关于奇解的若干探讨

高珊

摘 要：对于一阶常微分方程奇解的有关问题，本文针对有关一阶常微分方程奇解的定义和求法进行了系统的归纳和总结，列举了求奇解的两类方法；并根据p-判别曲线求奇解的方法，讨论了克莱罗（Clairaut）微分方程和两类特殊类型的一阶常微分方程的奇解以及奇解存在的充分条件。

关键词：一阶常微分方程；奇解；包络；C-判别曲线；P-判别曲线

1.引言

求通解在历史上曾作为微分方程的主要目标，一旦求出通解的表达式，就容易从中得到问题所需要的特解，也可以由通解的表达式了解对某些参数的依赖情况，便于参数取值适宜，使它对应的解具有所需要的性能，还有助于进行关于解的其他研究。后来的发展表明，能够求出通解的情况不多，在实际应用中所需要的多是求满足某种指定条件的特解。当然，通解是有助于研究解的属性的，但是人们已把研究重点转移到定解问题上来。一个常微分方程是不是有特解呢？如果有，又有几个呢？这是微分方程论中一个基本的问题，数学家把它归纳成基本定理，叫做存在和唯一性定理。因为如果没有解，而我们要去求解，那是没有意义的；如果有解而又不是唯一的，那又不好确定。因此，存在唯一性定理对于微分方程的求解是十分重要的。

而奇解是微分方程的一种特殊的解，类似微分几何中的包络，奇解对应的积分曲线上每一点还有方程的另一个解存在，则存在唯一性定理被破坏。但是，并不是任何微分方程都有奇解，奇解存在的条件还有待进行更深入的探讨和研究。

2.奇解的定义及求法

2.1 奇解的定義

我们知道对某些微分方程，存在一条特殊的积分曲线，它并不属于这个方程的积分曲线族，但是，在这条特殊的积分曲线上的每一点处，都有积分曲线族中的一条曲线和它在此点相切。在微分方程里，这条特殊的积分曲线所对应的解称为方程的奇解。

定义1：微分方程的一个解称为奇解，如果在这个解的每一个点上还有方程的另外一个解存在，也就是说奇解是这样的一个解，在它上面的每一个点唯一性都不成立。或者说，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。

2.2 奇解的求法

从奇解的定义容易看出，奇解有两个特点：①奇解一定是原方程的解，但不包含在通解的形式之中；②破坏了解的唯一性，奇解对应的曲线上每一点至少有方程的两条积分曲线通过。

2.2.1通过求通解的包络求奇解

定义2：对于给定的一个单参数曲线族：lc：Φ（x，y，c）=0，其中c∈IR为参数。若存在一条曲线l满足下列条件：

①llcc∈I；②对任意的（x0，y0）∈l，存在唯一的c0∈I，使（x0，y0）∈lc0且l与lc0在（x0，y0）有相同的切线。

则称l为曲线族lc：Φ（x，y，c）=0的一条包络线，简称为包络。

从奇解的定义容易知道一阶微分方程的通解的包络（如果它存在的话）一定是奇解；反之，微分方程的奇解（如果存在的话）也是微分方程的通解的包络。因而，为了求微分方程的奇解，可以先求出它的通解，然后求通解的包络。

由微分几何学的知识可知，曲线族Φx，y，c=0的包络包含在由下列方程组

Φx，y，c=0，Φ′cx，y，c=0 消去c而得到的曲线之中，此曲线称为C—判别曲线。

Φx，y，c=0的包络是C—判别曲线，但C—判别曲线未必是包络。因此从C—判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为Φx，y，c=0的包络，尚需按照定义作进一步的验证。

例 1：求方程y=dydx2-xdydx+x22的解。

解：令dydx=p，得到 y=p2-xp+x22，（1）

两边对x求导数，得到

p=2pdpdx-xdpdx-p+x， 或 dpdx-12p-x=0。

从dpdx-1=0 解得 p=x+c，

并将它代入（1）得到方程的通解 y=x22+cx+c2。（2）

将（2）对c求导，得到 x+2c=0，（3）

从（2），（3）中消去c，得 y=x24，C—判别曲线。 y′=x2

对于通解，y=x22+cx+c2.y′=x+c

取x=x0，x20 4=x20 2+ cx0 + c2x0 2= x0 + c ∴c=-x02

∴对于y=x24上任意一点（x0 ，x20 4）都有曲线族中的一条曲线y =x22-x0 2x +x20 4 通过 则如图1，y=x24是原方程的奇解。

图1

2.2.2 通过存在唯一性定理被破坏求奇解

存在唯一性定理 如果在点（x0，y0，y′0）的某一领域中

①F（x，y，y′）对所有变元（x，y，y′）连续，且存在连续偏导数；

②F（x0，y0，y′0）=0；③ F（x0，y0，y′0） y′≠0 .

则方程F（x，y，y′）=0存在唯一解y=y（x），x-x0≤h（h为足够小的正数）满足初始条件y0=yx0，y0′=y′x0。

由该定理知道，如果Fx，y，y′关于x，y，y′连续可微，则只要Fy′≠0就能保证解的唯一性，因此，奇解（存在的话）必须同时满足下列方程

Fx，y，y′=0，Fx，y，y′y′=0

于是我们有下面结论：方程Fx，y，dydx=0的奇解包含在由方程组Fx，y，p=0F′px，y，p=0消去p而得到的曲线中，这里Fx，y，p是x，y，p的连续可微函数。此曲线称为方程Fx，y，dydx=0的P—判别曲线。

我们知道方程的奇解包含在该方程的P—判别曲线中，但P—判别曲线未必是奇解。因此从P—判别曲线分解出来的一支或数支曲线是否为Fx，y，dydx=0的奇解，尚需作进一步的验证。具体求法将在下面的例子中体现出来。

例2：求微分方程xy′+y′2-y=0的奇解。

解： 求P-判别曲线：

由F（x，y，y′）=xy′+y′2-y=0及Fy′=x+2y′=0

消去参数得P-判别曲线y=-14x2

把y=-14x2代入方程知y=-14x2是原方程的解；

又∵原方程的通解为y=cx+c2（原方程为克莱罗方程），y′=c

∴取x=x0，-14x20 = cx + c2c = -x0 2 ∴c=-x02

∴对于y=-x24上任意一点（x0 ，-x20 4）都有曲线族中的一条曲线y = -x0 2x +x20 4 通过 则y=-x24是原方程的奇解。

3.幾类特殊微分方程奇解的求法

3.1 克莱罗微分方程

形如y=xp+f（p）的方程，称为克莱罗（Clairaut）微分方程，这里p=dydx，f（p）是p的连续可微函数。

将y=xp+f（p）两边对x取导数，并以dydx=p代入，即得

p=xdpdx+p+f′（p）dpdx， 即 dpdx（x+f′（p））=0.

如果dpdx=0，则得到p=c，将它代入原方程，得到

y=cx+f（c），c是任意常数，这就是原方程的通解。

如果x+f′（p）=0，将它与原方程合起来

x+f′（p）=0y=xp+f（p） 消去P也得到方程的一个解。可以验证此解的确是通解的包络，由此，我们知道，克莱罗微分方程的通解是一直线族（在原方程中以c代p即得），此直线族的包络就是方程的奇解。

例3 求微分方程y=xp+1p（其中p=dydx） 的奇解.

解：此方程为克莱洛方程，因此其通解为 y=cx+ 1c

从x-1c2=0y=cx+1c中消去c得到y2=4x

由前后的讨论知y2=4x为方程的奇解.

3.2（Ⅰ）型特殊微分方程

形如a（x）dydx2-ydydx+b（x）=0（其中a（x）≠0，b（x）≠0且有连续导数）的微分方程

对于微分方程a（x）dydx2-ydydx+b（x）=0……（Ⅰ），其中a（x），b（x）是连续可导的，且a（x）≠0，b（x）≠0。

3.2.1推导

令 p=dydx，Fx，y，p=a（x）p2-yp+b（x）=0F′p（x，y，p）=2a（x）p-y=0

消去p得到函数=2d（x），其中d2（x）=a（x）b（x）≠0。

则′=2d′（x）=a′（x）b（x）+a（x）b′xd（x）

F（x，，′）=a（x）′2-·′+b（x）

=a（x）a′（x）b（x）+a（x）b′（x）d（x）2-2d（x）·a′（x）b（x）+a（x）b′（x）d（x）+b（x）

=a′（x）b（x）+a（x）b′（x）2-2a′（x）b（x）+a（x）b′（x）·b（x）+b2（x）b（x）

=a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）2b（x）

因此，当a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）=0时，是微分方程（Ⅰ）解。而且

F′（x，，′）=2a（x）·′-=2a（x）·a′（x）b（x）+a（x）b′（x）d（x）-2d（x）

=2ad（x）a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）=0

由此得到如下定理，

3.2.2 定理

定理1 对于微分方程a（x）dydx2-ydydx+b（x）=0……（Ⅰ），假设a（x），b（x）是连续可导的，且a（x）≠0，b（x）≠0，若满足条件a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）=0，则微分方程（Ⅰ）有奇解=2d（x），其中d2（x）=a（x）b（x）≠0。

3.2.3 应用实例

例4：方程x4（dydx）2-ydydx+x3=0有奇解y=x2，

因为a（x）=x4，b（x）=x3，

a′（x）b（x）+a（x）b′（x）-b（x）=14·x3+x4·3x2-x3=0

奇解y=2d（x）=2·a（x）·b（x）=2x4·x3=x2

3.3（Ⅱ）型特殊微分方程

形如y=a（x）dydx2+b（x）dydx+c（x）（其中a（x）≠0，b（x）≠0，c（x）连续可导）的微分方程

对于微分方程y=a（x）dydx2+b（x）dydx+c（x）……（Ⅱ），其中a（x），b（x），c（x）是连续可导的，且a（x）≠0，b（x）≠0。

3.3.1推导

这时，我们令p=dydx，F（x，y，p）=a（x）p2+b（x）p+c（x）-y=0F′p（x，y，p）=2a（x）p+b（x）=0

消去p得到函数=a（x）d2（x）+b（x）d（x）+c（x），其中d（x）=-b（x）2a（x）

F（x，，′）=a（x）（′）2+b（x）·′+c（x）-

=a（x）（′）2+b（x）·′+c（x）-a（x）d2（x）+b（x）d（x）+c（x）

=′-d（x）a（x）（′+d（x））+b（x）

所以，当′-d（x）=0时，是微分方程（Ⅱ）的解，且

F′′（x，，′）=2a（x）′+b（x）=2a（x）d（x）+b（x）=0

因此，得到如下定理，

3.3.2定理

定理2 对于微分方程y=a（x）dydx2+b（x）dydx+c（x）……（Ⅱ），假设a（x），b（x），c（x）是连续可导的，且a（x）≠0，b（x）≠0。若满足条件′-d（x）=0，其中d（x）=-b（x）2a（x），则微分方程（Ⅱ）有奇解

=a（x）d2（x）+b（x）d（x）+c（x），d（x）=-b（x）2a（x）

3.3.3应用实例

例5：方程y=x4（dydx）2-xdydx有奇解4x2y+1=0

因为a（x）=x4，b（x）=-x，d（x）=--x2x4=12x3

=a（x）d2（x）+b（x）d（x）+c（x）=x4·14x6+（-x）·12x3=-14x2

′-d（x）=0，所以奇解为4x2y+1=0

通过以上几个定理可以看出，对（Ⅰ）（Ⅱ）型两类一阶微分方程，通常是利用奇解存在的必要条件求出可能是奇解的函数，并验证这些函数是不是奇解，过程比较繁琐；如果运用定理1和定理2这两个判定定理就能够迅速的判定方程有没有奇解，且可以直接写出奇解的形式。

4.结论

通过一阶常微分方程奇解的研究，对奇解求法作了详细的分析和探讨，并针对奇解的求法给出了两类特殊一阶常微分方程a（x）dydx2-ydydx+b（x）=0（a（x）≠0，b（x）≠0）；y=a（x）dydx2+b（x）dydx+c（x）（a（x）≠0，b（x）≠0）的奇解存在的条件，和其奇解的形式，得出了两个判定定理。运用所得的判定定理可以迅速地求奇解，从而简化求奇解的过程。（作者单位：湖北大学计算机与信息工程学院）