三维Helmholtz方程在扰动的共轴波导上的解的存在唯一性*

刘立汉

(重庆师范大学数学学院, 重庆401331)

本文考虑在扰动的共轴波导上的三维Helmholtz方程

Δu(x1,x2,z)+[k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)]

u(x1,x2,z)=f(x1,x2,z),(x1,x2,z)∈R3

(1)

其中

(2)

(A2) 函数p(x1,x2,z)还满足

p(x1,x2,z)|dx1dx2dz<1

(3)

其中G(x1,x2,z;ξ1,ξ2,ζ)是三维齐次Helmholtz方程在无扰动的共轴波导上的Green函数(更多细节见第1节)。

我们的工作主要是由在共轴导波中电磁波的研究所导出的。当函数p(x1,x2,z)≡0，方程(1)描述了在共轴波导上的电磁波的传播，其中k是波数，函数n(x1,x2)是折射率，函数f(x1,x2,z)是点源项，R是波导的半径和函数u(x1,x2,z)是时间调和的电磁波速率势能。在文[1]，我们引进了一个推广的Sommerfeld-Rellich辐射条件(输出辐射条件)：对所有的导波分支和自由波分支都有一个类似Sommerfeld辐射条件，然后我们研究了三维Helmholtz方程在扰动的分层介质上的解的存在唯一性，也就是这个折射率是一个一元函数。然而，当波导是共轴的情况，也就是这个折射率是一个二元函数，目前还不清楚它的合适的辐射条件，因此本文我们引进了另一个推广的Sommerfeld-Rellich辐射条件(输出辐射条件)，然后我们考虑了满足给定辐射条件的扰动的共轴波导上的三维Helmholtz方程的解的存在唯一性。

正如文[1-3]所示，我们将利用如下记号。在不同的坐标系下，三维空间R3中的一个点分别记为：

P=(x1,x2,z)～(r,θ,z),P′=(ξ1,ξ2,ζ)～(r′,θ′,ζ)

它们有如下关系:

本文内容安排如下: 在第1节，我们回顾了三维齐次Helmholtz方程在无扰动的共轴波导上的Green函数和它的渐近性质；在第2.1节，我们将证明满足后面将给出的某个输出辐射条件的三维Helmholtz方程(1)的解的唯一性；在第2.2节，我们将证明满足后面将给出的某个输出辐射条件的三维Helmholtz方程(1)的解的存在性。

事实上，我们的方法也许可以推广到任何其它类型的共轴波导上，如最近得到广泛应用的“全绝缘波导”[4-5]，于是可以得到类似的结果。

1 Green函数

1.1 三维Helmholtz方程在共轴波导上的Green函数

在这一小节，我们回顾三维齐次Helmholtz方程在无扰动的共轴波导上的Green函数[6-7]。这个Green函数后面将用来构造三维Helmholtz方程(1)的解。

在柱面坐标下，无扰动的共轴波导上的三维齐次Helmholtz方程为：

(4)

求这个方程的一个分离变量的解

u(r,θ,z)=eikβzeimθv(r)

其中β∈C和m∈Z, 则v(r)必须满足如下常微分方程：

(5)

定义

(6)

那么这个方程就变形为

(7)

函数q(r)变形为

(8)

我们把(7)式看成是关于l∈C的特征值问题，并且称它为方程(4)的特征值问题[8-9]。从文[6-7]中，可以得到方程(4)的Green函数G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)：

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=

jm(r,λ)jm(r′,λ)eim(θ-θ′)dχm(λ),0

0≤θ,θ′≤2π;z,ζ∈R

(9)

当λ>d2时，

(10)

其中Jm,Ym分别是m阶第一型Bessel函数和第二型Bessel函数，

αm(λ)=(-1)(|m|-m)/2|m|!2|m|(λ-d2)-|m|/2,

(11)

(12)

(13)

其中Im,Km是分别是m阶的第一型修正的Bessel函数和第二型修正的Bessel函数，

(14)

其中

(15)

(16)

其中

(17)

(18)

其中

(19)

(20)

1.2 Green函数的渐近性质

在这一小节, 我们给出如下引理。

引理1 设函数G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)是由(9)式所给出的Green函数，则对于任意给定的r′,θ′,ζ，我们有

(21)

(22)

证明我们需要考虑三种情况：0<λd2，在每一个区间内jm(r,λ)和G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)都有不同的性质。只证明(21)式，(22)式可类似地证明。

第一种情形：当0<λ

又由文[10](或文[11])的(9.6.6)和(9.6.7)式，有

和

I-m(s)=Im(s),m∈Z

则可以得到

记

则

并且由(9)式，有

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通过简单的计算立即可以得到(21)式。

第二种情形：当λ=d2时，由(18)式得

jm(r,λ)=r|m|+1/2, 当r→0

则可以得到

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通过简单的计算立即可以得到(21)式。

第三种情形：当λ>d2时，由(10)式，我们有

又由文[10](或文[11])的(9.1.5)和(9.1.7)式，有

和

J-m(s)=(-1)mJm(s),m∈Z

则可以得到

记

则

jm(r,λ)～am(λ)r|m|+1/2,r→0,

并且由(9)式，有

G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)=O(r|m|),r→0,

因此，通过简单的立即可以得到(21)式。

定义

则可以得到如下的引理。

(23)

证明由(10)、(14)、(18)式和由(9)式所定义的Green函数G(r,θ,z;r′,θ′,ζ)，可以得到

于是，由Fubini-Tonelli定理，容易就可以立即得到(23)式。

引理3 设(r,θ,z),(r′,θ′,ζ)∈R3和|P-P′|=(rcosθ-r′cosθ′,rsinθ-r′sinθ′,z-ζ)且|P-P′|<1，则存在一个不依赖于r,θ,z,r′,θ′,ζ的正常数C1，使得

(24)

证明这个引理的证明类似于文[12]的引理2.19的证明，因此在这省略。

2 三维Helmholtz方程在扰动的共轴波导上的解的存在唯一性

2.1 三维Helmholtz方程在扰动的共轴波导上的解的唯一性

我们将给出推广的Sommerfeld-Rellich辐射条件，并称它为输出辐射条件：首先，我们假设

u∈C1(R3)∩L2(R3)

(25)

其次，假设对所有m∈Z,z∈R，如下等式成立：

(26)

其中函数um(r,z)是如下Fourier级数的Fourier系数：

最后，

(27)

这些条件都是由其物理意义所得到的，详情请见文[6-7]和那里提到的参考文献。

引理4 设函数u(x1,x2,z)∈L2(μ)满足方程

Δu(x1,x2,z)+

[k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)]u(x1,x2,z)=0

(28)

(29)

证明一方面，由于函数u(x1,x2,z)是方程(28)的一个解，从文[1]，可以得到函数|▽u(x1,x2,z)|2μ(x1,x2,z)和函数|▽2u(x1,x2,z)|2μ(x1,x2,z)在三维空间R3上是可积的。因此， 很容易得到函数

属于Sobolev空间W2,2(R3)。由Sobolev嵌入定理[13]，可以得到函数Φ(x1,x2,z)∈L∞(R3)，因此，立即可得到(29)式中的第一个极限。

另一方面，接下来证明(29)式中的第二个极限。通过简单计算可知，函数Φ(x1,x2,z)满足如下方程：

ΔΦ(x1,x2,z)+b(x1,x2,z)·▽Φ(x1,x2,z)+

c(x1,x2,z)Φ(x1,x2,z)=0,

其中

b(x1,x2,z)=(-μ-1μx1,-μ-1μx2,-μ-1μz)=-μ-1·▽μ,

c(x1,x2,z)=k2n2(x1,x2)+p(x1,x2,z)+

都是关于(x1,x2,z)的函数。

由于函数Φ(x1,x2,z)∈W2,2(R3)，并且由文[14]的定理8.10，可以得到函数Φ(x1,x2,z)∈W3,2(H+)，其中H+={(x1,x2,z)∈R3‖z|≥h},h>0是一个常数。再次利用Sobolev嵌入定理，可以得到函数|▽Φ(x1,x2,z)|∈L∞(H+)，因此，立即可得到(29)式中的第二个极限。

设函数u(x1,x2,z)=u(r,θ,z)是三维Helmholtz方程(1)的一个解，我们定义如下函数：

则有

引理5 设函数u(x1,x2,z)=u(r,θ,z)是方程(28)的一个弱解，并且函数U(r,θ,z)定义如上，则函数U(r,θ,z)是方程

k2n2(r)u(r,θ,z)=-ψ(r,θ,z),

(30)

的一个弱解，其中

(31)

证明这个引理的证明类似于文献[1]的引理6的证明，因此在这省略。

引理6 设点(r′,θ′,ζ)是固定的，并且R′充分大使得点(r′,θ′,ζ)∈ΩR′，又设函数u(r,θ,z)是方程 (32)的一个解，则有如下等式：

(32)

其中ΩR′={(r,θ,z)|(rcosθ)2+(rsinθ)2+z2≤(R′)2}，函数ψ(r,θ,z)由(31)式所给定和ν是ΩR′的向外的法向。

证明容易验证函数ΔG+k2n2(r)G有一个奇点(θ,z)≡(θ′,ζ)。于是，由引理5我们可以得到，

其中Ωε={(r,θ,z)∈R3|(rcosθ-r′cosθ′)2+(rsinθ-r′sinθ′)2+(z-ζ)2≤ε2}。

由上述公式和第二Green公式，我们可以得到

(33)

因此，通过在上述等式(33)当ε→0+取极限，我们很容易就可以立即得到(32)式。

故得到本文的第一个结果：

定理1[解的唯一性]设函数p(x1,x2,z)满足假设条件(A1)和(A2)，则满足输出辐射条件(25)、(26)和(27)的三维Helmholtz方程(1)最多只有一个有界的解。

证明设函数u1(x1,x2,z)和函数u2(x1,x2,z)是满足输出辐射条件(25)、(26)和(27)的三维Helmholtz方程(1)的两个有界的解，并且设函数u(x1,x2,z)=u1(x1,x2,z)-u2(x1,x2,z)。很明显，函数u(x1,x2,z)是方程(28)的一个有界的解且满足输出辐射条件(25)、(26)和(27)。

由(32)式，有

(34)

由三角不等式和Cauchy-Schwartz不等式，我们得到(34)式的右边如下：

由(9)式，并且由于函数jm(r,λ)是有界的，很容易得到

I1→0,I2→0, 当R′→∞

因此，得到(34)式的右边趋于0，当R′→∞。

由文[8-9]和Fubini-Tonelli定理，可以得到(34)式的左边如下：

因此，在(34)式中两边当R′→∞取极限，可以得到

u(r,θ,z)rdrdθdz=0

(35)

p(r,θ,z)|rdrdθdz

(36)

又由(3)式和上述不等式(36)，可以得到M=0，即:u1(x1,x2,z)=u2(x1,x2,z)。

2.2 三维Helmholtz方程在扰动的共轴波导上的解的存在性

在研究三维Helmholtz方程(1)的解的存在性之前，我们先给出如下两个引理。

引理7 设Ψ(r′,θ′,ζ)是一个复值函数并且满足假设条件(A1)，则函数

满足

证明由引理1和假设条件(A1)，我们很容易得到此引理。

引理8 设Ψ(r′,θ′,ζ)是一个复值函数并且满足假设条件(A1)，则函数

Ψ(r′,θ′,ζ)r′dr′dθ′dζ

满足

证明由引理2和假设条件(A1)，很容易得到此引理。

考虑满足输出辐射条件(25)、(26)和(27)的三维Helmholtz方程(1)的解的存在性，则得到如下结果。

定理2[解的存在性]设函数f(x1,x2,z)∈L2(R3)和函数p(x1,x2,z)∈L2(R3)，并且都满足假设条件(A1)和(A2)，则满足输出辐射条件(25)、(26)和(27)的三维Helmholtz方程(1)至少存在一个有界的解。

特别地，这个解是如下积分方程唯一的有界的解：

p(ξ1,ξ2,ζ)u(ξ1,ξ2,ζ)]dξ1dξ2dζ

(37)

证明首先，证明函数u(x1,x2,z)有界，然后证明它满足输出辐射条件(25)、(26)和(27)。

一方面，我们有

J1+J2

(38)

其中B1(x1,x2,z)={(x1,x2,z)∈R3|(x1-ξ1)2+(x2-ξ2)2+(z-ζ)2≤1}。

由引理3和(9)式，我们可知，在相差一个常数倍的情况下，|J1|相当于

由Hölder不等式，我们估计|J1|2。

因为函数f(x1,x2,z)∈L2(R3)，所以，(38)式右边的第一个积分J1有界。

由引理1，引理2和引理3，我们知道函数G(x1,x2,z;ξ1,ξ2,ζ)在B1(x1,x2,z)之外有界，又由函数f(x1,x2,z)满足假设条件(A1)，因此，(38)式右边的第二个积分J2有界。

由(3)式和压缩影像原理，我们立即可得到函数u(x1,x2,z)有界。

另一方面，接下来我们证明函数u(x1,x2,z)满足输出辐射条件(25)、(26)和(27)。由于函数u(x1,x2,z)有界，并且由于函数f(x1,x2,z)和函数p(x1,x2,z)都满足假设条件(A1)和(A2)，再根据引理7和引理8，我们立即可得到此结论。

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