连分数求解一类不定方程

张利霞，赵西卿，韩建勤

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

连分数求解一类不定方程

张利霞，赵西卿，韩建勤

（延安大学数学与计算机科学学院，陕西延安716000）

结合连分数的基本性质，运用连分数＜a0，a1，a2，a3，…，an＞的渐近分数Pn｜Qn的基本关系以及取整的方法给出不定方程x2－Dy2＝k的求解公式。

连分数；渐近分数；取整；不定方程

纵观数学史，连分数的思想对数学的发展起到了巨大的推动作用，它从一种新的角度来认识数的性质和规律。同时，它也是数论中一个很有趣的课题。目前，人们已经得到了不少有用的结论，并可以应用到很多方面，比如约分、找最大公约数、求一元多次方程，解一次同余方程等等［1－3］。

应用连分数研究数论中的一些问题，一直是人们研究的热点。如冯蕴珍，陈荣庭应用辗转相除法给出连分数的定义与计算及用连分数给出Pell方程解的形式［4］；杜丽英应用辗转相除法给出纯循环二次无理数的连分数的算法［5］等。

本文主要是在杜丽英应用辗转相除法给出纯循环二次无理数的连分数的算法的基础上，通过研究丢番图逼近理论，结合连分数的基本性质，运用连分数＜a0，a1，a2，a3，…，an＞的渐近分数Pn／Qn的基本关系以及取整的方法给出不定方程x2－Dy2＝k的求解公式。

1 预备知识

2 不定方程x2－Dy2＝k解的讨论

［1］张明尧（译），R.K.盖伊.数论中未解决的问题［M］.北京：科学出版社，2004.

［2］许介彦.浅谈连分数［J］.科学教育月刊，2003（257）：35－46.

［3］Rosen K H.Elementary number theory and its applications［M］.Canada：Addison Wesley，1999.

［4］冯蕴珍，陈荣庭.连分数和部分方程的近似解［J］.天水师专学报，1989（1）：77－85.

［5］杜丽英，杨中和，陈广峰.渐近分数的应用研究［J］.西安文理学院学报（自然科学版），2011，14（3）：34－36.

［6］潘之洞，潘承彪.初等数论（第二版）［M］.北京：北京大学出版社，2003.

［7］闵嗣鹤，严士健.初等数论（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［8］珂召，孙琦.数论讲义（第二版）［M］.北京：高等教育出版社，2003.

［9］华罗庚.数论引导［M］.北京：科学出版社，1957.

［10］杨中和.二次无理数的连分数［J］.西安文理学院学报（自然科学版），2008，11（2）：54－58.

［责任编辑 毕 伟］

O156.4

A

1004－602X（2014）04－0006－02

10.3969／J.ISSN.1004－602X.2014.04.006

2014-10-15

延安大学自然科学专项科研基金项目（YDZ2013－4）

张利霞（1989－），女，陕西榆林人，延安大学在读硕士研究生。