一种联合修正的稳健Capon波束形成算法

(解放军信息工程大学,河南郑州450002)

0 引言

随着通信技术的发展,出现了无线电测向技术与接收技术相结合的定向天线系统,如对数周期天线组成的圆形天线阵[1],该系统要在检测信号的同时测出信号的方位,并对重点信号进行接收。当用定向天线单元组阵时,除需分析单元天线特性外,自适应波束形成技术是必须要讨论的内容,因为利用波束形成技术可以提取期望信号,抑制干扰,提高阵列的接收性能。由于定向天线单元没有固定的相位中心[2]且天线阵易受交叉极化的影响[3],使得阵列假定的导向矢量与真实的导向矢量存在较大的失配,从而导致传统的波束形成算法性能下降甚至失效,因此稳健波束形成算法成为研究的重点。同样由于有限采样等因素的影响,使得采样协方差矩阵估计不准确,严重影响了波束形成器的性能,尤其当协方差矩阵中含有期望信号时算法性能急剧下降。

目前提出了很多稳健的自适应波束形成算法,文献[4]对其中一些稳健算法进行了总结,并分析了其优缺点。针对现有的算法大致可以分为以下几类：第一类方法是降低估计协方差矩阵不稳定性(如低快拍数等)影响的稳健波束形成算法。基本解决思路为对角加载技术,文献[5]中三种可以等效于对角加载形式的协方差估计方法。该类算法通过减小协方差矩阵的不稳定性来提升波束形成器的性能,但这类方法在较大的导向矢量偏差下性能提升有限。文献[6]给出了一种干扰噪声协方差矩阵重构的方法,通过Capon功率谱及期望信号来向区域得到一个不含期望信号分量的协方差矩阵,从而提升算法在高信噪比下的性能。第二类方法是期望信号导向矢量修正的稳健波束形成算法。文献[7-9]给出了基于不确定集的稳健波束形成算法,该类算法通过将导向矢量约束于不确定集中,从而修正得到期望信号导向矢量。文献[10]给出了一种失配误差正交分解的稳健自适应波束形成,该算法通过最大化输出功率迭代搜索期望导向矢量误差的正交分量,从而得到修正后的导向矢量。文献[11]给出了一种二次型约束的导向矢量修正方法,该算法利用尽可能少的先验信息得到一个稳健解。文献[12]给出了改进的投影的稳健波束形成算法,通过假定的期望信号导向矢量与协方差矩阵特征分解后的特征向量相关性得到期望信号子空间矩阵,把假定的导向矢量其子空间上投影得到修正后的导向矢量。第三类算法是联合的稳健波束形成算法,即同时处理协方差矩阵的扰动和期望信号导向矢量的修正。文献[6]稳健算法首先利用期望信号来向区间及Capon功率谱重构干扰噪声协方差矩阵,然后通过迭代搜索的方法求解二次凸优化问题获得修正的期望信号导向矢量。文献[13]给出了一种联合稳健算法,首先利用Shrinkage方法增强协方差矩阵的稳定性,然后结合文献[10]中的导向矢量修正方法。这些稳健算法对有限采样及导向矢量失配均具有一定的稳健性。

本文基于联合修正协方差矩阵与导向矢量的思路,给出了一种联合估计的稳健Capon波束形成算法。该算法首先基于收缩(Shrinkage)的方法修正协方差矩阵,然后利用最少及容易获得不精确的先验信息来修正期望信号导向矢量,该方法主要是利用一个二次型约束防止修正的导向矢量收敛于干扰导向矢量上。仿真结果表明,该算法在低快拍数下具有较好的性能,对导向矢量失配较其他稳健算法具有更优的性能,且对阵列模型误差具有较好的稳健性。

1 窄带信号阵列模型

1.1 定向天线阵

考虑一个M阵元的定向天线阵,如水平极化对数周期天线阵[1],各阵元在圆周上等角度间隔排列,各阵元的归一化方向图函数为G(θ)。由于各阵元主瓣指向不同,第m个阵元主瓣指向角度为αm=2π(m-1)/M,m=1,2,…,M,故各阵元对同一信号接收增益不同。

若有来波方位角为θ的入射信号,则各阵元接收信号的幅度响应为G(θ-αm),以圆心为参考点,各阵元接收信号的相位差为

式中,f为信号的频率,c为光速,R m为天线阵列的有效半径[1]。

在理想情况下,可认为定向天线阵来向θ下的导向矢量为

从式(2)可以看出,理想情况下,相比全向天线阵,定向天线阵中各阵元对来向为θ的信号接收增益不同且均小于等于1,有‖a(θ)‖2＜M,使得定向天线阵的导向矢量不满足某些波束形成算法中的模约束条件。

相比于全向天线阵,定向天线阵除存在通道幅相误差、互耦等非理想因素外,还存在单元天线没有固定的相位中心与易受交叉极化的影响。其中交叉极化分量对水平极化定向阵列影响很大,使得其误差较全向天线阵更为复杂。

1.2 阵列误差模型

由于水平极化定向阵列误差较为复杂,针对这一问题我们给出了“方位依赖”的幅相误差。假设有P个远场窄带信号源入射到阵列,其来波方位角为θ1,θ2,…,θP,则阵列输出响应为

式中,☉表示矩阵的点乘;s(t)为信源复矢量;n(t)为高斯噪声矢量,且与信源统计独立;Γ=diag[τ1,τ2,…,τM]为通道幅相误差,τm为第m个阵元的幅相误差;A(θ)=[a(θ1),A(θ2),…,a(θP)]为阵列流形矩阵,a(θk)为来向θk对应的导向矢量;F(θ)=[f(θ1),f(θ2),…,f(θP)]为“方位依赖”的幅相误差矩阵,f(θk)为来向θk下由于单元天线方向图函数近似、相位中心和交叉极化等非理想因素造成的幅相误差。

由于Γ为对角矩阵,式(3)可以变换为

式中,C为定向天线阵模型误差矩阵;B(θ)为阵列真实的流形矩阵。由于误差矩阵C的存在,使得导致真实的导向矢量与假定的导向矢量存在较大的失配。

对于上述的阵列模型,自适应波束形成器的输出为

式中,w为自适应波束形成的权值矢量。

基于阵列最小输出功率,自适应波束形成可写成如下优化问题：

式中,R i+n为干扰噪声协方差矩阵,其在实际中无法获得,一般用采样协方差矩阵R的估计值代替,有。

故波束形成算法的权值为

当快拍数较少时,估计不准确,且阵列真实的导向矢量a(θ0)与估计的导向矢量(θ0)存在较大的失配,从而使得传统的波束形成算法性能下降,稳健算法成为研究的重点。

2 联合估计的稳健波束形成算法

本文算法的基本思想是首先利用基于Shrinkage方法修正协方差矩阵,其本质等价于对角加载,然后最大化Capon输出功率修正期望信号的导向矢量,利用了最少及容易获得不精确的先验信息即期望信号角度区间和天线阵构造的不精确的导向矢量,最后利用修正后的协方差矩阵与导向矢量采用Capon算法进行波束形成。

2.1 基于收缩方法的协方差矩阵修正

为了估计理论上的协方差矩阵R,考虑一种协方差矩阵组合形式

式中,α≥0和β≥0为收缩参数,I为单位阵。通过最小化估计协方差的均方误差,有

可得最优的参数α和β为

由上式的最优参数和可得修正的协方差为

2.2 期望信号导向矢量的修正

若根据期望信号DOA及阵列结构可粗估计期望信号导向矢量,导向矢量误差即误差矢量为e,实际导向矢量可表示为,Capon波束形成器输出功率为

由于实际的导向矢量a与粗估计的存在误差,有成立。可以看出输出功率是误差矢量e的函数,通过最大化(e)估计得到误差矢量,进而得到导向矢量。导向矢量误差e可以看成两部分组成：一部分是与假设导向矢量正交的e⊥,另一部分是与其平行的e‖,由于e‖不影响波束形成的性能,故一般只考虑e⊥对导向矢量进行修正。

在强干扰下为防止收敛于干扰导向矢量或其线性组合上,文献[10]给出了子空间约束的方法,但存在较大导向矢量失配时,子空间构造不准确,本文结合文献[11]建立了如下约束：

式中,V n为与估计导向正交的向量,一般取采样协方差矩阵最小特征值对应的特征向量,但这个约束条件不是必需的。式(15)是个QCQP问题,可以通过M ATLAB CVX工具箱进行求解。式(15)若存在无解的情况,令e⊥=0是最简单的方法,故此时算法变为基于协方差矩阵修正的波束形成算法。

由修正的协方差矩阵和修正的期望信号导向矢量,由Capon算法可得其权值为

综上,本文的算法步骤为：

(1)利用式(10)估计收缩参数0和0,并构造修正的协方差矩阵;

(2)预估计期望信号来向区间Θ,构造矩阵,并选择合适的Δ0;

(3)通过求解式(15)的QCQP问题,估计误差矢量正交分量e⊥,进而得到期望信号导向矢量估计值;

(4)使用修正后的和,利用Capon得到波束形成算法的权值。

3 性能仿真

为进一步验证所提算法的性能,现对算法进行计算机仿真。对于M阵元定向天线阵,本文的归一化方向图函数取G(θ)=cosnθ,其中n为天线波束宽度决定,波束宽度取60°。对于定向天线阵,只取部分阵元的接收数据进行波束形成,本文取7元子阵。各阵元接收增益不同(当期望信号与干扰良好分离时)最大输出信干噪比为SNR‖a(θ0)‖2,其中SNR为期望信号信噪比。

阵列条件：天线阵孔径比为1.5,期望信号来向为90°(不考虑仰角),两个干扰信号,其来向为70°和110°。预估计期望信号来向θ0,期望信号来向区间Θ=[θ0-5°,θ0+5°]。 为更好地验证性能,本文算法和对角加载算法(LSMI),文献[5]中的基于收缩(Shrinkage)的波束形成算法和文献[11]中的稳健算法进行比较。

实验一：讨论仅存在DOA失配下算法的性能。阵列条件如上,干扰信号信噪比为30 dB,阵列无“方位依赖”幅相误差。预估计期望信号来向θ0为95°,即存在5°指向偏差。当固定快拍数为100,期望信号信噪比从-10～30 d B间隔2 d B变化,输出SINR随期望信号信噪比变化如图1所示。

图1 DOA失配下SINR随期望信号信噪比变化图

从图1可以看出,本文算法对DOA失配具有较好的稳健性。高信噪比条件下,由于协方差矩阵中含有期望信号,各个算法性能均下降,但本算法变化趋势较为缓慢,具有较其他稳健算法更优的性能。相比于文献[11]中的算法,本文给出的联合稳健算法由于增加了协方差矩阵扰动的影响,具有略优的性能。

实验二：讨论模型误差与DOA失配同时存在下算法的性能。阵列条件如上,干扰信号信噪比为30 dB,加入均匀分布的±1.0 dB的幅度误差和±30°的相位误差。预估计期望信号来向θ0为95°,即存在5°指向偏差。当固定快拍数为100,期望信号信噪比从-10～30 dB间隔2 dB变化,输出SINR随期望信号信噪比变化如图2所示。

图2 模型误差与DOA失配下SINR随期望信号信噪比变化图

从图2可以看出,本文提出的联合稳健算法对阵列模型误差及DOA偏差等多种非理想因素引起的导向矢量失配具有一定的稳健性,且在高信噪比下具有较对角加载等其他算法较优的性能。

4 结束语

针对定向天线阵中单元天线由于没有固定相位中心和交叉极化等造成的较大导向矢量失配,给出了一种协方差矩阵与导向矢量联合修正的稳健Capon算法。该算法首先基于收缩的方法修正协方差矩阵,然后通过最大化Capon输出功率对估计的导向矢量进行修正,使修正后的导向矢量和真实的导向矢量更加接近,同时防止其收敛于干扰导向矢量或其线性组合上,该算法转化为QCQP问题进行求解。仿真结果表明,该算法对定向天线阵中误差矩阵具有一定的稳健性,且较其他稳健算法具有较好的性能。

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