如何求解变力作用下物体运动的最大速度

张松林

物体如果在一个（或几个）恒力和一个变力共同作用下运动时，在什么条件下物体将具有最大速度？最大速度怎样计算？这一类习题对学生而言是困难的，

下面结合例题进行分析和计算。

【例1】 一质量为m的小球，从高为h处，由静止开始落向一劲度系数为k的竖直放置的轻质弹簧，并将它压缩，如图1所示，小球在整个运动过程中，经过哪一点时，速度最大？最大速度是多少？

分析与解：小球接触弹簧，同时受到弹力（变力）和重力（恒力）共同作用，开始一段时间弹簧形变，产生的弹力小于小球所受重力，合外力方向仍向下，小球仍向下做加速运动。随着弹簧压缩量的增加，向下的合外力愈来愈小，小球的加速度也愈来愈小，而小球向下的速度却是愈来愈大。直至弹力等于重力的瞬间，小球所受的合外力为零，加速度为零，这时向下的速度达到最大值。接着，小球继续压缩弹簧，弹力大于重力，小球所受的合外力的方向向上，这时小球做减速运动，随着弹簧的压缩量愈来愈大，做减速运动的加速度愈来愈大，直到小球向下运动的速度减小到零。紧接着，小球又将从静止开始向上做加速运动。小球运动的速度最大时，应满足：kx0=mg （1）

取弹簧的压缩量为x0的B点所在水平面为零势面，则小球在弹簧上方h高处的A点所具有的总机械能为：EA=mg（h+x0） （2）

分析与解：子弹与A球发生完全非弹性碰撞后，一起向右运动，弹簧因被压缩而产生弹力，A球开始减速运动，B球开始加速运动；当两球速度相等时，弹簧压缩量达到最大值；接着，弹簧开始伸长，弹力继续使B加速而使A减速；当弹簧恢复到原长时，B球速度达到最大值，A球速度达到最小值；然后，弹簧又开始伸长，使A球加速，B球减速。如此反复进行……所以，两球速度达到极值的条件是弹簧的形变量为零，这时，子弹和A球跟B球的弹性碰撞结束。

【例3】 劲度系数为k的轻质弹簧，一端固定在竖直墙上，另一端系一质量为m的物体A，将A放在粗糙的水平面上，已知物体A与水平面间的滑动摩擦因数为μ，如图3所示。用外力压缩弹簧（在弹性限度内）使物体从弹簧自由伸长位置向左压缩L，撤去外力，物体向右运动，试计算当物体向右运动到什么位置时有最大速度？最大速度是多少？

分析与解：同样分析得出：并不是弹簧恢复到自由伸长时速度最大，而是当物体所受弹力和摩擦阻力相等的瞬间达到向右的最大速度。即kx=μmg （1）

因为物体运动时，受摩擦阻力作用，故只能用“动能定理”计算最大速度。endprint

物体如果在一个（或几个）恒力和一个变力共同作用下运动时，在什么条件下物体将具有最大速度？最大速度怎样计算？这一类习题对学生而言是困难的，

下面结合例题进行分析和计算。

【例1】 一质量为m的小球，从高为h处，由静止开始落向一劲度系数为k的竖直放置的轻质弹簧，并将它压缩，如图1所示，小球在整个运动过程中，经过哪一点时，速度最大？最大速度是多少？

分析与解：小球接触弹簧，同时受到弹力（变力）和重力（恒力）共同作用，开始一段时间弹簧形变，产生的弹力小于小球所受重力，合外力方向仍向下，小球仍向下做加速运动。随着弹簧压缩量的增加，向下的合外力愈来愈小，小球的加速度也愈来愈小，而小球向下的速度却是愈来愈大。直至弹力等于重力的瞬间，小球所受的合外力为零，加速度为零，这时向下的速度达到最大值。接着，小球继续压缩弹簧，弹力大于重力，小球所受的合外力的方向向上，这时小球做减速运动，随着弹簧的压缩量愈来愈大，做减速运动的加速度愈来愈大，直到小球向下运动的速度减小到零。紧接着，小球又将从静止开始向上做加速运动。小球运动的速度最大时，应满足：kx0=mg （1）

取弹簧的压缩量为x0的B点所在水平面为零势面，则小球在弹簧上方h高处的A点所具有的总机械能为：EA=mg（h+x0） （2）

分析与解：子弹与A球发生完全非弹性碰撞后，一起向右运动，弹簧因被压缩而产生弹力，A球开始减速运动，B球开始加速运动；当两球速度相等时，弹簧压缩量达到最大值；接着，弹簧开始伸长，弹力继续使B加速而使A减速；当弹簧恢复到原长时，B球速度达到最大值，A球速度达到最小值；然后，弹簧又开始伸长，使A球加速，B球减速。如此反复进行……所以，两球速度达到极值的条件是弹簧的形变量为零，这时，子弹和A球跟B球的弹性碰撞结束。

【例3】 劲度系数为k的轻质弹簧，一端固定在竖直墙上，另一端系一质量为m的物体A，将A放在粗糙的水平面上，已知物体A与水平面间的滑动摩擦因数为μ，如图3所示。用外力压缩弹簧（在弹性限度内）使物体从弹簧自由伸长位置向左压缩L，撤去外力，物体向右运动，试计算当物体向右运动到什么位置时有最大速度？最大速度是多少？

分析与解：同样分析得出：并不是弹簧恢复到自由伸长时速度最大，而是当物体所受弹力和摩擦阻力相等的瞬间达到向右的最大速度。即kx=μmg （1）

因为物体运动时，受摩擦阻力作用，故只能用“动能定理”计算最大速度。endprint

物体如果在一个（或几个）恒力和一个变力共同作用下运动时，在什么条件下物体将具有最大速度？最大速度怎样计算？这一类习题对学生而言是困难的，

下面结合例题进行分析和计算。

【例1】 一质量为m的小球，从高为h处，由静止开始落向一劲度系数为k的竖直放置的轻质弹簧，并将它压缩，如图1所示，小球在整个运动过程中，经过哪一点时，速度最大？最大速度是多少？

分析与解：小球接触弹簧，同时受到弹力（变力）和重力（恒力）共同作用，开始一段时间弹簧形变，产生的弹力小于小球所受重力，合外力方向仍向下，小球仍向下做加速运动。随着弹簧压缩量的增加，向下的合外力愈来愈小，小球的加速度也愈来愈小，而小球向下的速度却是愈来愈大。直至弹力等于重力的瞬间，小球所受的合外力为零，加速度为零，这时向下的速度达到最大值。接着，小球继续压缩弹簧，弹力大于重力，小球所受的合外力的方向向上，这时小球做减速运动，随着弹簧的压缩量愈来愈大，做减速运动的加速度愈来愈大，直到小球向下运动的速度减小到零。紧接着，小球又将从静止开始向上做加速运动。小球运动的速度最大时，应满足：kx0=mg （1）

取弹簧的压缩量为x0的B点所在水平面为零势面，则小球在弹簧上方h高处的A点所具有的总机械能为：EA=mg（h+x0） （2）

分析与解：子弹与A球发生完全非弹性碰撞后，一起向右运动，弹簧因被压缩而产生弹力，A球开始减速运动，B球开始加速运动；当两球速度相等时，弹簧压缩量达到最大值；接着，弹簧开始伸长，弹力继续使B加速而使A减速；当弹簧恢复到原长时，B球速度达到最大值，A球速度达到最小值；然后，弹簧又开始伸长，使A球加速，B球减速。如此反复进行……所以，两球速度达到极值的条件是弹簧的形变量为零，这时，子弹和A球跟B球的弹性碰撞结束。

【例3】 劲度系数为k的轻质弹簧，一端固定在竖直墙上，另一端系一质量为m的物体A，将A放在粗糙的水平面上，已知物体A与水平面间的滑动摩擦因数为μ，如图3所示。用外力压缩弹簧（在弹性限度内）使物体从弹簧自由伸长位置向左压缩L，撤去外力，物体向右运动，试计算当物体向右运动到什么位置时有最大速度？最大速度是多少？

分析与解：同样分析得出：并不是弹簧恢复到自由伸长时速度最大，而是当物体所受弹力和摩擦阻力相等的瞬间达到向右的最大速度。即kx=μmg （1）

因为物体运动时，受摩擦阻力作用，故只能用“动能定理”计算最大速度。endprint