数学分析课程中的开放型问题

王卫兵，唐 唯

(湖南科技大学 数学与计算科学学院，湖南 湘潭411201)

数学分析课程是普通高校数学专业最重要的专业主干课程，是多门后续分析类课程的基础，如常微分方程、复变函数、实变函数、泛函分析，为其提供必要的基础知识、方法与技巧。其特点是体系严密，知识容量大，逻辑性强，应用广泛。数学分析中概念、定义、公式、定理、方法技巧众多，蕴含着丰富的数学思想方法。目前，数学分析的教学在模式上注重概念、定理、公式的讲解，通常主要结论按照一定模式进行论证和解答，比较忽视启发学生自己去发现问题、提出问题、解决问题。

数学开放题是上世纪70 年代发展起来的一种新题型，在一定条件下探索不明确结论，或由给出的结论探索使结论成立的条件［1］。在开放型问题中，条件可能不完善，需要补充;或满足结论的条件有多种;或结论不唯一;或解决问题的方法不唯一。开放型问题的答案常常不确定，没有固定的解题模式，思维发散性大，这种特性决定了教师无法采用灌输式教学，学生必须积极参与，主动地进行探索。数学开放型问题的教学有利于培养学生的数学意识、分析能力、综合能力、抽象能力、推理能力;有利于培养学生的探索精神和创新能力。

数学分析教材中众多的定理、命题、习题，一般由确定的条件导出确定的结论。但许多命题、习题可加以改编成为开放型问题。在教学过程中，立足教材，适当地编制开放型问题，进行一些开放型问题的训练，可大大提升教学效果。

1 隐藏原命题的部分条件，反向探求新条件

得到某一结论的条件通常不是唯一的。隐藏部分条件，探索使结论成立需添加的因素，可将原题改编为开放问题。

例1 数列收敛的充要条件是它的所有子列都收敛。将该命题中的充分条件减弱便可得到若干开放问题。

问题1 数列{an}的子列{a2n}，{a2n-1}都收敛。在什么条件下，数列{an}收敛?

问题2 数列{an}的子列{a3n}，{a3n-1}，{a3n-2}都收敛。在什么条件下，数列{an}收敛?

也可考虑上述问题的反面。

问题3 求一发散数列{an}，其收敛子列的极限都相等。

例2 (原题)已知函数f ∈C［0，1］，且f(0)=f(1)，则存在r ∈(0，1)使得f(r +0．5)= f(r)．

问题4 函数f 满足什么条件时存在r ∈R 使得f(r+0．5)= f(r)?

2 拓展已有的结论

数学分析课程中很多命题、习题蕴含着丰富的信息。通常教师、学生解完题后就不再深入地思考还能得到什么样的结论。将其结论进行拓展，深挖，进一步探索新的结论，可得到某些开放型问题。

例4 拉格朗日中值定理:设函数f 在闭区间［a，b］内连续，在开区间(a，b)内可导，则存在r ∈(a，b)使得f(b)- f(a)= f'(r)(b - a)．

上述定理中仅仅肯定了f 的存在性，对这样的f 的个数信息不明。我们可以问:

问题6 在什么条件下，中值定理中的f 的个数是1，是2，甚至是f 个?

问题7 设函数f 在闭区间［a，b］内连续，在开区间(a，b)内可导，r ∈(a，b)，是否存在不同的两点s，t ∈［a，b］使得f(s)- f(t)= f'(r)(s - t)?在什么情形下是存在的?

3 改变条件，探索新结论

命题或习题条件的变化，其结论也随之变化。适当变化相关的条件， 引导学生探求对结论的影响，有利于开阔学生思路，巩固所学知识。

例5 重要的极限f(x)= (1 + x)x-1→e(x →0)． 很显然函数f 是幂指数函数，其底的极限为1 (x →0)，指数的极限为∞(x →0)． 考虑更一般的幂指数函数h(x)g(x)．

问题8 若h(x)→1，时，h(x)→1，g(x)→∞． 幂指数函数h(x)g(x)的极限是否存在?存在时为多少?

例6 当f(x)，g(x)时，f(x)，g(x)与f(x)，g(x)是等价无穷小量。于是当f(x)，g(x)时，f(x)，g(x)是无穷小量，则sinf(x)时，sinf(x)与f(x)，sing(x)与g(x)，sinf(x)+ sing(x)与f(x)+ g(x)都是等价无穷小量。

问题9 除f 与f 这一对等价无穷小量外，有其他的等价无穷小量有类似的性质吗?

例7 罗尔定理。当函数满足罗尔定理中三个条件时，其结论成立，但三个条件不是必要的。

问题10 删除三个条件中的f 在闭区间［a，b］内连续，这时函数f 可能在端点处无定义，对应的将f(a)=f(b)减弱为f(a +0)= f(b -0)，问罗尔定理的结论仍成立吗?

4 用实际问题表现数学命题

数学分析中很多概念、定义有深刻的实际背景。从广义上讲，数学分析中的基本概念:函数、极限、导数、微分、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分等都可看成数学模型。一些问题从实际背景出发，要求学生进行设计数学模型求解，便可得到开放型问题。这样不仅易于激发学生的学习兴趣，也有利于培养学生的探索精神和创新能力，提高数学素养。

例7 连续函数的介值定理。

问题11 一人早6 点从山脚A 处上山，晚18 点到山顶B 处;第二天，早6 点从B 处下山返回，晚18 点到A处。问是否存在一时刻，这两天都在这一时刻达到同一点?

上述各例中问题1、问题2、问题4 需要探求使结论成立的条件，其条件有很多种，有难有易，属于条件开放型问题;问题3、问题8、问题9 的结论不唯一，属于结论开放型问题;问题6、问题7 条件与结论都需要探索，属于综合开放型问题。问题5、问题9、问题10 需要综合应用所学内容，属于存在开放型问题［2-5］。不论哪一种开放型问题均需要学生积极参与，独立地探索，观察、类比、分析、归纳、猜想。因此，在数学分析教学中可适当选用开放型问题教学，提供让学生操作、研究和讨论的机会。为了更好地适应这种教学模式，数学分析课程教学中要注重教学内容的内外结合，强调数学的实际背景和现实模型，展现知识的形成过程，让学生尽可能多地参与到知识的发现、思维探求过程。

当然，数学分析课程中，并不是所有的内容都适合开放型问题教学。另外，开放型问题的教学耗时一般较多，适合在习题课上或以课后作业的形式进行。

［1］张奠宇．数学教育学导论［M］． 北京，高等教育出版社，2003．

［2］万洪波．浅议数学的开放型题型［J］． 南昌教育学院学报，2002(17)36 -37．

［3］张士勤．数学分析中“开放型问题教学”浅析［J］． 南都学坛(自然科学版)，1995(6)60 -61．

［4］李祥兆．数学开放题的评分方法初探［J］． 宁波大学学报(教育科学版)，2007(2)62 -65．

［5］李 华．数学开放型题型与解法探析［J］． 数学学习与研究(教研版)，2007(1)55 -56．