一道高考选择题的多种解法及其分析

冯菊仿

2013年广东省高考理科数学第8题：设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三个条件x

一、常规方法及分析

方法一：特殊值法

因为（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，则，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以选B.

方法二：分类讨论

①若x

x

②若x>z，因为（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：穷举法

由（x，y，z）∈S可得第一组中的①x

恰有一个成立，因为第一组中的某一个不等式与第二组中的某一个不等式要同时成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④这四种配组同时成立.

当①⑤同时成立时，可得w

当①⑥同时成立时，可得x

当②④同时成立时，可得y

当③④同时成立时，可得z

综上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故选B.

以上几种方法，特殊值法适合于用字母表示的一般性结论的选择题，而且每个选项的结果唯一，根据“一般”包含“特殊”的思想，取适合的数字代入检验，即可得到正确的选项.方法二是典型的含有字母分类讨论的问题，（y，z，w）和（x，y，w）这两组数组中的字母，只有z和x不同，只要对这两个字母的大小分类讨论，其他字母的大小自然就确定了，但这种分类讨论的标准非常隐蔽，要找到实属不易.方法三是两组不等式一一配组，找出所有符合条件的不等式组，再逐个分析，得到结论.相对于一道选择题来讲，短时间内完成，难度很大.

二、新方法探求，构造有序数组

我们知道，任何一个不等关系都可以用数轴上点的位置来刻画，由集合S的元素满足“三个条件x

如图1，一条封闭的有向曲线，不妨取方向为顺时针.

集合X的n个自然数按顺时针方向依次排列在该曲线上，任意一个有序数组（x，y，z）中的x，y，z只要按顺时针方向依次取曲线上排列的自然数，不论它们取何值，①x

因为（x，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圆周上的排列如图1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）这两个有序数组中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按顺时针排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故选B.

该方法轻巧灵活，它抓住三个不等式所构成的循环链所蕴含的图形特征，即封闭曲线上按照一定顺序排列的一列数，按照该顺序任意取三个数，它们的大小关系一定恰好满足三个不等式的一个，这样集合S中元素的属性本应是三个不定量的大小关系，通过数形结合，就转化为三个点在封闭曲线上的位置关系，形象直观，避免了繁琐的字母讨论，符合选择题的特点.

该题虽小，但蕴含的数学思想和数学方法十分丰富，很好地考查了学生抽象思维、形象思维的能力和创新意识，堪称2013年广东高考理科数学题中一道靓丽的风景线.

2013年广东省高考理科数学第8题：设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三个条件x

一、常规方法及分析

方法一：特殊值法

因为（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，则，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以选B.

方法二：分类讨论

①若x

x

②若x>z，因为（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：穷举法

由（x，y，z）∈S可得第一组中的①x

恰有一个成立，因为第一组中的某一个不等式与第二组中的某一个不等式要同时成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④这四种配组同时成立.

当①⑤同时成立时，可得w

当①⑥同时成立时，可得x

当②④同时成立时，可得y

当③④同时成立时，可得z

综上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故选B.

以上几种方法，特殊值法适合于用字母表示的一般性结论的选择题，而且每个选项的结果唯一，根据“一般”包含“特殊”的思想，取适合的数字代入检验，即可得到正确的选项.方法二是典型的含有字母分类讨论的问题，（y，z，w）和（x，y，w）这两组数组中的字母，只有z和x不同，只要对这两个字母的大小分类讨论，其他字母的大小自然就确定了，但这种分类讨论的标准非常隐蔽，要找到实属不易.方法三是两组不等式一一配组，找出所有符合条件的不等式组，再逐个分析，得到结论.相对于一道选择题来讲，短时间内完成，难度很大.

二、新方法探求，构造有序数组

我们知道，任何一个不等关系都可以用数轴上点的位置来刻画，由集合S的元素满足“三个条件x

如图1，一条封闭的有向曲线，不妨取方向为顺时针.

集合X的n个自然数按顺时针方向依次排列在该曲线上，任意一个有序数组（x，y，z）中的x，y，z只要按顺时针方向依次取曲线上排列的自然数，不论它们取何值，①x

因为（x，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圆周上的排列如图1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）这两个有序数组中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按顺时针排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故选B.

该方法轻巧灵活，它抓住三个不等式所构成的循环链所蕴含的图形特征，即封闭曲线上按照一定顺序排列的一列数，按照该顺序任意取三个数，它们的大小关系一定恰好满足三个不等式的一个，这样集合S中元素的属性本应是三个不定量的大小关系，通过数形结合，就转化为三个点在封闭曲线上的位置关系，形象直观，避免了繁琐的字母讨论，符合选择题的特点.

该题虽小，但蕴含的数学思想和数学方法十分丰富，很好地考查了学生抽象思维、形象思维的能力和创新意识，堪称2013年广东高考理科数学题中一道靓丽的风景线.

2013年广东省高考理科数学第8题：设整数n≥4，集合X={1，2，3，…，n}.令集合S={（x，y，z）|x，y，z∈X，且三个条件x

一、常规方法及分析

方法一：特殊值法

因为（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以不妨取x=3，y=4，z=5，w=1，则，（y，z，w）=（4，5，1）∈S，（x，y，w）=（3，4，1）∈S，所以选B.

方法二：分类讨论

①若x

x

②若x>z，因为（x，y，z）∈S，（z，w，x）∈S，所以z

所以w

方法三：穷举法

由（x，y，z）∈S可得第一组中的①x

恰有一个成立，因为第一组中的某一个不等式与第二组中的某一个不等式要同时成立，所以只有①⑤或①⑥或②④或③④这四种配组同时成立.

当①⑤同时成立时，可得w

当①⑥同时成立时，可得x

当②④同时成立时，可得y

当③④同时成立时，可得z

综上，（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故选B.

以上几种方法，特殊值法适合于用字母表示的一般性结论的选择题，而且每个选项的结果唯一，根据“一般”包含“特殊”的思想，取适合的数字代入检验，即可得到正确的选项.方法二是典型的含有字母分类讨论的问题，（y，z，w）和（x，y，w）这两组数组中的字母，只有z和x不同，只要对这两个字母的大小分类讨论，其他字母的大小自然就确定了，但这种分类讨论的标准非常隐蔽，要找到实属不易.方法三是两组不等式一一配组，找出所有符合条件的不等式组，再逐个分析，得到结论.相对于一道选择题来讲，短时间内完成，难度很大.

二、新方法探求，构造有序数组

我们知道，任何一个不等关系都可以用数轴上点的位置来刻画，由集合S的元素满足“三个条件x

如图1，一条封闭的有向曲线，不妨取方向为顺时针.

集合X的n个自然数按顺时针方向依次排列在该曲线上，任意一个有序数组（x，y，z）中的x，y，z只要按顺时针方向依次取曲线上排列的自然数，不论它们取何值，①x

因为（x，y，z）∈S且（z，w，x）∈S，所以x，y，z，w在圆周上的排列如图1所示，那么（y，z，w）和（x，y，w）这两个有序数组中的y，z，w和x，y，w很容易看出都是按顺时针排列的，即（y，z，w）∈S，（x，y，w）∈S，故选B.

该方法轻巧灵活，它抓住三个不等式所构成的循环链所蕴含的图形特征，即封闭曲线上按照一定顺序排列的一列数，按照该顺序任意取三个数，它们的大小关系一定恰好满足三个不等式的一个，这样集合S中元素的属性本应是三个不定量的大小关系，通过数形结合，就转化为三个点在封闭曲线上的位置关系，形象直观，避免了繁琐的字母讨论，符合选择题的特点.

该题虽小，但蕴含的数学思想和数学方法十分丰富，很好地考查了学生抽象思维、形象思维的能力和创新意识，堪称2013年广东高考理科数学题中一道靓丽的风景线.