基于动态规划的河流纳污能力优化计算

张 晓，罗军刚，陈 晨，解建仓

(西安理工大学 陕西省西北旱区生态水利工程重点实验室，陕西 西安710048)

水域纳污能力[1](也称水环境容量)是指在设计水文条件下，满足计算水域的水质目标要求时，该水域所能容纳的某种污染物的最大数量。潘建波等[2]运用一维水体纳污计算模型对松花江流域的水体纳污能力进行了计算分析；刘伟等[3]提出基于MIKE11模型的河流水功能区纳污能力计算方法，并将其应用于松花江流域；周洋等[4]利用一维稳态水质模型和水环境容量模型，采用段首控制高功能区和段末控制低功能区相结合的方法计算了渭河陕西段纳污能力；徐仲翔等[5]在WASP7.3模型的基础上，提出河流纳污能力的解析公式法，并用于兰江流域COD的水体纳污能力的计算。以上学者虽然通过运用不同的模型及方法计算了河流的纳污能力，然而由于难以获得河流纳污能力的实测值，因此，所计算的纳污能力是否为定义中所强调的“最大[6-8]”很难确定。同时，目前的各种模型[9-13]在计算过程中还存在着水质目标质量浓度难以确定、纳污能力可能出现负值等问题。为了从优化的角度去探求纳污能力的最大值，本研究基于优化的思想，以纳污能力最大为目标，建立基于动态规划的河流纳污能力优化计算模型及方法，以获得河流最优的纳污能力，同时解决河流水质目标质量浓度难以确定、纳污能力出现负值等问题，以期为河流纳污能力计算提供支持。

1 河流纳污能力优化计算模型的建立及求解

1.1 纳污能力传统计算模型

2010年颁布的《水域纳污能力计算规程》(GB/T 25173-2010)给出了不同水域纳污能力的计算模型。对于适应于污染物在横断面上均匀混合的中、小型河流的一维模型，其计算模型如下。

河段的污染物质量浓度按下式计算：

(1)

式中：Cx为流经xm后的污染物质量浓度，mg/L；C0为初始断面的污染物质量浓度，mg/L；K为污染物综合衰减系数，s-1；x为沿河段的纵向距离，m；u为设计流量下河道断面的平均流速，m/s。

相应水域的纳污能力按下式计算：

M=(Cs-Cx)(Q+Qp)。

(2)

式中：M为水域纳污能力，g/s；Cs为水质目标质量浓度，mg/L；Q为初始断面的入流流量，m3/s；Qp为废污水排放流量，m3/s。

1.2 纳污能力优化计算模型

由前文分析可知，河流纳污能力计算为一个典型的多阶段决策过程。因此，本研究在传统计算模型的基础之上，建立了基于动态规划的河流纳污能力优化计算模型，以期解决传统纳污能力计算中出现的不足。

1.2.1 动态规划模型的建立 1)阶段、状态、决策变量。设对于由n个河段构成的河流，以河段为阶段；以河流第1个河段初始断面的污染物质量浓度和第n个河段水质目标质量浓度为确定性的状态，分别记为Cs,0和Cs,n；以河段水质目标质量浓度Cs=(Cs,1,Cs,2…,Cs,n)为决策变量。

2)目标函数。对于由n个河段构成的河流，其河流纳污能力为各河段纳污能力之和，则以河流纳污能力最大为准则建立如下的计算模型：

(3)

(4)

式中：Mi为从第1个河段到第i个河段的最大纳污能力，g/s；Cs,i为第i个河段水质目标质量浓度，mg/L；Cx,i为第i个河段流经xm后的污染物质量浓度，mg/L；Qi为第i个河段初始断面的入流流量，m3/s；Qp,i为第i个河段的废污水排放流量，m3/s；C0,i为第i个河段初始污染物质量浓度；Ki为第i个河段的综合衰减系数，1/s；xi为第i个河段沿河段的纵向距离，m；ui为第i个河段在设计流量下河道断面的平均流速，m/s；n为河段数。

3)约束条件。约束条件包括初始污染物质量浓度约束、决策约束和非负约束。

(1)初始污染物质量浓度约束。①第1个河段的C0,1的确定。有资料时，采用该河段上游对照断面近年水质监测的最枯月平均值；无资料时，可以利用上游其他断面近几年水质监测的最枯月平均值，用一维模型的计算公式推算至所确定断面。②其他河段的初始污染物质量浓度C0，i(i=2,3,…,n)的确定。采用上一个河段的水质目标质量浓度值计算，即满足：

C0,i=Cs,i-1,(i=2,3,…,n)。

(5)

(2)决策约束。由于各河段对应的污染物标准限值是一个取值范围，因此各河段的水质目标质量浓度必须满足这个取值范围，即：

Cs,i,min≤Cs,i≤Cs,i,max。

(6)

式中：Cs,i,min为第i个河段水质目标质量浓度的下限，mg/L；Cs,i,max为第i个河段水质目标质量浓度的上限，mg/L。

(3)非负约束。在河流纳污能力的计算过程中，当河段水质目标质量浓度小于该河段流经xm后的污染物质量浓度时就会出现负值，这与事实不符，因此应对纳污能力进行非负约束，即满足：

(Cs,i-Cx,i)(Qi+Qp,i)≥0。

(7)

同时，所有的状态变量和决策变量都须非负。

(8)

递推方程的求解采用格点法，如图1所示。在进行递推方程求解时，首先确定河流第1个河段初始断面的污染物质量浓度C0,1。然后确定第n个河段水质目标质量浓度，若所研究河流对其有明确要求，则Cs,n取其值；若没有，则为了使计算所得的河流纳污能力尽可能大，河流第n个河段的水质目标质量浓度选取目标质量浓度的上限。系统的初始状态和终了状态均已确定后，按顺时序递推，计算步骤如下。

Step 3：确定第3个河段到第n-1个河段的各河段最大累计纳污能力，计算方法与Step 2相同。

Step 4：同理计算最后1个河段即第n个河段的最大累计纳污能力。由于本河段末状态只有1个且已知Csn,1，故所求的最大累计纳污能力即为目标函数的最优值。

Step 5：根据所得的最优值进行逆向决策，便可找到最优线路，从而得到各河段的纳污能力及河流纳污能力达到最大时各河段确切的水质目标质量浓度。

动态规划模型的编程实现流程图如图2所示。

图1 基于动态规划的河流纳污能力计算顺向递推格点图

2 渭河干流陕西段纳污能力实例分析

为了验证本研究提出的基于动态规划的纳污能力优化算法的合理性和可行性，特以渭河干流陕西段为例进行实例研究。渭河古称渭水，全长818 km，流域面积13.43万km2，是黄河的最大支流。渭河发源于甘肃省定西市渭源县鸟鼠山，主要流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地，至渭南市潼关县汇入黄河。渭河干流陕西段长504 km，流域面积6.71万km2，约占总流域面积的一半；其中关中约5万km2。

图2 基于动态规划的河流纳污能力优化计算的编程流程

2.1 渭河干流陕西段河流功能区段的划分

参考陕西省环保局的水环境功能区划，执行地面水环境质量标准《地表水环境质量标准》(GB 3838-2002)，可以将渭河陕西段划分为14个水功能区，即14个河段。具体的水功能区划分及水质目标要求如表1所示。

2.2 渭河干流陕西段基本计算条件的确定

(1)设计流量的确定。设计流量是最基本的河流水文参数，本研究选用渭河干流陕西段近60年(1951-2010)的径流量进行分析，选取90%保证率下最枯月平均流量进行纳污能力计算。

(2)设计流速的确定。根据渭河干流陕西段各水文站的实测水文资料，建立流量-流速关系曲线，然后根据计算所得的设计流量在曲线上插值得到相应的设计流速。

(3)综合衰减系数K的确定。污染物综合降解系数反映了污染物在水体中降解的快慢程度，是纳污能力计算中最为关键的参数之一，其取值是否合理直接影响到纳污能力的计算结果[14]。本研究采用实测资料反推法[15]对渭河干流陕西段各水功能区的综合衰减系数进行计算。

(4)水质目标质量浓度C0、Cs的确定。初始污染物质量浓度值C0采用省界前一个河段的污染物背景浓度15 mg/L。河流最后一个河段水质目标质量浓度Csn选取该河段水质目标质量浓度值上限，即30 mg/L。其他河段水质目标质量浓度Cs根据渭河干流陕西段各水功能区的水质目标等级，在《地表水环境质量标准》中给定的水环境质量标准限值范围内随机取值。

经过分析计算，得到渭河干流陕西段各水功能区的设计流量、设计流速、综合衰减系数、水质目标质量浓度如表2所示。

表1 渭河陕西段水功能区段的划分及水质目标要求

表2 渭河干流陕西段各功能区计算基本条件的确定

2.3 渭河干流陕西段纳污能力计算结果及分析

在传统纳污能力计算方法的基础上，本研究提出了基于动态规划的纳污能力优化计算方法。运用建立的优化模型对渭河干流陕西段的COD纳污能力进行计算与分析，结果见表3。为了确定利用优化算法计算所得纳污能力的可靠性，表3中同时给出了各水功能区水质目标质量浓度选择上限时采用传统算法计算得到的纳污能力值。

表3 渭河干流陕西段各水功能区COD纳污能力的计算结果

从表3可知：(1)基于动态规划的纳污能力优化算法，计算得到渭河干流陕西段的纳污能力为59 618.88 t/年，而利用传统算法得到的结果为58 377.45 t/年，用优化算法得到的纳污能力较传统算法多1 241.43 t/年，说明优化算法较传统算法可以得到更优的纳污能力；(2)优化算法不仅可以获得全局最优，而且可以得到河流纳污能力达到最大时各河段(即各水功能区)确切的水质目标质量浓度，从而避免了计算纳污能力时人为选取水质目标质量浓度导致的难以获得河流纳污能力“最大”的不足；(3)由于在建模过程中对纳污能力设定了非负约束，所以优化算法可以有效地解决纳污能力出现负值的问题。

3 结 语

本研究在传统河流纳污能力计算模型的基础上，以河流纳污能力最大为目标，建立并实现了基于动态规划的纳污能力优化计算方法，并且以渭河干流陕西段为例对该优化算法进行了检验。结果表明：基于动态规划的纳污能力优化算法能有效解决传统算法中出现的水质目标质量浓度难以确定、纳污能力可能出现负值以及纳污能力难以达到最大的问题，为纳污能力计算研究提供了一种新思路。

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