任意方位面对面倾斜度误差的可视化优化求解

林志熙，周景亮

（福建工程学院机械与汽车工程学院，福建 福州 350108）

建立任意方位面对面倾斜度误差的数学模型时，作与基准平面成理论正确角度的平面可有无限多个，因而合理地确定与基准平面成理论正确角度的平面的位置是解决问题的关键，这也增加了数学模型的复杂性[1]。

目前采用的面对面倾斜度误差的测量和评定方法多属近似方法，评定结果准确性差，易造成零件的误收或误废。在文献[1-2]中，均采用最小二乘法、三远点等近似方法进行评定，文献[3]虽然提出最小条件法评定倾斜度误差的数学模型，但要应用有效集法寻找最优解，数学模型复杂，不便于被工程技术人员采用。三坐标测量机价格较贵，其测量软件一般也按最小二乘法来评定，不符合形状和位置公差国家标准的规定，且无法实现可视化测量。

针对这一问题，本文建立了基准符合最小条件法、最小二乘法、对角线法、三远点法的面对面倾斜度数学模型，先利用MATLAB遗传算法工具箱在全局进行“预优化”，再利用优化工具箱的非线性条件优化进行“最终优化”，计算结果精度高。并开发友好界面，可进行人机交互操作，实现测量结果的可视化。使用万能工具显微镜配合本评定软件进行面对面倾斜度误差的计算，在实际应用中具有较广泛的实用性和一定的价值。而且只要将被测平面与基准平面的理论正确夹角改成0°或者90°，本系统便可直接用来评定面对面平行度误差和垂直度误差。

1 数学模型

1.1 建立基准平面

建立基准平面，即对基准提取要素进行平面度误差的评定。常用的有最小区域法、最小二乘法和三远点法和对角线法。其中最小包容区域法是国家标准规定的方法，采用最小包容区域法评定时产生的误差最小，精确度最高。这四种方法数学模型的建立在文献[4]中已详细描述，此处不再赘述。

1.2 评定面对面倾斜度误差

按照形状和位置公差国家标准的规定，倾斜度误差是指包容被测实际平面且与基准平面成理论正确角度的两平行面之间的最小距离。

2 MATLAB程序设计

面对面倾斜度误差计算程序包括一个主程序、一个目标函数程序及一个非线性约束条件程序，其核心内容为采用MATLAB自带优化函数结合数学模型，优化得出符合国标规定的被测要素包容面，进而得出倾斜度误差。

倾斜度误差评定最终转化为有约束函数的最小值问题，其优化是包含非线性约束条件，属非线性条件优化，因而采用MATLAB优化工具箱的fmincon函数进行优化。fmincon函数适用于多元优化问题，可以在限定线性或非线性条件下对目标函数进行最小值优化。

fmincon函数的缺点为优化结果对优化初始值较为敏感，若优化初始值随意设定，优化获得的初始点附近局部最优解往往不能满足优化要求。因此，此处采用MATLAB遗传算法工具箱的ga函数先进行一次“预优化”，获得一个接近优化目标的优化结果作为fmincon函数的优化初始值，再由fmincon函数完成最后较精确的优化。

ga函数同fmincon函数一样，可以在限定线性或非线性条件下对目标函数进行最小值优化。相比fmincon函数，ga函数优点在于不局限于在局部求解最优解，而是在全局内寻求最优解；其缺点在于因基于遗传算法原理，优化结果具有一定随机性，不能满足倾斜度计算的精度要求。因此，ga函数在此处只能用于在全局进行“预优化”，由fmincon函数在局部完成较精确的“最终优化”。

由于倾斜度计算中ga函数与fmincon函数是采用不同原理对同一优化问题进行优化，所以二者可以共用目标函数程序与非线性约束条件程序，即二者目标函数句柄与非线性约束条件函数句柄相同。

绘图程序分为2大部分：基准要素及被测要素折面图程序和曲面图程序，其中折面图程序根据采样点数据用surf命令直接绘制零件表面实际折面图，根据计算程序所得法向量及各特征点数据进一步绘制评定包容面；曲面图则由采样数据用cubic三次样条插值的方法增加数据点个数，然后基于插值后的数据同样用surf命令进行绘图即可获得零件表面的拟合曲面图，使显示出来的曲面更接近真实轮廓。

面对面倾斜度计算的人机交互界面包括数据输入板块、计算结果板块、绘图显示板块、视图选择板块下拉菜单等，主要实现数据输入、评定方法选择、计算内容选择、倾斜度及平面度计算并显示、微观图显示、数据保存与载入、图片输出等功能。各板块的回调函数通过调用相关程序进行运算，再将计算结果显示在界面上以实现对应功能。

最后使用MATLAB下的一个GUI平台deploytool下可以直观方便地将程序打包成exe文件，实现在未安装MATLAB软件的计算机运行MATLAB程序，同时还可以使程序代码得以隐藏。

3 算例验证

文献[1]采用最小二乘法，计算所得平面度误差为8.099μm，倾斜度误差为9.407μm。基准平面的法向量{3.106325×10-5,-2.55631×10-5, -1}，评定面I（原文中的辅助平面）的法向量{-3.479842,0.819137×103,-0.573598×103}；本系统采用最小二乘法计算所得平面度误差为7.542μm，倾斜度误差为7.89μm。基准平面的法向量{5.434835 ×10-5,-6.603983×10-5,0.531534}，评定面I的法向量{- 1.702231×10-3,1.958431×103,1.371547× 103}。

将测量数据输入本系统界面，可选择基准要素的4种评定方法，分别计算平面度及倾斜度误差。计算结果见表1所示。

表1 测量结果(µm)

最小条件法计算界面如图2所示。界面右上方为测量数据输入框，右下方为测量结果显示框。界面左侧为示意图，根据数据评定的结果，将自动生成基准及被测表面的实际折面图与三维曲面模拟示意图，并根据误差值绘制基准、被测平面的包容平面示意图。图2中的示意图为最小条件法基准及被测表面的实际折面图，以及基准要素和被测要素的包容表面。通过对示意图的放大与旋转，并结合命令窗上的计算结果。图3为基准要素各采样点到基准面的距离，即基准要素的上包容面过最高点9、11点，下包容面过最低点10点，二者之差5.6801-(-1.4200)=7.1(µm)即为平面度误差。图中椭圆所圈为最高点，矩形所圈为最低点，符合平面度误差国标规定两个高点与一个低点(或相反) 分别和两个平行的包容平面相接触的“直线准则”[5]。图4为被测要素各采样点到被测要素评定面Ⅰ的距离，即被测要素上包容面过最高点13点，下包容面过最低点8点，二者之差0.1009-(-5.5786)=5.6795(µm)即为倾斜度误差。由此可见，该系统采用最小条件法评定的结果与其原理完全一致，符合最小条件评定倾斜度的国家标准。

图5显示的即为基准要素和被测要素的三次样条插值拟合曲面示意图。图中两平面分别为基准平面和被测评定面，二者夹理论正确角度55°。

图2 最小条件法评定界面

图3 基准要素各采样点至基准面距离

图4 被测要素各采样点至被测评定面距离

图5 基准及被测要素曲面示意图

依此原理，经过以上对本系统4种处理方法的验证，结果都符合各自建模原理。

点击菜单，还可进行微观图显示、数据保存与载入、图片输出、检测报告输出等功能。实现对误差的准确评定。占用内存单元少。机上运行速度快，最小条件法计算时间仅为22秒。

4 结束语

（1）使用万能工具显微镜配合本评定软件，可进行基准符合最小条件法、最小二乘法、三远点法和对角线法的面对面倾斜度误差的评定。最小区域法误差值可作为发生争议时进行仲裁的依据具有较高的理论价值和实用价值。

（2）利用MATLAB遗传算法工具箱在全局进行“预优化”，再利用优化工具箱进行“最终优化”，运行速度快，计算结果精度高，易于掌握。

（3）利用MATLAB强大的绘图功能，绘制三维检测示意图，清楚地反映出被测量的几何特征，及评定准则的应用情况，对计算结论进行验证，对制造工程的工艺分析也具有一定的使用价值，实现程序与图形的完美结合。

（4）修改理论正确角度，该系统可同时满足面对面平行度、垂直度、倾斜度误差的求解。

[1]蔡改贫, 张 玉, 罗晓燕.辅助平面法评定平面对平面倾斜度误差的数学模型[J].宇航计测技术,1994, 13(6):3 0-33.

[2]孙华平, 王 京, 胡仲勋.基于UG/OpenGRIP的面对面倾斜度误差的处理和评定[J].工程图学学报,2008, 29(1): 158-161.

[3]侯 宇, 袁志文.任意方位面对面倾斜度误差的测量与评定[J].宇航计测技术, 1997, 17(2): 7-11.

[4]林志熙, 周景亮.平面度误差可视化数据处理的研究[J].制造技术与机床, 2009, (4): 110-113.

[5]黄云清.公差配合与测量技术[M].北京: 机械工业出版社, 2003: 93.