利用旋转变换巧解中考题
2014-03-10谢子丹
谢子丹
数学中的旋转变换方面的知识（对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前后的图形全等）在解题中具有广泛应用.下面就几道中考题谈谈如何利用旋转变换解中考题.
【例1】 （2010，黑龙江齐齐哈尔）如图1，已知
△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E
在同一条直线上，AE与BD相交于点O，AE与CD相
交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下
列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE
，其中正确的结论个数为（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析与解：结合题意并仔细观察图形可知，把△BCD按逆时针方向旋转60°可得△ACE.
故△BCD与△ACE全等，
所以AE=BD.
把△BCF按逆时针方向旋转60°可得△ACG.
故△BCF与△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.
又∵∠FCG=60°.
∴△FCG为等边三角形
∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.
∵△BCD与△ACE全等.
∴C到BD的距离与C到AE的距离相等，
即∠BOC=∠COE.
综上所述，应选D.
【例2】 （2011，福建宁德）如图2，△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α
角（0°<α<90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，
【例3】 （2010，山西）如图3-1，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，CG.
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕着点D按顺时针方向旋转，使E落在BC上，如图3-2，
连接AE和CG.你认为（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
分析：（1）结合题意并仔细观察图形，把△ADE绕点D按逆时针旋转90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
（2）结合题意并仔细观察图形，把△ADE绕点D按逆时针旋转90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
解：（1）如图3-1，CG⊥AE.
∵把△ADE绕点D按逆时针旋转90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵∠EDG=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°.
∴∠DAE+∠DGC=90°，
即CG⊥AE.
（2）如图3-2，CG⊥AE，
∵把△ADE绕点D按逆时针旋转90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵AD∥BC，
∴AD和AE所夹锐角和BC和AE所夹锐角均与∠DAE相等，
而CG和BC所夹锐角的与∠DCG的余角相等.
∴CG⊥AE.
【例4】 （2012，辽宁铁岭）已知△ABC是等边三角形.
以上五道例题的分析与解都有一个共同特点：结合题意并仔细观察图形，看一看某个三角形（或某个点）经过怎样的旋转变换到另一个三角形（或另一个点），而后根据变换前后两图形的关系来寻找等量关系或位置关系以使问题得到解决，都使用了旋转变换及“数形结合的思想”.endprint
数学中的旋转变换方面的知识（对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前后的图形全等）在解题中具有广泛应用.下面就几道中考题谈谈如何利用旋转变换解中考题.
【例1】 （2010，黑龙江齐齐哈尔）如图1，已知
△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E
在同一条直线上，AE与BD相交于点O，AE与CD相
交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下
列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE
，其中正确的结论个数为（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析与解：结合题意并仔细观察图形可知，把△BCD按逆时针方向旋转60°可得△ACE.
故△BCD与△ACE全等，
所以AE=BD.
把△BCF按逆时针方向旋转60°可得△ACG.
故△BCF与△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.
又∵∠FCG=60°.
∴△FCG为等边三角形
∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.
∵△BCD与△ACE全等.
∴C到BD的距离与C到AE的距离相等，
即∠BOC=∠COE.
综上所述，应选D.
【例2】 （2011，福建宁德）如图2，△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α
角（0°<α<90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，
【例3】 （2010，山西）如图3-1，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，CG.
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕着点D按顺时针方向旋转，使E落在BC上，如图3-2，
连接AE和CG.你认为（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
分析：（1）结合题意并仔细观察图形，把△ADE绕点D按逆时针旋转90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
（2）结合题意并仔细观察图形，把△ADE绕点D按逆时针旋转90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
解：（1）如图3-1，CG⊥AE.
∵把△ADE绕点D按逆时针旋转90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵∠EDG=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°.
∴∠DAE+∠DGC=90°，
即CG⊥AE.
（2）如图3-2，CG⊥AE，
∵把△ADE绕点D按逆时针旋转90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵AD∥BC，
∴AD和AE所夹锐角和BC和AE所夹锐角均与∠DAE相等，
而CG和BC所夹锐角的与∠DCG的余角相等.
∴CG⊥AE.
【例4】 （2012，辽宁铁岭）已知△ABC是等边三角形.
以上五道例题的分析与解都有一个共同特点：结合题意并仔细观察图形，看一看某个三角形（或某个点）经过怎样的旋转变换到另一个三角形（或另一个点），而后根据变换前后两图形的关系来寻找等量关系或位置关系以使问题得到解决，都使用了旋转变换及“数形结合的思想”.endprint
数学中的旋转变换方面的知识（对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角、旋转前后的图形全等）在解题中具有广泛应用.下面就几道中考题谈谈如何利用旋转变换解中考题.
【例1】 （2010，黑龙江齐齐哈尔）如图1，已知
△ABC和△CDE均是等边三角形，点B、C、E
在同一条直线上，AE与BD相交于点O，AE与CD相
交于点G，AC与BD交于点F，连接OC、FG，则下
列结论：①AE=BD；②AG=BF；③FG∥BE；④∠BOC=∠COE
，其中正确的结论个数为（ ）.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
分析与解：结合题意并仔细观察图形可知，把△BCD按逆时针方向旋转60°可得△ACE.
故△BCD与△ACE全等，
所以AE=BD.
把△BCF按逆时针方向旋转60°可得△ACG.
故△BCF与△ACG全等，所以AG=BF，CF=CG.
又∵∠FCG=60°.
∴△FCG为等边三角形
∴∠CFG=∠ACB=60°.∴FG∥BE.
∵△BCD与△ACE全等.
∴C到BD的距离与C到AE的距离相等，
即∠BOC=∠COE.
综上所述，应选D.
【例2】 （2011，福建宁德）如图2，△ABC中，∠ACB=90°，
∠A=30°，将△ABC绕C点按逆时针方向旋转α
角（0°<α<90°）得到△DEC，设CD交AB于F，连接AD，
【例3】 （2010，山西）如图3-1，正方形ABCD的边CD在正方形DEFG的边DE上，连接AE，CG.
（1）试猜想AE与GC有怎样的位置关系，并证明你的结论；
（2）将正方形DEFG绕着点D按顺时针方向旋转，使E落在BC上，如图3-2，
连接AE和CG.你认为（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由.
分析：（1）结合题意并仔细观察图形，把△ADE绕点D按逆时针旋转90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
（2）结合题意并仔细观察图形，把△ADE绕点D按逆时针旋转90°后可得到△CDG，而CD⊥AD，DG⊥DE，故可猜想到CG⊥AE.
解：（1）如图3-1，CG⊥AE.
∵把△ADE绕点D按逆时针旋转90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵∠EDG=90°，
∴∠DCG+∠DGC=90°.
∴∠DAE+∠DGC=90°，
即CG⊥AE.
（2）如图3-2，CG⊥AE，
∵把△ADE绕点D按逆时针旋转90度后可得到△CDG，
∴△ADE≌△CDG，
∴∠DAE=∠DCG，
又∵AD∥BC，
∴AD和AE所夹锐角和BC和AE所夹锐角均与∠DAE相等，
而CG和BC所夹锐角的与∠DCG的余角相等.
∴CG⊥AE.
【例4】 （2012，辽宁铁岭）已知△ABC是等边三角形.
以上五道例题的分析与解都有一个共同特点：结合题意并仔细观察图形，看一看某个三角形（或某个点）经过怎样的旋转变换到另一个三角形（或另一个点），而后根据变换前后两图形的关系来寻找等量关系或位置关系以使问题得到解决，都使用了旋转变换及“数形结合的思想”.endprint
