高考中的函数零点问题

陈雯钰

函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与函数y2=g（x）的图像有交点.

围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：

类型一：函数零点的分布

解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.

例1：（2013高考数学重庆卷）若a

A.（a，b）和（b，c）内

B.（-∞，a）和（a，b）内

C.（b，c）和（c，+∞）内

D.（-∞，a）和（c，+∞）内

解析：由题意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.显然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以该函数在（a，b）和（b，c）上均有零点，故选A.

变式：（高考广东卷、高考山东卷）若函数为f（x）为奇函数，当x<0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一个根为x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，则n的值为________.

解析：由题意，设x>0，则-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以当x>0时，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函数，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），则n=2.

类型二：函数零点的个数

判断函数零点个数可利用定义法，即令f（x）=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数；也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.

例2：（2012高考数学湖北卷）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定义法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.

类型三：利用函数零点求参数

在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题（如求参数）.要解决此类问题常根据函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与y2=g（x）函数的图像有交点.

例3：（2009高考数学山东卷）若函数 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：

1.构造函数.设函数y=ax（a>0，且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点， 就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点.

2.通过图像描绘题意——将数转化成形.

3.由图像得出结论——将形转化成数.

当时0

当时a>1（如图2），因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）在点（0，1）的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F（x）=f（x）-g（x）的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f（x）、y=g（x）的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.

责任编辑 罗 峰

函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与函数y2=g（x）的图像有交点.

围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：

类型一：函数零点的分布

解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.

例1：（2013高考数学重庆卷）若a

A.（a，b）和（b，c）内

B.（-∞，a）和（a，b）内

C.（b，c）和（c，+∞）内

D.（-∞，a）和（c，+∞）内

解析：由题意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.显然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以该函数在（a，b）和（b，c）上均有零点，故选A.

变式：（高考广东卷、高考山东卷）若函数为f（x）为奇函数，当x<0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一个根为x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，则n的值为________.

解析：由题意，设x>0，则-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以当x>0时，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函数，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），则n=2.

类型二：函数零点的个数

判断函数零点个数可利用定义法，即令f（x）=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数；也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.

例2：（2012高考数学湖北卷）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定义法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.

类型三：利用函数零点求参数

在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题（如求参数）.要解决此类问题常根据函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与y2=g（x）函数的图像有交点.

例3：（2009高考数学山东卷）若函数 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：

1.构造函数.设函数y=ax（a>0，且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点， 就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点.

2.通过图像描绘题意——将数转化成形.

3.由图像得出结论——将形转化成数.

当时0

当时a>1（如图2），因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）在点（0，1）的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F（x）=f（x）-g（x）的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f（x）、y=g（x）的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.

责任编辑 罗 峰

函数的零点是沟通函数、方程、图像的一个重要媒介，渗透着等价转化、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，是一个考察学生综合素质的很好知识点.近几年的数学高考中频频出现零点问题，其形式逐渐多样化，但都离不开这几种常用的等价关系：函数y=f（x）有零点？圳方程f（x）=0有实数根？圳函数y=f（x）的图像与x轴有交点.也可拓展为：函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与函数y2=g（x）的图像有交点.

围绕它们之间的关系，就高考中的一些典型题型加以剖析：

类型一：函数零点的分布

解决零点的分布问题，主要依据零点的存在性定理：如果函数y=f（x）在区间[a，b]上的图像是连续不断的一条曲线，并且有f（a）·f（b）<0，那么函数y=f（x）在区间（a，b）内有零点.而零点的个数还需结合函数的图像和性质，尤其是函数的单调性才能确定.

例1：（2013高考数学重庆卷）若a

A.（a，b）和（b，c）内

B.（-∞，a）和（a，b）内

C.（b，c）和（c，+∞）内

D.（-∞，a）和（c，+∞）内

解析：由题意a0，f（b）=（b-c）（b-a）<0，f（c）=（c-a）（c-b）>0.显然f（a）·f（b）<0，f（b）·f（c）<0，所以该函数在（a，b）和（b，c）上均有零点，故选A.

变式：（高考广东卷、高考山东卷）若函数为f（x）为奇函数，当x<0时，f（x）=-lg（-x）+x+3，已知f（x）=0有一个根为x0，且x0∈（n，n+1），n∈N*，则n的值为________.

解析：由题意，设x>0，则-x<0，f（-x）=-lgx-x+3=-f（x），所以当x>0时，f（x）=lgx+x-3在（0，+∞）上是增函数，f（2）<0，f（3）>0，所以x0∈（2，3），则n=2.

类型二：函数零点的个数

判断函数零点个数可利用定义法，即令f（x）=0，则该方程的解即为函数的零点，方程解的个数就是函数零点的个数；也可根据几何法，将函数的零点问题转化为两个函数图像的交点问题来解决.

例2：（2012高考数学湖北卷）函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上的零点个数为（ ）

A. 4 B. 5 C. 6 D. 7

解析：定义法，令f（x）=0，可得x=0或cosx2=0，所以得x=0或x2=kπ+■，k∈Z，又注意到x∈[0，4]可得k=0，1，2，3，4，所以方程共有6个解，因此函数f（x）=xcosx2在区间[0，4]上有6个零点，故选C.

类型三：利用函数零点求参数

在高考中，除了要我们求函数的零点个数外，还常出现一种题型就是：先给出函数的零点个数，再来解决其他问题（如求参数）.要解决此类问题常根据函数y=F（x）=f（x）-g（x）有零点？圳方程组y■=f（x）y■=g（x）有实数根？圳函数y1=f（x）与y2=g（x）函数的图像有交点.

例3：（2009高考数学山东卷）若函数 f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是 .

解析：我们可将上述函数的零点转换成两个函数的图像的交点个数问题，根据例3的几何法：

1.构造函数.设函数y=ax（a>0，且a≠1）和函数y=x+a，则函数f（x）=ax-x-a（a>0且a≠1）有两个零点， 就是函数y=ax（a>0且a≠1）与函数y=x+a有两个交点.

2.通过图像描绘题意——将数转化成形.

3.由图像得出结论——将形转化成数.

当时0

当时a>1（如图2），因为函数y=ax（a>1）的图像过点（0，1），而直线y=x+a所过的点（0，a）在点（0，1）的上方，此时两函数有两个交点.所以实数a的取值范围是{a|a>1}.

上述各例子剖析了近几年数学高考中函数零点问题的典型题型及解法，值得一提的是，各种类型各种方法并不是完全孤立的，利用数学的转化与化归、数形结合等思想，函数F（x）=f（x）-g（x）的零点问题看成方程根的个数或者函数图像y=f（x）、y=g（x）的交点个数问题，使得复杂的问题通过变换转化为简单的问题，难解的问题转化为易解的问题，未解决的问题转化为已解决的问题.

责任编辑 罗 峰