随工作时间是如何变化的？

（3）任意写出三个相对应的工作总量和工作时间的比，并算出它们的比值.它们的比值有变化吗？

（4）比值实际上表示（），用式子表示它们的关系.

3.新学期开学，小明和小华共买了132支碳素笔，若把小明的碳素笔的五分之一给小华.这样小明和小华现有碳素笔的支数比为1：2.

（1）若小明原有a只碳素笔，那么小明和小华现在各有多少支碳素笔？

（2）小明和小华两人原来各有多少支碳素笔？

4.生产一批零件，计划每天生产20个，6天可以完成，实际每天多生产4个.

（1）多少天可以完成？

（2）实际每天生产的零件数比计划多百分之几？

答案：1.解：设再有x天可以修完. 960×3/4：x=960×1/4：12 720：x=240：12 240x=720×12 240x=8640

x=8640/240=36

2.（1）工作时间、工作总量；

（2）工作总量随着工作时间的增加而增大，比值不变；

（3）略；

（4）工作效率；工作总量/工作时间=工作效率.

3.解：（1）依题意有

a（1-1/5）：（132-a+a×1/5）=1：2

解得a=55，所以小明现在有55-11=44支碳素笔，小华现在有44×2=88支碳素笔.

（2）由（1）得，小明原来有55支碳素笔，小华原来有132-55=77支碳素笔.

4.解：（1）依题意，零件总量为20×6= 120个，实际可以120/（20+4）=5天完成.

（2）实际每天生产比计划的多（24-20）/

20×100%=20%.endprint

【知识归纳】

1.比例：表示两个比相等的式子.

2.比例的性质：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积.

符号语言：若a：b=c：d，则ad=bc；若a/b= c/d，则ad=bc.

3.正比例：若y/x=k（k为常数），则y与x成正比例.

4.反比例：若满足xy=k（k为常数），则y与x成反比例.

5.解比例：求比例中未知项的过程.

6.判断两个比是否能成比例的方法：

（1）根据比例的意义判断两个比是否能成比例.

若两个比的比值相等，则它们成比例，否则不成比例.

（2）根据比例的基本性质判断两个比是否能成比例.

若一个比例式的两个比的外项之积等于内项之积，则它们成比例，否则不成比例.

7.根据比例的意义判断四个数是否成比例的步骤：

（1）把四个数从小到大排序；

（2）第一个数与第二个数的比值若等于第三个与第四个数的比值，则这四个数成比例，否则不成比例.

8.解比例的方法：

（1）利用除法意义解比例；

（2）利用比例的基本性质解比例.

【考题解析】

例1.反比例函数y=（1-2k）/x的图象经过点（-2，3），则k的值为（）

A.6B.-6C.7/2D.-7/2

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

分析：把点（-2，3）代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值.

解答：由题意，得3=（1-2k）/（-2 ），解得，k=7/2.故选C.

点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上.

例2.在一个比例中，两个比的比值都是3，这个比例的两个内项都是6，写出这个比例式.

考点：比例的意义和基本性质.

分析：根据题意可知，求的是这个比例的两个外项，也就是第一个比缺少比的前项，就用比值乘上比的后项；第二个比缺少比的后项，就用比的前项除以比值；分别求出后，再写出比例即可.

解答：第一个比的前项：3×6=18，第二个比的后项：6÷3=2，这个比例式是：18：6=6：2.

点评：解决此题关键是根据比的前项、后项和比值之间的关系，先分别求得这两个比的前项或后项，也就是这个比例的两个外项，进而写出此比例即可.

例3.如果y/4= x/3，，那么x和y成___比例，如果4/y= x/3，那么x和y成___比例.

分析：根据正比例和反比例的意义：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，即y/x=k（一定），y与x成正比例；那么反比例关系式用字母表示为：xy=k（一定），y与x成反比例，进行解答即可.

解答：如果y/4= x/3，则3y=4x，即y：x=4：3（定值），所以y与x成正比例；如果4/y= x/3，根据比例的基本性质得：xy=12（一定），所以y与x成反比例；故答案为：正，反.

点评：解答此题的关键是根据成正比例和反比例的意义，进行判断即可.

例4.大小两瓶油共重2.7千克，大瓶油用去0.2千克，剩下的油与小瓶油的重量比是3：2，求大小瓶子原来分别装油（）千克

A.1.7，1.0B.1.6，1.1

C.1.5，1.2D.1.4，1.3

分析：设大瓶原来装有油x千克，则小瓶原来有油（2.7-x）千克，后来大瓶有油（x-0.2）千克，再由“剩下的油与小瓶的油的重量比是3：2”，列出比例解答即可.

解答：设大瓶原来装有油x千克，则小瓶原来有油（2.7-x）千克，则

（x-0.2）：（2.7-x）=3：2

3（2.7-x）=2（x-0.2）8.1-3x=2x-0.4 5x=8.1+0.4 x=8.5÷5 x=1.7

小瓶原来有油：2.7-1.7=1（千克）.

答：大瓶原来装有油1.7千克；小瓶原来有油1千克.故选：A

点评：本题关键是设出未知数，根据题意用未知数表示出大瓶剩下的油与小瓶的油的重量，列出比例解答即可.

【能力提高】

1.修路队修一条960米的公路，前12天修了全场的四分之一，照这样的速度，再有多少天可以修完？

2.啤酒生产情况记录表如下：

请同学们完成下面的问题.

（1）表中（）和（）是相关联的量.

（2）工作总量随工作时间是如何变化的？

（3）任意写出三个相对应的工作总量和工作时间的比，并算出它们的比值.它们的比值有变化吗？

（4）比值实际上表示（），用式子表示它们的关系.

3.新学期开学，小明和小华共买了132支碳素笔，若把小明的碳素笔的五分之一给小华.这样小明和小华现有碳素笔的支数比为1：2.

（1）若小明原有a只碳素笔，那么小明和小华现在各有多少支碳素笔？

（2）小明和小华两人原来各有多少支碳素笔？

4.生产一批零件，计划每天生产20个，6天可以完成，实际每天多生产4个.

（1）多少天可以完成？

（2）实际每天生产的零件数比计划多百分之几？

答案：1.解：设再有x天可以修完. 960×3/4：x=960×1/4：12 720：x=240：12 240x=720×12 240x=8640

x=8640/240=36

2.（1）工作时间、工作总量；

（2）工作总量随着工作时间的增加而增大，比值不变；

（3）略；

（4）工作效率；工作总量/工作时间=工作效率.

3.解：（1）依题意有

a（1-1/5）：（132-a+a×1/5）=1：2

解得a=55，所以小明现在有55-11=44支碳素笔，小华现在有44×2=88支碳素笔.

（2）由（1）得，小明原来有55支碳素笔，小华原来有132-55=77支碳素笔.

4.解：（1）依题意，零件总量为20×6= 120个，实际可以120/（20+4）=5天完成.

（2）实际每天生产比计划的多（24-20）/

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【知识归纳】

1.比例：表示两个比相等的式子.

2.比例的性质：在比例里，两个外项之积等于两个内项之积.

符号语言：若a：b=c：d，则ad=bc；若a/b= c/d，则ad=bc.

3.正比例：若y/x=k（k为常数），则y与x成正比例.

4.反比例：若满足xy=k（k为常数），则y与x成反比例.

5.解比例：求比例中未知项的过程.

6.判断两个比是否能成比例的方法：

（1）根据比例的意义判断两个比是否能成比例.

若两个比的比值相等，则它们成比例，否则不成比例.

（2）根据比例的基本性质判断两个比是否能成比例.

若一个比例式的两个比的外项之积等于内项之积，则它们成比例，否则不成比例.

7.根据比例的意义判断四个数是否成比例的步骤：

（1）把四个数从小到大排序；

（2）第一个数与第二个数的比值若等于第三个与第四个数的比值，则这四个数成比例，否则不成比例.

8.解比例的方法：

（1）利用除法意义解比例；

（2）利用比例的基本性质解比例.

【考题解析】

例1.反比例函数y=（1-2k）/x的图象经过点（-2，3），则k的值为（）

A.6B.-6C.7/2D.-7/2

考点：反比例函数图象上点的坐标特征.

分析：把点（-2，3）代入已知函数解析式，列出关于k的方程，通过解方程来求k的值.

解答：由题意，得3=（1-2k）/（-2 ），解得，k=7/2.故选C.

点评：本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图象上.

例2.在一个比例中，两个比的比值都是3，这个比例的两个内项都是6，写出这个比例式.

考点：比例的意义和基本性质.

分析：根据题意可知，求的是这个比例的两个外项，也就是第一个比缺少比的前项，就用比值乘上比的后项；第二个比缺少比的后项，就用比的前项除以比值；分别求出后，再写出比例即可.

解答：第一个比的前项：3×6=18，第二个比的后项：6÷3=2，这个比例式是：18：6=6：2.

点评：解决此题关键是根据比的前项、后项和比值之间的关系，先分别求得这两个比的前项或后项，也就是这个比例的两个外项，进而写出此比例即可.

例3.如果y/4= x/3，，那么x和y成___比例，如果4/y= x/3，那么x和y成___比例.

分析：根据正比例和反比例的意义：如果用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值，即y/x=k（一定），y与x成正比例；那么反比例关系式用字母表示为：xy=k（一定），y与x成反比例，进行解答即可.

解答：如果y/4= x/3，则3y=4x，即y：x=4：3（定值），所以y与x成正比例；如果4/y= x/3，根据比例的基本性质得：xy=12（一定），所以y与x成反比例；故答案为：正，反.

点评：解答此题的关键是根据成正比例和反比例的意义，进行判断即可.

例4.大小两瓶油共重2.7千克，大瓶油用去0.2千克，剩下的油与小瓶油的重量比是3：2，求大小瓶子原来分别装油（）千克

A.1.7，1.0B.1.6，1.1

C.1.5，1.2D.1.4，1.3

分析：设大瓶原来装有油x千克，则小瓶原来有油（2.7-x）千克，后来大瓶有油（x-0.2）千克，再由“剩下的油与小瓶的油的重量比是3：2”，列出比例解答即可.

解答：设大瓶原来装有油x千克，则小瓶原来有油（2.7-x）千克，则

（x-0.2）：（2.7-x）=3：2

3（2.7-x）=2（x-0.2）8.1-3x=2x-0.4 5x=8.1+0.4 x=8.5÷5 x=1.7

小瓶原来有油：2.7-1.7=1（千克）.

答：大瓶原来装有油1.7千克；小瓶原来有油1千克.故选：A

点评：本题关键是设出未知数，根据题意用未知数表示出大瓶剩下的油与小瓶的油的重量，列出比例解答即可.

【能力提高】

1.修路队修一条960米的公路，前12天修了全场的四分之一，照这样的速度，再有多少天可以修完？

2.啤酒生产情况记录表如下：

请同学们完成下面的问题.

（1）表中（）和（）是相关联的量.

（2）工作总量随工作时间是如何变化的？

（3）任意写出三个相对应的工作总量和工作时间的比，并算出它们的比值.它们的比值有变化吗？

（4）比值实际上表示（），用式子表示它们的关系.

3.新学期开学，小明和小华共买了132支碳素笔，若把小明的碳素笔的五分之一给小华.这样小明和小华现有碳素笔的支数比为1：2.

（1）若小明原有a只碳素笔，那么小明和小华现在各有多少支碳素笔？

（2）小明和小华两人原来各有多少支碳素笔？

4.生产一批零件，计划每天生产20个，6天可以完成，实际每天多生产4个.

（1）多少天可以完成？

（2）实际每天生产的零件数比计划多百分之几？

答案：1.解：设再有x天可以修完. 960×3/4：x=960×1/4：12 720：x=240：12 240x=720×12 240x=8640

x=8640/240=36

2.（1）工作时间、工作总量；

（2）工作总量随着工作时间的增加而增大，比值不变；

（3）略；

（4）工作效率；工作总量/工作时间=工作效率.

3.解：（1）依题意有

a（1-1/5）：（132-a+a×1/5）=1：2

解得a=55，所以小明现在有55-11=44支碳素笔，小华现在有44×2=88支碳素笔.

（2）由（1）得，小明原来有55支碳素笔，小华原来有132-55=77支碳素笔.

4.解：（1）依题意，零件总量为20×6= 120个，实际可以120/（20+4）=5天完成.

（2）实际每天生产比计划的多（24-20）/

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