地铁直流牵引供电回路电气参量的数值计算

王奎鹃 李夏青 田行军 闫明富 史金京

(1.北京化工大学，100029，北京;2.北京石油化工学院，102617，北京;3.北京航空航天大学，100191，北京;4.北京地铁运营技术研发中心，102208，北京∥第一作者，硕士研究生)

采用电力牵引的地铁车辆，其电能取自于直流牵引供电系统。这要求直流牵引供电系统不仅在系统结构上要有很好的稳定性，而且在继电保护功能上也要有很高的可靠性。然而，随着地铁运载能力的不断提升和再生制动技术的应用，直流牵引供电回路承载的负荷电流出现了新的变化，比较典型的是出现了类似谐振电流的低频振荡大电流。这说明了牵引供电系统在结构稳定性方面存在不足。另外，从录波分析得知，此类振荡电流具有持续时间较短和冲击性较强的特点，其幅值特征和斜率特征与直流牵引网远端短路故障电流极为相似。这给既有的直流牵引网(d i/d t)－Δi(电流变化率－电流增量)保护方法带来极大的挑战。为提高直流牵引供电系统结构稳定性和完善继电保护功能，需借助牵引供电回路对系统物理模型和暂态特性作深入的研究。因此，全面和准确把握牵引供电回路电气特性及其变化规律，对保障地铁的安全和连续运营具有现实意义。

在牵引供电回路中，轨道电阻、电感和电容等主要的电气参数均为动态变化的物理量。其影响因素有既有负荷电流幅值、负荷电流脉动频率及钢轨规格等，又有铁磁材料磁化曲线的非线性特征，因此直接利用简单的数学公式难以获得这些主要的电气参数。为求取回路电气参量和掌握其变化规律，文献［2－3］研究了不同钢轨规格的回路参数的计算方法，并给出部分电气参量的数值;文献［4－5］阐述了负荷电流频率对供电回路电感的影响;文献［6］描述接触网电气参量求解方法后，给出了部分实测值。但是，上述计算方法均存在一定的局限性，不仅没有考虑地铁隧道对回路电感的影响，而且提供的测量值仅限于特定对象或特定状态。显然，这样的计算结果对构建系统的物理模型和研究系统的暂态特性不够理想。因此，有必要在考虑地铁隧道影响的基础上，寻求适合任意工况状态下的回路电气参数计算方法。

Matlab软件具有强大的数值计算能力，且内嵌的Simulink组件可提供系统级建模和仿真平台;图形化编程软件Labview，不仅在开发人机界面功能上有独特优势，而且通过SIT组件可实现与Matlab无缝连接。这里以牵引供电回路为研究对象，通过对负荷电流、钢轨规格及接头、地铁隧道等多种影响因素的分析后，建立了钢轨和地铁隧道的物理模型，确定出回路电气参量的数学模型;利用Simulink非线性函数模块逼近原数学函数，并利用其它库模块处理非线性函数，可快速定解出回路电气参量和描述出回路电感随负荷电流的变化规律;用Labview编写的友好界面可实现基础数据的输入和计算结果的输出［8］。

1 地铁直流牵引供电回路及其电气参量

地铁直流牵引供电系统是包含牵引变压器、整流器、直流断路器、接触网及走行轨等器件的完整系统(如图1所示)。牵引供电回路作为牵引供电系统的重要组成部分，通常仅指牵引供电网(接触轨和走行轨)和连接附件。

图1 直流牵引供电系统

在牵引供电回路中，连接附件的阻值较小，因此回路电阻主要是钢轨电阻。接触轨、走行轨承载负荷电流的交流频率大于16 Hz时应计算交流电阻［3］，但牵引负荷电流和故障电流均为直流波形，且所有系统振荡电流的波动频率约为10 Hz(如图2所示)，因此计算回路电阻时只需考虑钢轨直流电阻。牵引负荷电流和故障电流并非是恒流，其均含有一定脉动成分，且振荡电流呈现为交流形态，这些大电流在形状不规则的钢轨内流动时，趋肤效应和饱和特性将会对回路内电感产生显著的影响。同时，钢轨与隧道壁之间存在外自感，平行安置的钢轨之间存在互感，这样内电感、外自感及互感共同作用构成牵引供电回路的总电感。另外，钢轨与隧道壁之间存在电容效应，走行轨与大地之间有过渡电阻。因此，描述牵引供电回路的主要电气参量为钢轨直流电阻R、回路电感L、轨地电容C和过渡电阻Rg。

图2 北京地铁1号线振荡电流录波实景图

2 回路电气参量的数学模型

2.1 单位长度钢轨电阻

钢轨直流电阻可由式(1)计算

式中:

R——钢轨电阻;

l——钢轨长度;

ρ——电阻率;

A——钢轨横截面积。

走行轨 ρ取2.1×10－7Ω·m，接触轨 ρ取1.25×10－7Ω·m。当l取1 km时，可得单位长度钢轨电阻Rd(Ω/km)。

2.2 单位长度回路电感

在地铁车辆匀速运行时，牵引负荷中脉动成分所占比重较小，电感效应并不十分明显。但在车辆起动和制动、牵引网短路故障等情况下，牵引电流的脉动分量将快速上升，这样牵引回路电感效应不能被忽视，且其取值受电流的频率、幅值等多种因素影响。

2.2.1 单根钢轨内电感

钢轨内电感即其内自感。由于钢轨截面是非规则的几何面，为方便计算和分析，求解钢轨电感时通常将钢轨等效为具有相同横截面周长的圆柱形导体［2－3］，并定义截面的等效半径为 r。

这样，单位长度钢轨交流内电感Li的计算方法为［2－3］

式中:

μ0——真空磁导率;

μr——相对磁导率;

ber——贝塞尔实部(Bessel Real);

bei——贝塞尔虚部(Bessel Imaginary);

ber'——ber的一阶导数;

bei'——bei的一阶导数。

中间变量ber、bei和p分别见式(3)。

式中:

δ——趋肤深度;

f——电流频率;

γ——电导率，走行轨取 4.76 ×106S/m，接触轨取8.0×106S/m。

综合式(2)和式(3)可知，影响内自感Li的因素主要是f及μr，而影响μr的是电流幅值。

2.2.2 钢轨外自感的近似求法

地铁线路位于封闭的隧道内，且通过钢筋混凝土结构的隧道壁将其与外界隔离，因此计算钢轨外自感时需考虑隧道的影响。在隧道内，假定各钢轨(接触轨、走行轨)等效半径分别为 r1、r2、r3，钢轨轴间距分别为 d1，2、d2，3、d1，3，具体如图 3 所示。

图3 钢轨空间位置

现以最靠近接触轨的走行轨为例，阐述其同轴电缆建模方法和求解过程。其建模思想和求解过程如下:

1)单根走行轨1和隧道壁可视为不同半径的同轴电缆模型，走行轨1的等效半径为r2，并假定该走行轨1与隧道壁的水平和垂直距离分别为其外半径d1、d2、d3和d4(如图4所示)，这样可得到4组同轴电缆模型。

图4 钢轨和隧道的同轴电缆等效模型

2)分别求取4组同轴电缆的外电感，并将这4组外电感平均值定义为该走行轨1的外电感

3)同轴电缆外自感求取方法，可借助既有的数学模型［6］:

式中:

R内——同轴电缆的内径;R外——同轴电缆的外径。

2.2.3 供电回路外电感

为方便外电感建模及计算，需对供电回路作必要的等效变换。等效后的模型如图5所示。

图5 供电回路等效模型

在图5中，各钢轨的自感Lz和互感Mz，q的计算公式分别为

假定杂散电流与牵引电流的比值为m，2根钢轨间电流幅值比为k，则3根钢轨的电流(I1，I2，I3)和牵引电流I之间存在如式(6)所示的关系:

考虑到根据2根走行轨在A、B两点间(见图5)的压降均相等，则

式中:

ω——震荡电流的角频率。

将式(5)和式(6)代入式(7)，得

另外，3根钢轨在l长度内的交链磁通Φ分别为

为此，利用式(8)和式(9)，可求得3根钢轨在l长度内的等效外电感分别为

在牵引供电回路中，走行轨之间是并联关系，而接触轨与走行轨是串联关系，因此整个回路的外电感为

2.2.4 回路总电感

从整个回路角度来讲，钢轨的内自感表现为回路内电感，而钢轨外自感和互感综合作用表现为回路的外电感。这样，单个供电回路的总电感为

式中:

L1i——接触轨内电感;

L2i——单根走行轨内电感;

L1c——为接触轨接头处电感;

n——每km钢轨接头数。

2.3 单位长度轨地电容及过渡电阻

单根钢轨单位长度轨地电容(nF/km)为［7］

式中:

CLE——接触轨对地电容;

CBE——单根走行轨对地电容;

εr——钢轨与大地之间的相对介电常数，接触轨取2.5，走行轨取3;

ε0——真空介电常数;

ALE——接触轨的横截面积;

h——钢轨对地高度。

考虑到地铁隧道封闭且近似圆形，h可取d1～d4的平均值。

式(13)表明，轨地电容与频率无关，因此其单位长度电容为定值。

回路电流以直流分量为主，过渡电阻对低频低电压不敏感，且温度和湿度对过渡电阻影响很小，因此过渡电阻可视为定值。由CJJ 49—1992《地铁杂散电流腐蚀防护技术规程》可知，新建线路的过渡电阻Rg≥15Ω/km，运营中线路的过渡电阻 Rg≥3Ω/km。

3 关键参数的确定

由上述分析可知，钢轨材质和安装位置确定后，影响回路电气参量的主要因素是钢轨规格、负荷电流幅值、钢轨接头数、线路长度及杂散电流比例。这些量可作为数值计算的输入量。有实际意义的电气参量，如单位长度的钢轨电阻、电感、电容，以及整个回路的电阻、电感、电容可作为输出参量。另外，钢轨交流内电感和回路外电感等作为数值计算的中间变量。

3.1 相对磁导率的确定

钢轨的磁化特性非常复杂，且相对磁导率μr与负荷电流之间的函数关系未知，因此确定μr需借助其它参量。为此，通过钢轨表面磁场强度H确定μr。H与μr的对应关系如图6所示［2］，其中H在数值上等于钢轨电流幅值与其截面周长的比值。

图6 钢轨μr与H的关系曲线

3.2 参量 ber、bei、ber'及 bei'的确定

参量 ber、bei、ber'及 bei'，均可视为变量 p 的函数项级数的和函数。试验中发现，求和函数时只有取前30项级数的计算才能达到满意的精度，显然这样庞大的迭代计算非常容易形成误差累积。为解决此问题，笔者采用近似的定解方法:首先求取每个参量与变量p的具体函数关系;然后利用Simulink非线性函数模块逼近原数学函数;再用其它库模块处理非线性函数。通过该方法，得到参量 ber、bei、ber'、bei'与变量p的函数曲线，如图7所示。

图7 ber、bei、ber'、bei'与 p 的函数曲线

3.3 其它参数的确定

按照北京地铁钢轨的安装位置，d1，2、d1，3及 d2，3分别取684 mm、2176 mm和1505 mm。试验中，每km钢轨接头数取10，杂散电流比例取10%。

Rg受环境影响较大，但其值远远大于钢轨电阻［9］，因此Rg可设定为3Ω/km。另外，不同型号钢轨截面的几何参数，如表1所示。

表1 不同型号钢轨截面的几何参数

4 回路电气参量计算及分析

4.1 开发环境及协同计算

Matlab软件的优势是数值计算和内嵌的Simulink可提供系统级建模和动态仿真平台，但其人机交互功能较差。图形化编程软件Labview集成了丰富的图形界面模板，不仅可模拟真实的物理仪器，而且可将编写的程序生成可执行文件，且具有很好的可移植性［10］。

更为重要的是，Labview内嵌了仿真接口工具包SIT，通过TCP/IP数据传输协议，可实现两种软件的无缝集成和交互。因此，可采用Labview软件开发人机交互界面来实现基础数据的录入和计算结果的显示;利用Simulink搭建模型来实现复杂的数值迭代计算，这样可简便且直观地实现人机交互和动态系统的建模及计算［11］。

利用Simulink搭建的求解回路电气参量的模型非常复杂，文中不再赘述。其模型如图8－a)、图8－b)所示。利用Labview软件设计的人机交互界面，如图8－c)所示。

4.2 计算结果

4.2.1 钢轨电阻

根据上述回路电气参量计算方法，得到单根钢轨的单位长度电阻计算结果，并将几组实际测量值［7］和计算误差列入表2。

由表2可知，接触轨单位长度电阻值低于走行轨单位长度电阻值;随着走行轨质量的增加，电阻不断减小;单根钢轨的计算值与测量值的偏差低于5%。

图8 Matlab与Labview协同计算

表2 单根钢轨单位长度电阻

4.2.2 回路电感

根据上述回路电感计算方法，当频率为50 Hz、牵引电流小于100 A，可求得P50钢轨的回路电感为1.458 mH/km，与北京地铁1978年用50 Hz小电流电压电流阻抗法测得回路电感的平均值1.467 mH/km之间的误差为0.61%。

为详细说明单位长度回路电感与负荷电流之间的定量关系，图9－a)～图9－d)给出了P50、P60、P65、P75型钢轨在牵引电流频率为10 Hz时单位长度回路电感与负荷电流的关系曲线。

图9 10 Hz回路电感与负荷电流关系

表3给出了在牵引电流频率为10 Hz时单位长度回路电感与负荷电流关系的几组典型值。

表3 牵引电流频率为10 Hz时单位长度回路电感 mH/km

4.2.3 轨地电容

根据上述轨地电容参量计算方法，可得到单根钢轨的单位长度轨地电容的计算结果，如表4所示。

表4 单位长度钢轨轨地电容

由表4可知，单位长度的轨地电容相对较小，其产生的阻抗效应远低于钢轨电阻和回路电感。

5 结论

通过研究和分析地铁牵引供电系统的电磁暂态特性和物理模型，来寻求提高其系统结构稳定性和继电保护可靠性方法，则必须准确掌握直流牵引供电回路的电气参量及其变化规律。但是，动态变化的牵引供电回路电气参量与钢轨规格、负荷电流等多种因素有关，导致其直接定解非常困难。为解决此问题，笔者通过构建钢轨和地铁隧道的物理模型，得到回路电气参量的数学模型，并利用Labview人机交互界面调用Matlab/simulink非线性函数模块库逼近原数学函数的有效计算方法，开发出供电回路电气参量数值计算的软件。

利用该计算软件，不仅获得了大量钢轨电阻、回路电感等主要电气参量的计算值，而且得到了影响回路电气参量的主要因素和回路参数的变化规律，其具体变化规律如下:

1)单位长度钢轨电阻随着钢轨横截面积(取决于走行轨型号)的增加而减小;

2)牵引供电回路电感随负荷电流的改变而改变，走行轨型号的改变对牵引供电回路电感的影响不大;

3)在电流相同的情况下，随着钢轨横截面积的增加，回路电感缓慢递减;

4)回路电感的峰值大约位于牵引负荷电流0.5 kA处;

5)单位长度轨地电容与电流、电压、频率无关，因此其单位长度电容可视为定值。

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