基于扩展有限元的Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹开裂角分析

李丽丹，磨季云

(武汉科技大学理学院，湖北 武汉，430065)

结构中存在的或演化过程中出现的诸如节理、裂纹和孔隙等非连续性局部结构往往对整个结构的失稳或破坏起着关键作用。对这些非连续性结构部位的分析是目前结构工程分析的热点和难点[1]。对于静态不连续问题，现有的数值分析方法均能有效地进行分析，而对于动态不连续问题，传统有限元法存在一些弊端。1999年，Belycshko等[2]在传统有限元法的基础上进行了重要改进，提出了扩展有限元法(Extended Finite Element Method，XFEM)，它允许单元内部的位移场出现间断，从而实现了裂缝在单元内部的任意传播，克服了传统方法的诸多缺陷。十几年来扩展有限元法不断发展完善，逐渐成为了一种处理非连续场、断裂等复杂力学问题的新方法[3-4]。

本文将扩展有限元法应用于研究Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹扩展问题。主要利用二维扩展有限元的基本原理在ABAQUS上模拟了单向拉伸薄板的中心斜裂纹和三点弯曲梁的偏裂纹起裂的开裂角，并与断裂力学中的理论解进行了对比，证明了扩展有限元方法对裂纹扩展模拟的有效性。

1 断裂问题的扩展有限元模拟

扩展有限元法与传统有限元方法在流程上是相同的，区别在于扩展有限元采用水平集方法来描述单元内部的裂缝间断，因此XFEM方法的单元形函数是非连续的扩充形函数，这使得在求解单元刚度方程时必须解决间断函数的积分问题。

1.1 水平集方法

水平集方法是一种用来追踪间断(如裂纹、界面等)运动的数值方法。假设位于2个单元内部的裂缝(见图1)方程为f(x)=0，则其形式可表示为

(1)

f(x)的物理意义是计算域内任意一点的符号距离函数等于从这一点到间断点的最短距离，并且间断两边的点具有不同的符号。

图1 f和g表示的二维裂纹

1.2 扩充形函数

对于被裂纹完全穿过的单元和裂尖周围的节点，分别使用两种不同的扩充形函数，如图2所示。含裂纹二维平板的位移场可以表示为

(2)

(3)

(4)

1.3 不连续函数的积分

采用子区域积分法对不连续场精确积分。在ΩΓ区域，裂缝将单元分为2个子域。为便于积分，将每个子域的形心点与该子域每边的中点相连，由此将该子域划成几个四边形单元，如图3所示，从而不连续函数的积分就等于所有四边形单元内积分的和。在ΩΛ区域，将不连续缝顶点与该单元另外三边的中点相连，由此将该单元划成4个四边形单元，如图4所示，从而不连续函数的积分就等于4个四边形单元内积分的和[5]。

图3 ΩΓ单元子区域

图4 ΩΛ单元子区域

2 算例

2.1 单向拉伸板Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹开裂角的计算

如图5所示，一长为L、宽为W的矩形板，中心有长度为2a的裂纹，上下端受轴向均布拉伸荷载σ的作用。L=10 m，W=5 m，σ=1 kPa，板的弹性模量取70 GPa，泊松比为0.33，裂纹长度2a为1 m。按平面应变问题计算本算例。

图5 中心含斜裂纹的受拉板

分别取裂纹角β=30°和β=60°，用ABAQUS进行模拟，可得裂纹开裂后的变形图，如图6、图7所示。

图6 β为30°时裂纹扩展的有限元模型及开裂角示意图

图7 β为60°时裂纹扩展的有限元模型及开裂角示意图

该问题按最大环向拉应力理论计算，其解[6]为

sinθ0+(3cosθ0-1)cotβ=0

(5)

由式(5)计算可得开裂角的理论值，将其与本文的模拟值进行对比，结果如表1所示。由表1可知，模拟值与理论值的相对误差均不超过5%，可见利用扩展有限元方法进行模拟，可以较精确地计算出有限大板中心斜裂纹的初始开裂角。

表1斜裂纹单项拉伸开裂角θ0

Table1Crackingangleθ0ofangle-crackedplateundertension

βθ0/(°)/%30°60.2°63.1 °1.8360°43.2°41.5 °3.94

2.2 三点弯曲梁Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹开裂角的计算

图8 复合型裂纹梁受力示意图

本文冲击载荷以速度形式加载[7-8]，用ABAQUS进行模拟，得到裂纹扩展的变形图如图9所示。

图9 裂纹扩展路径

自起裂开始，裂纹便往偏向加载点一侧的方向扩展，这体现了混合型裂纹的特征。裂纹扩展路径与竖直方向的平均夹角α如图10所示。测量可得α≈21°，与文献[1]中提到的实验数据22°较接近。

图10 裂纹扩展路径与竖直方向的平均夹角

Fig.10Averageanglewiththeverticaldirectionofthecrackpropagationpath

计算中使用的是规则的正方形网格，而裂纹的扩展路径呈曲折状，扩展有限元允许裂纹在单元内部和穿过单元，不需要对网格进行重新剖分，节省了计算成本，这是扩展有限元独特的优势，可以精确捕捉真实的裂纹扩展形貌。

3 结语

扩展有限元相对传统有限元而言，在模拟不连续问题中具有明显的优势。采用扩展有限元法，不连续面与网格无关，既方便了前处理，也便于计算，无须因不连续面的变化而改变计算网格。扩展有限元法能很好地模拟Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹初始扩展方向，路径不依赖于单元边界，裂缝是从单元内部断开，更符合工程实际，可以作为分析Ⅰ-Ⅱ复合型裂纹开裂角的有力工具。

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