干旱区绿洲植被退化模型的定性分析

冯建纲， 阿布都热西提·阿布都外力

(新疆大学 数学与系统科学学院, 新疆 乌鲁木齐 830046)

干旱区天然植被作为生物生态系统中的重要部分，是生态系统中物质循环和能量流动的枢纽，作为生态环境治理的一项重要措施，是退化生态系统恢复的关键所在[1]，在抑制沙漠化过程和保护生物多样性等方面有着重要的生态意义.水作为干旱区最重要的生态环境因子，不仅是干旱区绿洲生态系统构成、发展和稳定的基础和依据，而且决定着干旱区绿洲化过程与荒漠化过程这两类极具对立与冲突性的生态环境演化过程[2].水资源是干旱区绿洲系统形成、存在和发展的基础[3]，干旱区植被的需水来源主要来自于降水，在干旱区，植物对水的依存性更大，由于降雨量稀少,水资源的有限性，加之日照强烈，缺水使分布于绿洲周边地区的耐旱植被退化严重，植被分散而且稀疏，地表覆盖率很低甚至大面积死亡、消失[4]，造成环境进一步恶化，特别是在干旱、半干旱地区往往是灾难性的[5].基于以上的情况，考虑水分胁迫条件下植被的生长模型，在捕食模型的基础上，根据数学物理原理,给出了如下模型[6-10]：

(1)

式中：a,b,c,n,r,β皆为正常数；x(t)表示t时刻区域内地下水资源(土壤含水量)；y(t)表示t时刻区域内植被密度；r表示地下水的增量(主要是降雨量)；c表示因土壤渗透而导致的水的损失率；n表示单位密度植被蒸散量；β表示因缺水而导致的植被死亡率；bxy表示植被对水的吸收量；axy表示植被的生长量.

1 预备知识

为了研究模型的稳定性态，我们需要用到如下知识点.

定理3[13]对应于矩阵A的特征根的不同情况，关于微分方程组的零解的稳定性态有以下结论：

(1)若特征根均具有负实部，则方程组的零解是渐进稳定的.

(2)若有正实部的特征根，则方程组的零解是不稳定的.

2 主要结果

定理4 系统(1)在第一象限内无闭轨.

证明取Dulac函数B(x,y)=xkym，其中k,m为待定常数.则

krxk-1ym-(k+1)cxkym-(k+1)bxkym+1+

amxk+1ym-1-(m+1)βxkym

取k=m=-1，则D=-rx-2y-1-ay-2.因为r>0，a>0,在第一象限内x>0,y>0，故D<0.由Dulac准则，系统(1)在第一象限内无闭轨.

定理5 说明植被的退化是不会周期发生的.

下面我们考虑系统(1)的平衡点的稳定性情况，考虑如下方程

(2)

(3)

其一次近似系统上的Jacobi矩阵为

(4)

其一次近似系统上的Jacobi矩阵为

λ2+(c+by0)λ+ar-βc=0

定理9 说明当降雨量充足时，植被密度取决于水的供给数量.

3 结束语

水是干旱区各种资源中最为重要的资源之一，是植被生存极其重要的因子.通过对模型的定性分析可知：当干旱区的降雨过少，土壤渗透和蒸腾作用过强时，植被的生长受到抑制，将导致植被大量死亡，植被稀疏，出现地表裸露.干旱区植被密度取决于水的数量，有水成绿洲，无水成荒漠.因此，增加干旱区水的供给，如对干旱区采取人工灌溉等输水工程，植被密度将会增加，这也是防止植被退化和保护绿洲规模的主要手段之一.

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