浅析导数的应用

黑龙江 冯洁 赵旭

导数不但是高等数学计算的基础，而且是高等数学应用的工具，具有承上启下的作用，能够影响高等数学中后继知识的学习。导数知识的应用,为我们解决函数的有关问题提供了强有力的工具。因此可见，导数是高等数学中非常重要的章节。下面对导数在求极限、求最值、证明不等式甚至解决物理问题中的应用进行举例。

一、利用导数的物理意义求瞬时速度、加速度、电流强度等

导数是微积分的初步知识，是研究函数性质、解决问题的有效工具，其概念起源于几何学中的切线问题与力学中的速度问题。导数的物理意义目前没有统一的解释，对于不同的物理量，导数有不同的物理意义。求导运算实际上就是求瞬时变化率的运算。例如，变速直线运动路程函数s对时间t的导数就是瞬时速度；瞬时速度对时间的导数就是加速度；通过导体某截面的电量Q对时间t的导数就是电流强度。

例1在时刻t（单位：s）通过导体某一横截面的电荷的量Q(t)=t2+2，试求在t=0.5s时导线内的电流强度。

电流强度可以看成是单位时间通过导线某个截面的电荷的量，因此，电流强度可以看成是电荷的导数。

例2小球作非匀速直线运动规律为s=5t2，求在1秒时的瞬时速度。

二、利用导数求极限

利用洛必达法则，可以很轻松的应用导数工具来求解一些型极限或者型极限。

分析：此题满足洛必达法则求极限的条件，可以利用洛必达法则求解极限

三、利用导数求最值

我们知道，导数是求解函数单调性的有力工具，而在生产实践和科学实验中，常常会遇到求解函数的最大值与最小值问题。解决实际应用问题的关键在于建立数学模型以及确立目标函数。把实际问题转化为数学问题。解决此类问题需要找出关键,根据题中所给条件之间的相互关系,抽象出一个数学模型后，用导数对其进行分析可使复杂的问题简单化。

例4某车间靠墙壁盖一间长方形仓库，现有存砖只够砌20米长的墙，问：应围成怎样的长方形的墙才能使这间仓库的面积最大？

分析：首先应该构建一个函数，利用导数进行最优化求解。

解：由题意知，设围成的墙壁宽为x，则长为20-2x，仓库的面积记为S，

综上所述，函数S(x)在x=5处有极大值，极大值是S(5)=5(20-10)=500

由于在(0,10)内的连续函数S(x)只有一个极值点，因此，极大值就是这个函数的最大值。

例5人在雨中行走,速度不同可能导致淋雨量有很大不同,即淋雨量是人行走速度的函数。记淋雨量为y(单位:s),行走速度为x(单位:m/s),并设它们之间有以下函数关系:y=x3-6x2+9x求其淋雨量最小时的行走速度。

分析:由实际情况可知x≥0,并且人即使是跑,其最大速度小于15m/s,从而可取区间[0,15),求最值。问题转化为求函数在区间[0,15)上的最小值。

解：先求函数在区间[0,15)的所有可能极值点。

令f'(x)=3x3-12x+9=0可得x1=1，x2=3再与端点比较它们的函数值:

因此,当行走速度为3m/s时,淋雨量最小。

四、利用导数证明不等式

导数应用在证明不等式中,一般都是转化不等式,转化的方法是构造一个函数,然后求这个函数的最值,应用公式或恒等关系从而实现证明。下面我们来看一道经典的证明不等式的问题。

例6如果a,b,c都是正数，试证明a3+b3+c3≥3abc

分析要证a3+b3+c3≥3abc，只需证明a3+b3+c3-3abc≥0

因此，我们构建定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x3-3abx+a3+b3，问题转化为求证f(x)≥0。如果函数f(x)在区间内有最小值，且最小值是非负的，从而解决问题。即应用导数来研究这个问题。

对函数求导有f'(x)=3x2-3ab，

由于连续函数f(x)在(0,+∞)内只有一个极值点，并且是极小值，因此，极小值就是这个函数的最小值，有f(x)=x3-3abx+a3+b3≥f)≥0(x∈(0,+∞))

取x=c得c3-3abc+a3+b3≥0

即a3+b3+c3≥3abc

导数作为工具为研究函数性质提供了简单化、程序化、可操作的数学方法,是一种普遍、实用的方法。导数的应用为解决证明不等式、求极限、求最值等问题开辟了新的路径,显示了导数方法解决不同问题的灵活性、普适性和广泛性。

[1]徐映红,骆桦.微积分中导数的应用[J].北京邮电大学,2010.8.

[2]李建考.从导数的应用谈高等数学中的数学建模问题[J].职教与成教,2008.6.

[3]于海波.工程实用数学.东北师范大学出版社,2011.8.