基于贝叶斯理论的VTI介质多波叠前联合反演

侯栋甲,刘 洋,任志明,魏修成,陈天胜

(1.中国石油大学(北京)油气资源与探测国家重点实验室,北京102249;2.中国石油大学(北京)CNPC物探重点实验室,北京102249;3.中国石油化工股份有限公司勘探开发研究院,北京100083)

AVO分析是地震资料处理和解释的重要手段之一,它能够提供较为准确的构造和岩性信息。在地震勘探方法技术研究方向已由基于各向同性介质的假设逐渐转变到基于各向异性介质假设的前提下,各向异性的AVO分析技术也得到了蓬勃的发展,利用叠前振幅信息反演地层岩性参数是反演领域研究的热点之一[1]。

国内外许多学者在多波叠前反演方面作了大量研究,如：Stewart[2]首次给出了实际的纵、横波联合反演方法;杨绍国等[3]、李录明等[4-5]、雍杨等[6-7]、王明春等[8-9]进一步利用多波信息联合反演出岩性参数及弹性参数;李爱山等[10]给出叠前AVA多参数同步反演方法并将其用于实际资料反演;陈建江等[11-12]和杨培杰等[13]提出了基于贝叶斯理论的叠前反演方法;Veire等[14]利用奇异值分解技术进行了带限的纵横波联合三参数反演;Hu等[15]利用纵波和转换波进行联合反演来估算密度比和速度比,在反演过程中利用贝叶斯理论加入先验信息,改善反演的不适定性;钟峙等[16]等给出了VTI介质岩性参数反演方法;徐善辉等[17]给出了TTI介质各向异性参数多波反演与PS波AVO分析方法。

我们介绍的基于贝叶斯理论的VTI介质多波叠前联合反演方法考虑了实际地下介质广泛存在的各向异性,采用了高精度的VTI介质AVO近似方程,联合转换波和纵波地震资料来同时反演密度比、速度比、各向异性参数差等5个参数。为了提高反演结果的精度和稳定性,在反演过程中引入贝叶斯理论,假定先验信息服从高斯分布,待求参数服从改进的Cauchy分布,并对待求参数去除相关性。合成多波数据测试验证了该方法反演结果精度高、抗噪能强、稳定性好。

1 基本原理

VTI介质多波叠前联合反演的核心是该类介质的AVO正演方程和叠前联合反演方法。

1.1 VTI介质AVO基本原理

根据VTI介质理论,可以建立两个各向异性弹性介质分界面处纵波入射时的反射和透射系数公式,其精确形式可以用VTI介质中的Zoeppritz方程来描述。由于其表达形式过于复杂,可对精确方程化简得到近似表达式,我们采用Ruger提出的VTI介质近似反射系数公式[18]：

(1)

VTI介质中转换波反射系数的各向同性项为

(2)

(3)

式中：δ,ε为各向异性参数。为了便于表示转换波反射系数,令

则

(8)

公式(8)为VTI介质中用于反演的转换波反射系数近似表达式。

同理,VTI介质中纵波反射系数的各向同性项为

(9)

VTI介质中纵波反射系数所包含的各向异性项为

(10)

则可得

(16)

公式(16)即为VTI介质中用于反演的纵波反射系数近似表达式。在小角度入射时,(8)式和(16)式的误差较小,均具有较高精度[18]。

1.2 VTI介质多波联合反演原理

为了从地震记录中反演出密度比、速度比和各向异性参数差,我们首先利用最小二乘原理构建如下多波联合反演目标函数[14]：

(17)

式中：dPS,dPP分别表示实际观测的叠前PS波和PP波记录经过反褶积、叠前偏移等处理后的结果;RPP,RPS分别表示VTI介质中PP波和PS波反射系数序列,其具体表达形式如(8)式和(16)式所示;M,N分别表示参加反演的转换波道数和纵波道数;i,j分别表示PS波和PP波资料道序号;η代表转换波加权因子(0≤η≤1),通过分析多波地震资料的品质可以确定加权因子大小,品质好的资料加权系数相应较大。为了使目标函数取得最小值,将目标函数LS对待求参数分别求偏导数,并取偏导数为0,可得方程

(18)

式中：G是一个5阶方阵;D为5维列向量。其各元素详见附录A。

(19)

(20)

1.3 引入贝叶斯理论

为了加入待求参数的先验约束信息,并使反演更加稳定,我们在反演过程中引入贝叶斯理论。

引入贝叶斯理论后,假设实际地震记录的高斯分布是独立的,利用乘积准则得到似然函数的解为：

(21)

式中：M+N为地震记录的总道数;δer为误差的标准差。

为了使反演结果获得较高的分辨率,我们采用改进的Cauchy分布来描述待反演参数的分布[19]：

(22)

(23)

根据贝叶斯理论,则待反演参数的后验概率分布可表示为

(24)

对(24)式右边取对数可得目标函数式为

(25)

为了获得目标函数的最小值,我们将以上目标函数对待反演参数求偏导数,并令其为0,即可得

考虑到反射系数对各待求参数的敏感程度不一致,我们在迭代求解时采用分步迭代的策略来反演待求参数。在迭代一开始我们主要修正较敏感的密度比、横波速度比、纵波速度比这3个参数,当这3个参数达到给定误差时,再继续迭代求解,开始修正两个各向异性参数差,直到达到给定误差,迭代终止,输出结果即为待求参数。

2 模型数据测试

2.1 无噪合成数据测试

地层模型参数真实值采用实际测井数据转换到时间域的结果,将地层模型参数真实值滤波处理的结果作为反演的初始模型,地层模型参数(密度、横波速度、纵波速度、各向异性参数δ和各向异性参数ε)如图1所示,其中蓝线表示参数的真实值,红线表示将真实值平滑处理后的结果,将其作为待反演参数的初始模型。

采用图1中所示的地层模型参数真实值,根据VTI介质中的Snell定律,通过射线追踪获得炮检距所对应的入射角等,Buland等[20]用模型证明,偏移距道集到角道集之间的转换误差可以忽略不计。通过(8)式和(16)式求得转换波、纵波反射系数。利用褶积模型获得多波合成地震记录,制作合成记录时,首道与炮点重合,道间距为80m,一共20道,给定的子波为主频40Hz的Ricker子波,时间采样率为1ms。经过动校正之后在纵波时间域的多波合成地震记录如图2所示。图2a为转换波剖面,图2b为纵波剖面,截取600～800ms的地震反射记录来反演待求参数。

图1 地层模型参数a 密度; b 横波速度; c 纵波速度; d 各向异性参数δ; e 各向异性参数ε

对合成多波地震记录分别采用联合反演和纵波反演方法来计算5个参数。在联合反演时,考虑到转换波资料和纵波资料所受影响类似,且它们对待求反演参数的敏感性基本一致,故我们将转换波和纵波加权系数均设置为0.5。纵波反演时其流程和联合反演一致,将联合反演时的转换波加权因子η设置为0即可。反演结果如图3至图7所示。总体来看,联合反演的结果误差较小,精度更高。

图2 经动校正后纵波始时间域的多波合成地震记录a 转换波剖面; b 纵波剖面

图3 无噪合成数据反演的密度比a 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

图4 无噪合成数据反演的横波速度比a 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

图5 无噪合成数据反演的纵波速度比a 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

图6 无噪合成数据反演的Δδa 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

图7 无噪合成数据反演的Δεa 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

由于转换波、纵波反射系数对各向异性参数不是特别敏感,各向异性参数的反演结果在局部的误差稍大一些,但是联合反演的结果较纵波反演的结果有了较大的改善。我们对反演结果的误差能量做了统计,联合反演时密度比、横波速度比、纵波速度比、各向异性参数差(Δδ,Δε)的误差能量分别为0.0019,0.0023,0.0026,0.0849,0.0853;纵波单独反演时密度比、横波速度比、纵波速度比、各向异性参数差(Δδ,Δε)的误差能量分别为0.0025,0.0031,0.0032,0.1673,0.1713。且联合反演时的正演矩阵的条件数减小,其稳定性较纵波反演有所提高。

2.2 加噪合成数据测试

为了测试联合反演的抗噪性能,我们在多波合成地震记录中加入随机噪声,将信噪比设置为3,其结果如图8所示,图8a为转换波剖面,图8b为纵波剖面。对加入噪声的地震记录分别采用联合反演、纵波反演方法来估算密度比、横波速度比、纵波速度比、各向异性参数差(Δδ,Δε)5个参数,其结果如图9至图13所示。通过对比可以发现,在信噪比较低的情况下,联合反演的结果误差依然较小,精度较高。我们对反演结果的误差能量做了统计,联合反演时密度比、横波速度比、纵波速度比、各向异性参数差(Δδ,Δε)的误差能量分别为0.0021,0.0024,0.0028,0.0879,0.0895;纵波单独反演时密度比、横波速度比、纵波速度比、各向异性参数差(Δδ,Δε)的误差能量分别为0.0026,0.0033,0.0034,0.1691,0.1727。且在联合反演过程中,正演矩阵条件数减小,较纵波反演而言,其稳定性增强。联合反演可以改善反演的不适定性。

图8 加入随机噪声(信噪比为3)的多波合成地震记录a 转换波剖面; b 纵波剖面

图9 加噪合成数据反演的密度比(信噪比为3)a 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

图10 加噪合成数据反演的横波速度比(信噪比为3)a 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

图11 加噪合成数据反演的纵波速度比(信噪比为3)a 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

图12 加噪合成数据反演的Δδ(信噪比为3)a 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

图13 加噪合成数据反演的Δε(信噪比为3)a 联合反演结果; b 纵波反演结果; c 参数真实值; d 误差比较

3 结束语

通过基于贝叶斯理论的VTI介质多波叠前联合反演方法研究,我们得出如下结论：

1) 反演建立在正演的基础上,我们选用的VTI介质反射系数近似公式具有较高精度,且考虑了介质的各向异性,与实际地质情况更加吻合;

2) 利用多波地震资料来联合反演密度比、速度比、各向异性参数差具有较高的精度,可以较好地反演出密度比和速度比；反射系数对各向异性参数差的敏感性低一些,反演结果的精度稍低一些;

3) 在反演过程中引入贝叶斯理论加入井约束信息,可以提高解的精度,增强反演的稳定性,改善反演的不适定性。

通过无噪和加噪的多波合成地震数据测试,表明本文提出的联合反演方法反演结果精度高,抗噪能力强,稳定性好,验证了该方法的可行性和有效性。

附录A

(A3)

(A4)

(A5)

(A6)

(A7)

(A8)

(A9)

(A10)

(A11)

(A12)

(A13)

(A14)

(A15)

(A16)

(A17)

(A18)

(A19)

(A20)

参 考 文 献

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