浅谈解数学开放题的策略

陈杰龙

摘要：数学开放题与当前大力推广的素质教育紧密相连.本文通过对数学开放题的类型和解题策略的研究，介绍了常见的数学开放题类型，以及各种题型的解题策略，并对其进行深一步的研究，挖掘出其中包含的数学思想方法.

关键词：开放题；探索；策略

中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0094-02

通过数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.开放的数学题其目的就是培养学生分析问题和解决问题的多方面活动能力与数学思维能力，体现“以学生的终身发展为本”的理念.

开放探索性问题是相对传统的有“已知——求证”固定模式的题型，即对有完备的条件和固定结论的封闭性试题而言的，它的条件、结论之一未明显写出.常见的开放、探索问题：探索、补充条件；探索、确定结论；探索存在性；有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠等）.解开放探索性问题的基本思路：探索条件类的解法类似于分析法，假定结论成立，逐步探索其成立的条件；探索结论类的解法是：根据条件，结合以学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解；探索存在性时，常常遵循从特殊（特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等）到一半的规律，可采用“假设检验法”，即先假设结论成立，看是导致矛盾，还是达到与已知条件的沟通，从而确定探索的元素是否存在.解开放探索性问题基本策略：

1.由因探果，顺推分析.这类开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结论的意义相同的问题.也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种答案的题型.这需要学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题.对这类开放型问题，只需根据给定的条件寻求相应的结论.

例1 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .

分析：由于四面体的各棱长未一一给出，因此首先需探求出符合提设的空间图形，然后才能按照图形求体积.

解：由于四面体不是正四面体，所以其棱长分别为1和2，其次，各棱必须构成三角形，才能构成四面体，所以同一个面中不能出现两条棱为1，一条棱为2的情形，这样，满足本题条件的四面体共有下列三种（即长为1的棱分别是一条、两条、三条）.分别计算三种四面体的体积依次为■，■，■，按要求只填一种即可.

2.执果索因，逆推分析.对条件开放题问题，需要探求其结论成立的条件时，可执果索因，将题设和结论视为已知条件，倒推分析，导出所需的条件.

例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，当底面△A1B1C1满足什么条件时，有AB1⊥BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

分析：把结论AB1⊥BC1看作已知条件.

解：连结BC1，由BC=CC1，可得B1C⊥BC1，因此，要AB1⊥BC1，则只要BC1⊥平面AB1C，即只要AC⊥BC1，有直三棱柱可知，只要AC⊥BC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1⊥B1C1即可.

3.假设存在，肯定顺推.就是事先假设问题所研究的对象存在或成立，然后依条件顺推，探求结论.

例3 给定双曲线x2-■=1，过点B（1，1）能否作直线L，使L与所给双曲线交于两点Q1Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

分析：存在性问题，一般先肯定结论存在或成立，若不存在，证明方法通常用反证法，若存在，就找出结论来，或根据有关定理予于说明.

解：设所求的直线m存在，并设斜率为k，则y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。当k=2时，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2<0，若k存在，显然不满足条件，所以满足条件的直线m不存在.

4.否定结论，反证逆推.否定逆推就是将所研究的对象事先予于否定，即假设不存在或不成立，然后利用相关条件逆向分析推理，探求结论.

例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.

分析：当探求结论或条件从正面难以成功时，“否定逆推”是首选的解题策略.即从反面入手，逆向分析推理，从而判定结论或条件.

解：否定逆推，假设f（1），f（2），f（3）都小于■，则：

f（1）=1+b+c<■f（2）=4+2b+c<■f（3）=9+3b+c<■？圯-■

由（1）+（3）得-11<4b+2c<-9即-■<2b+c<-■ （4），显然（4）与（2）相矛盾，所以原假设不成立，故存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.

5.数形结合，等价转化.有些数学开放问题的题设所给的数或式有明显的几何意义，可以巧妙地转换思维角度，将有利用问题的解决.

例5 设x，y为实数，集合A={（x，y）|y2-x-1=0}，B={（x，y）|16x2+8x-2y+5=0|}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A∪B）∩C=Φ？

解析：由题设条件联系其条件所体现的几何背景，我们转换思维角度知原命题等价于是否存在自然数k，b，使直线y=kx+b与抛物线y2=x+1或y2=8x2+4x+■没有交点.由于y2=x+1，y=8x24x+■在轴上的正截距为1，■，故必有b=2，又由于y=kx+2y2=x+1无实数解，得1-■

总之，开放型数学问题由于选择范围广，覆盖知识面大，具有较强的综合性和逻辑性，对使用的解题方法也有较高的要求，因此必须要求学生自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较、概括，不但要会演绎法，也必须会归纳法，不但要掌握严密的演绎推理，也必须掌握合情推理.

摘要：数学开放题与当前大力推广的素质教育紧密相连.本文通过对数学开放题的类型和解题策略的研究，介绍了常见的数学开放题类型，以及各种题型的解题策略，并对其进行深一步的研究，挖掘出其中包含的数学思想方法.

关键词：开放题；探索；策略

中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0094-02

通过数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.开放的数学题其目的就是培养学生分析问题和解决问题的多方面活动能力与数学思维能力，体现“以学生的终身发展为本”的理念.

开放探索性问题是相对传统的有“已知——求证”固定模式的题型，即对有完备的条件和固定结论的封闭性试题而言的，它的条件、结论之一未明显写出.常见的开放、探索问题：探索、补充条件；探索、确定结论；探索存在性；有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠等）.解开放探索性问题的基本思路：探索条件类的解法类似于分析法，假定结论成立，逐步探索其成立的条件；探索结论类的解法是：根据条件，结合以学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解；探索存在性时，常常遵循从特殊（特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等）到一半的规律，可采用“假设检验法”，即先假设结论成立，看是导致矛盾，还是达到与已知条件的沟通，从而确定探索的元素是否存在.解开放探索性问题基本策略：

1.由因探果，顺推分析.这类开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结论的意义相同的问题.也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种答案的题型.这需要学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题.对这类开放型问题，只需根据给定的条件寻求相应的结论.

例1 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .

分析：由于四面体的各棱长未一一给出，因此首先需探求出符合提设的空间图形，然后才能按照图形求体积.

解：由于四面体不是正四面体，所以其棱长分别为1和2，其次，各棱必须构成三角形，才能构成四面体，所以同一个面中不能出现两条棱为1，一条棱为2的情形，这样，满足本题条件的四面体共有下列三种（即长为1的棱分别是一条、两条、三条）.分别计算三种四面体的体积依次为■，■，■，按要求只填一种即可.

2.执果索因，逆推分析.对条件开放题问题，需要探求其结论成立的条件时，可执果索因，将题设和结论视为已知条件，倒推分析，导出所需的条件.

例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，当底面△A1B1C1满足什么条件时，有AB1⊥BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

分析：把结论AB1⊥BC1看作已知条件.

解：连结BC1，由BC=CC1，可得B1C⊥BC1，因此，要AB1⊥BC1，则只要BC1⊥平面AB1C，即只要AC⊥BC1，有直三棱柱可知，只要AC⊥BC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1⊥B1C1即可.

3.假设存在，肯定顺推.就是事先假设问题所研究的对象存在或成立，然后依条件顺推，探求结论.

例3 给定双曲线x2-■=1，过点B（1，1）能否作直线L，使L与所给双曲线交于两点Q1Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

分析：存在性问题，一般先肯定结论存在或成立，若不存在，证明方法通常用反证法，若存在，就找出结论来，或根据有关定理予于说明.

解：设所求的直线m存在，并设斜率为k，则y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。当k=2时，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2<0，若k存在，显然不满足条件，所以满足条件的直线m不存在.

4.否定结论，反证逆推.否定逆推就是将所研究的对象事先予于否定，即假设不存在或不成立，然后利用相关条件逆向分析推理，探求结论.

例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.

分析：当探求结论或条件从正面难以成功时，“否定逆推”是首选的解题策略.即从反面入手，逆向分析推理，从而判定结论或条件.

解：否定逆推，假设f（1），f（2），f（3）都小于■，则：

f（1）=1+b+c<■f（2）=4+2b+c<■f（3）=9+3b+c<■？圯-■

由（1）+（3）得-11<4b+2c<-9即-■<2b+c<-■ （4），显然（4）与（2）相矛盾，所以原假设不成立，故存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.

5.数形结合，等价转化.有些数学开放问题的题设所给的数或式有明显的几何意义，可以巧妙地转换思维角度，将有利用问题的解决.

例5 设x，y为实数，集合A={（x，y）|y2-x-1=0}，B={（x，y）|16x2+8x-2y+5=0|}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A∪B）∩C=Φ？

解析：由题设条件联系其条件所体现的几何背景，我们转换思维角度知原命题等价于是否存在自然数k，b，使直线y=kx+b与抛物线y2=x+1或y2=8x2+4x+■没有交点.由于y2=x+1，y=8x24x+■在轴上的正截距为1，■，故必有b=2，又由于y=kx+2y2=x+1无实数解，得1-■

总之，开放型数学问题由于选择范围广，覆盖知识面大，具有较强的综合性和逻辑性，对使用的解题方法也有较高的要求，因此必须要求学生自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较、概括，不但要会演绎法，也必须会归纳法，不但要掌握严密的演绎推理，也必须掌握合情推理.

摘要：数学开放题与当前大力推广的素质教育紧密相连.本文通过对数学开放题的类型和解题策略的研究，介绍了常见的数学开放题类型，以及各种题型的解题策略，并对其进行深一步的研究，挖掘出其中包含的数学思想方法.

关键词：开放题；探索；策略

中图分类号：G633.6？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）03-0094-02

通过数学学习，学生能够初步学会运用数学的思维方式去观察分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识.开放的数学题其目的就是培养学生分析问题和解决问题的多方面活动能力与数学思维能力，体现“以学生的终身发展为本”的理念.

开放探索性问题是相对传统的有“已知——求证”固定模式的题型，即对有完备的条件和固定结论的封闭性试题而言的，它的条件、结论之一未明显写出.常见的开放、探索问题：探索、补充条件；探索、确定结论；探索存在性；有关方案设计与动手操作的题目（如作图、画图及图形的剪、拼、折叠等）.解开放探索性问题的基本思路：探索条件类的解法类似于分析法，假定结论成立，逐步探索其成立的条件；探索结论类的解法是：根据条件，结合以学的知识、数学思想方法，通过分析、归纳逐步得出结论，或通过观察、实验、猜想、论证的方法求解；探索存在性时，常常遵循从特殊（特殊点、特殊值、特殊位置、特殊图形等）到一半的规律，可采用“假设检验法”，即先假设结论成立，看是导致矛盾，还是达到与已知条件的沟通，从而确定探索的元素是否存在.解开放探索性问题基本策略：

1.由因探果，顺推分析.这类开放题是指提供一定的条件，可以是既满足条件，且所得结论的意义相同的问题.也可以是提供一定的条件，满足条件的结论方面往往有多种答案的题型.这需要学生灵活运用所学的知识，善于突破常规，进行直觉、想象、猜想、创造等活动才能解决问题.对这类开放型问题，只需根据给定的条件寻求相应的结论.

例1 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积的值是 .

分析：由于四面体的各棱长未一一给出，因此首先需探求出符合提设的空间图形，然后才能按照图形求体积.

解：由于四面体不是正四面体，所以其棱长分别为1和2，其次，各棱必须构成三角形，才能构成四面体，所以同一个面中不能出现两条棱为1，一条棱为2的情形，这样，满足本题条件的四面体共有下列三种（即长为1的棱分别是一条、两条、三条）.分别计算三种四面体的体积依次为■，■，■，按要求只填一种即可.

2.执果索因，逆推分析.对条件开放题问题，需要探求其结论成立的条件时，可执果索因，将题设和结论视为已知条件，倒推分析，导出所需的条件.

例2 直三棱柱A1B1C1-ABC中，BC=CC1，当底面△A1B1C1满足什么条件时，有AB1⊥BC1.（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）

分析：把结论AB1⊥BC1看作已知条件.

解：连结BC1，由BC=CC1，可得B1C⊥BC1，因此，要AB1⊥BC1，则只要BC1⊥平面AB1C，即只要AC⊥BC1，有直三棱柱可知，只要AC⊥BC，因A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只有A1C1⊥B1C1即可.

3.假设存在，肯定顺推.就是事先假设问题所研究的对象存在或成立，然后依条件顺推，探求结论.

例3 给定双曲线x2-■=1，过点B（1，1）能否作直线L，使L与所给双曲线交于两点Q1Q2，且点B是线段Q1Q2的中点？这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由.

分析：存在性问题，一般先肯定结论存在或成立，若不存在，证明方法通常用反证法，若存在，就找出结论来，或根据有关定理予于说明.

解：设所求的直线m存在，并设斜率为k，则y-1=k（x-1），即y=kx+1-k.代入到2x2-y2-2=0中，得（2-k2）x2-2k（1-k）x-k2+2k-3=0.2-k2≠0，■=■=1，解得k=2。当k=2时，Δ=4k2（1-k）2-4（2-k2）（-k2+2k-3）=-2<0，若k存在，显然不满足条件，所以满足条件的直线m不存在.

4.否定结论，反证逆推.否定逆推就是将所研究的对象事先予于否定，即假设不存在或不成立，然后利用相关条件逆向分析推理，探求结论.

例4 已知f（x）=x2+bx+c，是否存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.

分析：当探求结论或条件从正面难以成功时，“否定逆推”是首选的解题策略.即从反面入手，逆向分析推理，从而判定结论或条件.

解：否定逆推，假设f（1），f（2），f（3）都小于■，则：

f（1）=1+b+c<■f（2）=4+2b+c<■f（3）=9+3b+c<■？圯-■

由（1）+（3）得-11<4b+2c<-9即-■<2b+c<-■ （4），显然（4）与（2）相矛盾，所以原假设不成立，故存在实数a，b，c，使得f（1），f（2），f（3）中至少有一个不小于■.

5.数形结合，等价转化.有些数学开放问题的题设所给的数或式有明显的几何意义，可以巧妙地转换思维角度，将有利用问题的解决.

例5 设x，y为实数，集合A={（x，y）|y2-x-1=0}，B={（x，y）|16x2+8x-2y+5=0|}，C={（x，y）|y=kx+b}，问是否存在自然数k，b，使（A∪B）∩C=Φ？

解析：由题设条件联系其条件所体现的几何背景，我们转换思维角度知原命题等价于是否存在自然数k，b，使直线y=kx+b与抛物线y2=x+1或y2=8x2+4x+■没有交点.由于y2=x+1，y=8x24x+■在轴上的正截距为1，■，故必有b=2，又由于y=kx+2y2=x+1无实数解，得1-■

总之，开放型数学问题由于选择范围广，覆盖知识面大，具有较强的综合性和逻辑性，对使用的解题方法也有较高的要求，因此必须要求学生自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较、概括，不但要会演绎法，也必须会归纳法，不但要掌握严密的演绎推理，也必须掌握合情推理.