无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题的多个正解

李耀红，张祖峰

（1.宿州学院智能信息处理实验室，安徽宿州234000；2.华中科技大学数学与统计学院，武汉430074）

无穷区间上常微分方程边值问题的研究最初起源于求解椭圆型微分方程径向对称解，随后在非经典牛顿流体质量传递问题，火箭在固体推进剂耗尽下的静电探测问题，相变固体在热传导中的温度扩散问题以及边界层等系列问题中也得到了广泛应用.

本文考察无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题：

其中，J＝［0，＋∞），0＜t1＜t2＜…＜tk＜…，tk→∞，J′＝J＼｛t1，…，tk，…｝，f1，f2∈C［J×J×J，J］，I1k，I2k∈C［J×J，J］（k＝1，2，…），u（∞）这里，分别为u（t）和v（t）在t＝tk处的跳跃度，即v）－v（tk），而u，v）和u（tk），v（tk）分别表示u（t）和v（t）在t＝tk处的右左极限.

近年来，定义在无穷区间上的微分方程边值问题解及正解的存在性问题引起了广泛关注和深入研究，获得了一系列重要结果，见文献［1－10］及其参考文献.特别地，在非脉冲情形下，文献［6］利用Schauder不动点定理得到了边值问题（1）解的存在性，文献［7］利用一个新的比较结果和M¨onch不动点定理，去掉了文献［6］中的先验估计条件，改进了其解的存在结果；在脉冲情形下，文献［8］利用Schauder不动点定理研究了边值问题（1）解的存在性，此时非线性项和脉冲项具有一定的增长性条件和紧性条件，文献［9］在相同的增长性条件下，减弱了文献［8］中非线性项和脉冲项的紧性条件，利用M¨onch不动点定理和反证法，通过先验估计条件，在获得解的存在性同时得到了解的唯一性，改进和推广了文献［8］的结果.

受上述文献启发，本文将在非线项和脉冲项满足比文献［8－9］更一般的增长性条件下，利用非线性项的超线性条件取代文献［6－9］中非线性项和脉冲项紧性条件，去掉了文献［9］的先验估计要求，结合锥拉伸和压缩不动点定理获得多个正解的存在性结果，改进现有文献已有结论.进一步，上述文献都获得了很好结果，但文献［1－9］仅研究了无穷区间上单个方程或方程组至少有一个解的存在性，对于方程组边值问题（1）的多解存在性问题却未作进一步研究.

1 预备知识和引理

设R＝（－∞，＋∞），PC［J，R］＝｛u：u（t）是定义在J上的实值函数，在t≠tk处连续，在t＝tk处左连续，且右极限，u）存在，k＝1，2，…｝，

可证X在范数‖（u，v）‖X下为一Banach空间.令

这里，γ＝min｛α－1，β－1｝.显然P，Q是X中的两个锥且Q⊂P.定义算子T：P→P如下：

其中，

若（u，v）∈P（u＞0，v＞0）且满足（1），则称（u，v）为边值问题（1）的解（正解）.

为方便叙述，先列出下列假设：

（H1）存在bi（t）∈C［J，J］和Hi∈C［J×J，J］，使得（H2）存在Fi∈C［J×J，J］和正数δik（i＝1，2，k＝1，2，…），使得

→∞，u＋v→∞，对任意的t∈J和（u，v）∈P一致成立，且

（H4）存在di（t）∈C［J，J］，使得

→∞，u＋v→0，对任意的t∈J和（u，v）∈P一致成立，且

引理1假若条件（H1）、（H2）成立，则（5）定义的算子T是从Q到Q的全连续算子.

证明令（u，v）∈Q，取r1≥‖（u，v）‖X.由条件（H1），可知

其中，Mi＝max｛Hi（u，v）：0≤u≤r1，0≤v≤r1｝，i＝1，2.故无穷积分收敛且有

进一步，由条件（H2），可知

其中，Ni＝max｛Fi（u，v）：0≤u≤r1，0≤v≤r1｝，i＝1，2.故无穷级数收敛且有

另外，由（6）可得

则从（6）、（9）、（11）和（13）可推知，对任意t∈J，有T1（u，v）（t）≥0且

进一步，从（12）、（13）可知

同理可知，对任意t∈J，有T2（u，v）（t）≥0且

由（15）、（17），则有

故算子T是从Q到Q的.

下面证明算子T是连续的，令（um，vm），）则存在），容易得到，

显然当m→∞时，

同时，由（8）可知

其中，M3＝max｛H1（u，v）：0≤u≤r2，0≤v≤r2｝.则从（20）、（21）和勒贝格控制收敛定理有

另一方面，类似（10）可知

其中，N3＝max｛F1（u，v）：0≤u≤r2，0≤v≤r2｝.由（23）结合级数收敛性，对任意给定的ε＞0，可选取一个整数k0，使得

注意到，当m→∞时，

于是，可以选取一个正整数m0，使得当m＞m0时有

从（24）、（25）可知，当m＞m0时有

故从（19）、（22）和（27）有

类似容易证明

最后与文献［10］引理2类似，利用Ascoli－Arzela定理及对角线方法，可知T是紧算子.故算子T是从Q到Q的全连续算子.

引理2［8］假若条件（H1）（H2）成立，则（u，v）∈BPC［J，J］∩C1［J′，J］×BPC［J，J］∩C1［J′，J］是方程组（1）的解有且仅当（u，v）∈Q是（5）定义的算子T的不动点.

引理3［11］假设E是Banach空间，P为E中的锥，若Ω1，Ω2为E中的两个开集，且满足0∈Ω1，⊂Ω2.算子A：P∩＼Ω1）是全连续的.若下面条件之一满足

2 主要定理

定理1假设条件（H1）～（H4）成立.若存在η＞0，使得

其中，

则方程组（1）至少有两个正解（u1，v1），（u2，v2）∈BPC［J，J］∩C1［J′，J］×BPC［J，J］∩C1［J′，J］，且

证明由引理1知，（5）式定义的算子T是从Q到Q的全连续算子，结合引理2和引理3，仅需要证明算子T在Q中至少有两个不动点（u1，v1），（u2，v2）满足‖（u1，v1）‖X＜η＜‖（u2，v2）‖X.

从条件（H3）知，存在正数r3＞0，使得u（t）＋v（t）≥r3，（u，v）∈Q时，有

取

对任意的（u，v）∈Q，｜｜（u，v）｜｜X＝r4，有

于是，由（6）、（7）和（29）～（32），知

故有

从条件（H4）知，存在正数r5＞0，使得0＜u（t）＋v（t）＜r5时，有

取

对任意的（u，v）∈Q，｜｜u，v）｜｜X＝r6，有

于是，由（6）、（7）和（36）～（39），知

故有

另一方面，对∀（u，v）∈Q，‖（u，v）‖X＝η，类似于（14），有

其中，M，N由（28）式定义.因此，由（43）、（44）和（28）可知，

从（31）和（38）可知0＜r6＜η＜r4.因此，由（35）、（42）及引理3可知算子T有两个不动点（u1，v1），（u2，v2）∈Q，且r6＜‖（u1，v1）‖X＜η＜‖（u2，v2）‖X＜r4，即有

3 例子

例1考虑无穷区间上一阶非线性脉冲微分方程组边值问题

（u（t），v（t））≡（0，0）是无穷区间上方程组边值问题（46）的一组零解.

结论1方程组（46）至少有两个正解（u1，v1），（u2，v2），且

证明显然方程组边值问题（46）是方程组边值问题（1）的形式.其中，

因此条件（H1）、（H2）显然成立.又因为

取c1（t）＝e－100t，c2（t）＝e－80t，则条件（H3）成立，且c1＝，c2＝.又注意到

取d1（t）＝e－80t，d2（t）＝e－100t，则条件（H4）成立，

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