柯西不等式推论的应用

宁纪献 覃发岗

摘要：对柯西不等式基本形式、推论作了归纳，然后给出了其推论的应用。

关键词：不等式；应用；柯西不等式

1.引言

柯西不等式[1]是数学中一个非常重要的不等式，它结构对称和谐，具有较强的应用性，深受人们的喜爱.它的推论也比较多，本文主要介绍其四个推论及其应用.

2.柯西不等式的推论

2.1柯西不等式的基本形式

柯西不等式已知ai，bi∈Ri=1，2，…，n，则∑ni=1aibi2≤∑ni=1a2i∑ni=1b2i，当且仅当a1b1=a2b2=…=anbni=1，2，…，n时等号成立.

2.2柯西不等式的推论

下面给出它常见的四个推论.

推论1[2]设a1，a2，…，an是实数，则n∑ni=1a2i≥∑ni=1ai2，等号成立当且仅当a1=a2=…=an.

推论2[2]设a1，a2，…，an是正实数，则∑ni=1ai∑ni=11ai≥n2，等号成立当且仅当a1=a2=…=an.

推论3[3]已知aii=1，2，…，n是正数，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，则

∑ni=1x2iai≥∑ni=1xi2.

推论4[3]已知aii=1，2，…，n是正数，xi∈Ri=1，2，…，n且∑ni=1ai=1，则

∑ni=1aix2i≥∑ni=1aixi2.

3.主要结果

3.1应用推论一

例1已知：x1，x2，…，xn∈R，满足

x1+x2+…+xn=aa>0，且x21+x22+…+x2n=a2n-1n≥2，n∈N，

求证：0≤xi≤2ani=1，2，…，n.

证明由x1+x2+…+xn=a得，a-xn=x1+x2+…+xn-1，由推论一得，

a-xn2=∑n-1i=1xn2≤n-1∑n-1i=1x2n=n-1a2n-1-x2n

故（a-xn）2a2-（n-1）x2n，所以0xn2an。

由x1，x2，…，xn的对称性，有0≤xi≤2ani=1，2，…，n.

3.2应用推论二

例2非零实数a1，a2，…，an满足a1+a2+…+an=1，求证：

y=a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1

有最小值并求之。

解a1+a2+…+an=1由，得

a11+a2+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a2+a3+…+an=22-a1

同理可得

a21+a1+a3+…+an+1=1+a1+a2+a3+…+an1+a1+a3+…+an=22-a2

an1+a1+a2+a3+…+an-1+1=1+a1+a2+a3+…+an-1+an1+a1+a2+a3+…+an-1=22-an.

将上面n个等式相加得：

a11+a2+a3+…+an+a21+a1+a3+…+an+…+an1+a1+a2+a3+…+an-1+n

=22-a1+22-a2+…+22-an

即

y+n=∑ni=122-ai=2∑ni=112-ai（其中i=1，2，…，n）.

又因为，故由推论二可得

∑ni=12-ai·∑ni=112-ai≥n2即2n-1·y+n2≥n2.

所以有yn2n-1，等号当且仅当a1=a2=…=an=1n时成立，所以y有最小值n2n-1.

3.3应用推论三

例3求证：a2b+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c≥a+b+c，其中a，b，c为ΔABC的三边。

证明：设x=b+c-a，y=c+a-b，z=a+b-c，

因为a，b，c为ΔABC的三边，所以x>0，y>0，z>0且x+y+z=a+b+c，即

xa+b+c+ya+b+c+za+b+c=1。

故

a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c=a2x+b2y+c2z

=1a+b+ca2xa+b+c+b2ya+b+c+c2za+b+c，

则由推论三得

a2a+c-a+b2c+a-b+c2a+b-c1a+b+c（上转第282页）

（a+b+c）2=a+b+c，

故原不等式得证.

3.4应用推论四

例4已知正数a，b，c满足a+b+c=1，求证：a3+b3+c3≥a2+b2+c23

证明：由于正数a，b，c满足a+b+c=1，故由推论四可得：

a2+b2+c2=3·13a2+13b2+13c2

≥3·13a+13b+13c2

=3·a+b+c32

=13，

而a3+b3+c3=a·a2+b·b2+c·c2，故由推论四可得

a3+b3+c3≥a·a+b·b+c·c2

=a2+b2+c22

=a2+b2+c2a2+b2+c2.

综上所述，a3+b3+c3≥13·a2+b2+c2.故原不等式得证.（作者单位：云南大学数学系）

参考文献：

[1]谢跃进.柯西不等式应用探讨[J].铜仁职业技术学报（自然科学版）.2008，6（6）：59.

[2]蔡玉书.应用柯西不等式证明竞赛中的不等式[J].数学通讯，2010（4）：58.

[3]欧华.柯西不等式的两个推论[J].数学大世界，2002（9）.