一类泛函的径向极小元的局部一致估计＊

韩海燕

（马鞍山师范高等专科学校教师教育系，安徽马鞍山 243041）

0 引言

带权的Ginzburg－Landau型泛函是相变理论中的一个模型，它在超导、超流和XY－磁等领域中有着重要的应用，研究这类泛函的极限行为得到了国内外许多研究工作者的关注和青睐.对加权的Ginzburg－Landau型泛函

在函数类空间

中径向极小元με的极限行为的研究具有极高的价值.研究径向极小元极限行为有很多种方法［1］，其中通过建立局部一致估计来实现对径向极小元的极限行为的研究是一种很重要的途径.本文将阐述如何对径向极小元建立局部一致估计.

本文在径向极小元整体估计的基础上，适当引入辅助泛函，从而降低整体估计右端的增长速度，使得它不再增长或负增长，最终建立局部一致估计.下面将详细地阐述该项研究和论证过程.

1 局部一致估计的建立

其中C＞0不依赖于ε∈（0，1），r∈［0，1］.

设r0∈［0，1］.下面将从r0的3种情形来分别对径向极小元建立局部一致估计.

先考虑0＜r0＜1的情形.对任给的R∈（0，1），都存在常数C（R）＞0，使得当ε∈（0，ε0）时，

其中ε0＞0充分小，且有公式［3］

定理1 设0＜r0＜1，任给存在常数C＞0使得

其中ε∈（0，ε0），ε0充分小.

证明 从式（1），对任何T＞0，可以得出

因为是极小元，由式（1）可以推出

在［0，1］上选取光滑切断因子0≤ζ（r）≤1，使得在（0］上ζ＝1，在r＝r0－T附近ζ＝0，｜ζr｜≤C（T）［6］.在式（6）两端乘ζρr（ρ＝ρε）并在（T1，r0－T2）上积分，便得

利用式（9）可以导出

利用式（5）（7）（9）还可以导出

将式（11）（12）代入（10）便得到

再选取光滑切断因子ζ∈C∞（0，1］［7］，满足在T1附近ζ＝0，在［r0－T2m＋1，r0）上ζ＝1，ζr≤C（T）.与前面的讨论一样，仍可得到

在式（6）两端乘ρ－1并积分，有

由此及式（5）（7）（13），可以推出

定义1

因为με是Eε（μ，B）的极小元，所以可以得出

这表明

再利用式（8），可得

以此结合式（14）便得到

同样地，通过考虑泛函

易证其极小元ρε在中存在，类似于式（14）的证明，仍然可以得到

定义2

注意到με是Eε（μ，B）的极小元，可以得到

于是，

运用式（16）得到

结合式（15）并注意到T≥max｛Tim＋1；i＝1，2，3｝，可得式（3）成立.

类似于定理1的证明，可以证明如下的定理.定理2 若r0＝0，则对任给的都存在不依赖于ε的常数C＞0，使得

若r0＝1，则对任给的T∈（0，1），都存在不依赖于ε的常数C＞0，使得

通过以上的讨论，分别给出了r0在区间［0，1］上3种局部一致估计，这3种局部一致估计为径向极小元的极限行为研究奠定了基础.

［1］ LEI Yutian.Radial minimizer of p－Ginzburg－Landau functional with nonvanishing dirichlet boundary condition［J］.Nonlinear Analysis，2005，60：117－128.

［2］ 韩海燕，雷雨田.带权的Ginzburg－Landau型泛函的径向极小元唯一性研究［J］.廊坊师范学院学报：自然科学版，2011，11（5）：22－23，30.

［3］ LEI Yutian.Asymptotics for the radial minimizer of p－Ginzburg－Landau type with p∈（n－1，n）［J］.Nonlinear Analysis，2008，69：4534－4549.

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