两个幂等元之和的可逆性

左 可 正

(湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)



两个幂等元之和的可逆性

左 可 正*

(湖北师范学院 数学与统计学院, 湖北 黄石 435002)

研究在一个有单位元的环中的两个幂等元之和的可逆性问题,利用幂等元的性质,得到了两个幂等元之和可逆的几个充分必要条件,并给出了它们在矩阵环中的几个应用.

有单位元的环; 幂等元; 可逆性; 矩阵环

Wimmer在文献[1-2]和Rakocˇevic＇在文献[3]中都研究了Hilbert空间中的两个正交投射算子的和与差的可逆性问题.在文献[4]和文献[5]中,Groβ和Trenkler,Koliha等研究了两个幂等矩阵的和与差的可逆性问题.而在文献[6]和文献[7]中,Koliha和Rakocˇevic＇, Zuo研究了两个幂等矩阵的线性组合aP+bQ及两个幂等矩阵的组合aP+bQ-cPQ的可逆性问题(其中P,Q是两个n阶幂等矩阵,a,b是两个非零复数,c是一个复数).以更一般的形式,Koliha和Rakocˇevic＇在文献[8]中研究了有单位元环中两个幂等元之差的可逆性问题.而Zuo在文献[9]中又得出了几个幂等元之差可逆的充要条件.

本文则进一步给出有单位元的环中两个幂等元之和可逆的几个充要条件,并指出它们在矩阵环中的一些应用.

下面介绍必要的符号和预备引理.

本文恒设R是有单位元的结合环;R的单位元记作1,R的零元记作0,且1≠0.用R-1表示R的所有可逆元构成的集合;C(R)={z∈R|xz=zx,∀x∈R}记作R的中心.对a∈R令:

aR={ax|x∈R},Ra={xa|x∈R},

aRa={axa|x∈R};

a0={x∈R|ax=0},

0a={x∈R|xa=0}.

如果f∈R满足f2=f则称f为R的幂等元.

关于幂等元以下的性质是需要的.

引理1如果f是R的幂等元,a∈C(R), 1+a∈R-1则1+af∈R-1.

证明由条件容易得出下面的等式

(1+af)[1-a(1+a)-1f]=

[1-a(1+a)-1f](1+af)=1,

所以1+af∈R-1.

如果a∈R满足a∈aRa则称a为R的正则元.关于正则元有下面容易证明的引理2.

引理2如果a∈R. 则有:a∈R-1当且仅当a是R的正则元且0a=a0={0}.

文献[8]证明了下述结论.

引理3设f,g是R的幂等元且2∈R-1. 那么f-g∈R-1当且仅当f+g∈R-1且1-fg∈R-1.

下述结果是文献[10]的重要结论.

引理4设f,g是R的幂等元,那么f-g∈R-1当且仅当f+g-fg∈R-1且1-fg∈R-1.

1主要结果及证明

本部分给出两个幂等元f,g之和f+g可逆的几个充要条件.

定理1设f,g是环R的两个幂等元,α,β,γ∈C(R), 2,α,β,α+β+γ∈R-1,则

f+g∈R-1⟺αf+βg+γfg∈R-1⟺

αf+βg+γgf∈R-1.

证明通过计算可以得到下面的等式:

[1+(β-γ-α)(α+β+γ)-1f]·

(αf+βg+γfg)·

[1+(α-γ-β)(α+β+γ)-1g]=

2αβ(α+β+γ)-1(f+g).

(1)

因为1+(β-γ-α)(α+β+γ)-1=2β(α+β+γ)-1∈R-1, (β-γ-α)(α+β+γ)-1∈C(R),那么由引理1得出1+(β-γ-α)(α+β+γ)-1f∈R-1.同理可得出1+(α-γ-β)(α+β+γ)-1g∈R-1. 而2αβ(α+β+γ)-1∈R-1,这样由(1)式得出

f+g∈R-1⟺αf+βg+γfg∈R-1.

又因为f+g∈R-1⟺g+f∈R-1,再由刚证出的充要条件就可得出

f+g∈R-1⟺αf+βg+γfg∈R-1.

推论1设f,g是环R的两个幂等元,2∈R-1,则

f+g∈R-1⟺f+g-fg∈R-1⟺

f+g-gf∈R-1.

证明只需在定理1中令α=β=1,γ=-1即可得出推论.

注记1由推论1,就可将文献[8]和文献[10]中的2个重要结果引理3和引理4统一起来了.

定理2设f,g是环R的两个幂等元,α,β,α1,β1,γ1∈C(R), 2,α,β,α+β,α1+β1+γ1∈R-1,则

f+g∈R-1⟺αf+βg+αfg+βgf∈R-1⟺

α1f+β1g+(α1+γ1)fg+β1gf+

γ1fgf∈R-1.

证明先证第1个充要条件.由等式(αf+βg)(f+g)=αf+βg+αfg+βgf和定理1可得出必要性成立.

另一方面,如果αf+βg+αfg+βgf∈R-1,则由等式(αf+βg)(f+g)=αf+βg+αfg+βgf可得出f+g是左可逆的,αf+βg是右可逆的.由αf+βg右可逆和等式

[1+(β-α)(α+β)-1f](αf+βg)·

[1+(α-β)(α+β)-1g]=

2αβ(α+β)-1(f+g),

可得出f+g是右可逆的,从而f+g∈R-1.

类似地,由等式(α1f+β1g+γ1fg)(f+g)=α1f+β1g+(α+1γ1)fg+β1gf+γ1fgf和定理1可证明第2个充要条件.

定理3设f,g是环R的两个幂等元,2∈R-1,那么

f+g∈R-1⟺f+g正则且

(g(1-f)R)∩[(1-f)g]0=

{0}=f0∩g0,

(R(1-f)g)∩0[g(1-f)]=

{0}=0f∩0g.

证明 ⟹.因为f+g∈R-1,当然有f+g是正则的.

对∀x∈f0∩g0,则fx=gx=0, (f+g)x=0,而f+g可逆,所以x=0,由此得出

f0∩g0={0}.

又对∀x∈(g(1-f)R)∩[(1-f)g]0,则∃y∈R,使得x=g(1-f)y, (1-f)gx=0,所以x=gx,x=fx. 这样

(f+g)x=2x=2g(1-f)y=

(f+g)(1-f)(2y),

由f+g可逆可得出x=(1-f)(2y),从而x=fx=f(1-f)(2y)=0,故得出

(g(1-f)R)∩[(1-f)g]0={0}.

同理,由f+g∈R-1可证出

(R(1-f)g)∩0[g(1-f)]=

{0}=0f∩0g.

⟸.由引理2,要证f+g∈R-1,只需要证明(f+g)0=0(f+g)={0}即可.对∀x∈(f+g)0, (f+g)x=0,由此得出fx+fgx=0=gfx+gx,从而gx=fgx,fx=gfx,这样(1-f)ggx=(1-f)gx=0,所以gx∈[(1-f)g]0.

又

g(1-f)(-x)=-gx+gfx=

-gx+fx=-2gx,

由2∈R-1得出gx∈g(1-f)R,从而

gx∈(g(1-f)R)∩[(1-f)g]0={0},

由此得出gx=0,所以fx=0,x∈f0∩g0={0},推出x=0,从而(f+g)0={0}.

同理,由(R(1-f)g)∩0[g(1-f)]={0}=0f∩0g及2∈R-1可推出0(f+g)={0},所以由引理2得出f+g∈R-1.

定理4设f,g是环R的两个幂等元,则

f+g∈R-1⟺f+g正则且

(fg+gf)0=(1-f-g)0,

0(fg+gf)=0(1-f-g).

证明 ⟹. 由f+g∈R-1.易得f+g正则.

由等式(f+g)(1-f-g)=-fg-gf=(1-f-g)(f+g)及f+g∈R-1.可得出

(fg+gf)0=(1-f-g)0,

0(fg+gf)=0(1-f-g).

⟸.由引理2,只需证明(f+g)0={0}=0(f+g)即可.

对∀x∈(f+g)0,则(f+g)x=0.从而(fg+gf)x=-(1-f-g)(f+g)x=0,x∈(fg+gf)0,x∈(1-f-g)0,故得出0=(1-f-g)x=x,这样(f+g)0={0}. 同理可证明0(f+g)={0}.

2应用

这部分把上节的结果应用到矩阵环Fn×n上去,得到幂等矩阵可逆的一些充要条件,这里F是特征为0的域.用I表示单位矩阵.设矩阵A∈Fn×n,用R(A), N(A)分别表示A的值域和核子空间,A可逆⟺N(A)={0}.用Fn表示域F上的n维列向量组成的F上的线性空间.

定理5设P,Q是Fn×n中的两个幂等矩阵,a,b,c∈F,ab≠0,a+b+c≠0,则以下各条彼此等价:

1)P+Q可逆;

2)aP+bQ+cPQ可逆;

3)aP+bQ+(a+c)PQ+bQP+cPQP可逆;

4) R(Q(I-P))∩N((I-P)Q)={0}=N(P)∩R(Q);

5) N(PQ+QP)=N(I-P-Q).

证明 1)、2)、3)之间的等价性由定理1和定理2给出.1)与4)的等价性类似于定理3的证明可得出.

下面只需给出1)⟺5)的证明.

1)⟹5).设P+Q可逆.那么由下列等式

(P+Q)(I-P-Q)=-PQ-QP=

(I-P-Q)(P+Q),

可得出N(PQ+QP)=N(I-P-Q).

5)⟹1).如果N(PQ+QP)=N(I-P-Q).对∀x∈N(P+Q),x∈Fn,那么(P+Q)x=0,从而(PQ+QP)x=(P+Q-I)(P+Q)x=0.这样x∈N(PQ+QP),x∈N(I-P-Q),由此可得出x=0,所以P+Q可逆.

[1] Wimmer H K. Canonical angles of unitary spaces and perturbations of direct complements[J]. Linear Alg Appl, 1999, 287:373-379.

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[3] Rakocˇevic＇ V. On the norm of idempotents in a Hilbert space[J]. Amer Math Mothly, 2000, 107:745-750.

[4] Groβ J, Trenkler G. Nonsingularity of the difference of two oblique projectors[J]. SIAM J Matrix Anal Appl, 1999, 21:390-395.

[5] Koliha J J, Rakocˇevic＇ V, Straskraba I. The difference and sum of projectors[J]. Linear Algebra Appl, 2004, 388:279-288.

[6] Koliha J J, Rakocˇevic＇ V. The nullity and rank of linear combinations of idempotent matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2006, 418:11-14.

[7] Zuo K. Nonsingularity of the difference and the sum of two idempotent matrices[J]. Linear Algebra Appl, 2010, 433: 476-482.

[8] Koliha J J, Rakocˇevic＇ V. Invertibility of the sum of idempotents[J]. Linear Multil Algebra, 2002, 50:285-292.

[9] 左可正. 关于幂等元之差的可逆性[J].数学杂志,2007,27(1):96-101.

[10] Koliha J J, Rakocˇevic＇ V. Invertibility of the difference of idempotents[J]. Linear Multil Algebra, 2003, 51:97-110.

On the invertibility of the sum of idempotents

ZUO Kezheng

(Department of Mathematics, Hubei Normal University, Huangshi, Hubei 435002)

The invertibility of the sum of two idempotents of a unitary ring is studied in this paper. Using properties of idempotents， we have shown several necessary and sufficient conditions for the invertibility of the sum of two idempotents， and have presented some applications to matrix rings．

unitary ring; idempotents; invertibility; matrix ring

2013-12-20.

国家自然科学基金项目(11272005);湖北省教育厅重点项目(D20122202).

1000-1190(2014)04-0465-03

O153.3

A

*E-mail: xiangzuo28@163.com.