分类讨论的时机与场合

王健

分类讨论的时机

例1 函数y=elnx-x-1的图象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.综上可知选D.

例1是高考常见的绝对值复合函数问题，我们要对自变量进行分类讨论，去掉绝对值号才能进行求解.

从例1可以看出，解题中如果碰到不确定因素的困扰而做不下去了，往往就是要分类讨论的时候了.

分类讨论的常见场合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分类情形的场合

同绝对值一样，有些数学概念、公式和定理本身就包含了分类的情形，比如：等比数列的前n项和公式要按q=1与q≠1分类；函数单调性的定义是按函数值变化与自变量变化是否一致分类；指数函数、对数函数的定义和性质按底数进行分类；直线的点斜式方程按斜率存在不存在分类；圆锥曲线方程按焦点所在位置分类，等等.

遇到概念、公式和定理是分类定义的场合，一定要注意明确条件，合理进行分类讨论.

（2） 字母参数不确定的场合

以字母或参数为载体，使数学问题模糊化，是高考中考查分类讨论数学思想最常见的命题方式.

例2 [2013年高考数学浙江卷（文科）第21题] 已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在闭区间[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①当a>1时，2a=2a>2，所以当x∈（0，1）∪（a，2a）时， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函数 f（x）递增；当x∈（1，a）时，f′（x）<0，函数f（x）递减.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因为f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以当13时，f（a）

②当a<-1时，2a=-2a>2，所以当x∈（0，1）时， f′（x）<0，函数 f（x）递减；当x∈（1，-2a）时， f′（x）>0，函数 f（x）递增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

综上所述：当a<-1时，f（x）min=3a-1；当13时，f（x）min=a2（3-a）.

点评： 首先，例2中的字母变量a影响了函数f（x）的单调性；其次，当a>1时，a又影响了f（a）与f（0）的大小比较，因而需要进行两次分类讨论.

（3） 图形位置变化的场合

在几何问题中，有些图形的位置是变化的、不确定的，如果不作全面考虑分类讨论，往往会遗漏致错.

例3 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆O的距离与到定点A的距离相等的点P的轨迹不可能是

（A） 圆 （B） 椭圆

（C） 双曲线的一支 （D） 直线

解析： 定点A与圆O的位置关系不确定，所以需进行分类讨论.

如图1所示，当点A在圆外时，联结圆心O与点P，线段OP交圆O于点M，由题意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r为圆O的半径）且r

如图2所示，当点A在圆周上时，点P的轨迹只能为射线OA.

如图3所示，当点A在圆内且不为圆心时，联结圆心O与点P，延长线段OP交圆O于点M，由题意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定义可知点P的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.

如图4所示，当点A为圆心时，点P的轨迹显然是以O为圆心、半径为的圆.故选D.

点评： 以上分类是由点A和圆O的位置关系不确定引起的.诸如这样由图形的位置或形状变化导致的分类讨论还有：二次函数对称轴位置引发的关于最值的讨论；角的终边位置引起的三角函数值的讨论；立体几何图形中点或线与面的位置关系（如位于面的同侧或异侧）引发的讨论，等等.

（4） 问题情景描述模糊的场合

例4 [2013年高考数学辽宁卷（理科）第9题] 已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO为直角三角形，则必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想获得a，b之间的数量关系，就要从△ABO为直角三角形着手，利用直角三角形三边关系求解.因为题中并未说明△ABO三个角中哪一个是直角，所以需进行分类讨论.

若角O为直角，因为点A的坐标为（0，b），所以点B必在x轴上，a3=0，得a=0，此时A，B，O三点不能构成三角形；

若角A为直角，则b=a3；

若角B为直角，则KOB·KAB=·=-1，化简得b-a3-=0.综上可知选C.

点评：有些高考题对题目条件作了模糊处理，如题目中提及等腰三角形，但没有明确哪个是底哪个是腰，这时就要在三角形三边关系的前提下分类讨论.在例4中，只有注意到题目直角的不确定性，并对其进行分类讨论，才能正确解答问题.

（5） 排列组合问题条件复杂的场合

例5 [2013年高考数学浙江卷（理科）第14题] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析： 按字母C的具体位置分类求解：

第一类，字母C在左边第一个位置，有种排法；

第二类，字母C在左边第二个位置，有种排法；

第三类，字母C在左边第三个位置，有+种排法；

由对称性可知共有2×（+++）=480种排法.

点评： 排列组合问题中经常包含多个限制条件，很难直接解答.而利用分类讨论思想，将其转化为一个个小问题，使排列组合情况具体化清晰化，问题就变得容易解决.

【练一练】

设a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【参考答案】

解： 如图5所示，当x≤0时，y=-x2+2x；当0

当y=-1时，x=1或x=1-.由图5可得，当a≤1-或1≤a<2时，ymin=（a-2）a；当1-

分类讨论的时机

例1 函数y=elnx-x-1的图象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.综上可知选D.

例1是高考常见的绝对值复合函数问题，我们要对自变量进行分类讨论，去掉绝对值号才能进行求解.

从例1可以看出，解题中如果碰到不确定因素的困扰而做不下去了，往往就是要分类讨论的时候了.

分类讨论的常见场合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分类情形的场合

同绝对值一样，有些数学概念、公式和定理本身就包含了分类的情形，比如：等比数列的前n项和公式要按q=1与q≠1分类；函数单调性的定义是按函数值变化与自变量变化是否一致分类；指数函数、对数函数的定义和性质按底数进行分类；直线的点斜式方程按斜率存在不存在分类；圆锥曲线方程按焦点所在位置分类，等等.

遇到概念、公式和定理是分类定义的场合，一定要注意明确条件，合理进行分类讨论.

（2） 字母参数不确定的场合

以字母或参数为载体，使数学问题模糊化，是高考中考查分类讨论数学思想最常见的命题方式.

例2 [2013年高考数学浙江卷（文科）第21题] 已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在闭区间[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①当a>1时，2a=2a>2，所以当x∈（0，1）∪（a，2a）时， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函数 f（x）递增；当x∈（1，a）时，f′（x）<0，函数f（x）递减.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因为f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以当13时，f（a）

②当a<-1时，2a=-2a>2，所以当x∈（0，1）时， f′（x）<0，函数 f（x）递减；当x∈（1，-2a）时， f′（x）>0，函数 f（x）递增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

综上所述：当a<-1时，f（x）min=3a-1；当13时，f（x）min=a2（3-a）.

点评： 首先，例2中的字母变量a影响了函数f（x）的单调性；其次，当a>1时，a又影响了f（a）与f（0）的大小比较，因而需要进行两次分类讨论.

（3） 图形位置变化的场合

在几何问题中，有些图形的位置是变化的、不确定的，如果不作全面考虑分类讨论，往往会遗漏致错.

例3 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆O的距离与到定点A的距离相等的点P的轨迹不可能是

（A） 圆 （B） 椭圆

（C） 双曲线的一支 （D） 直线

解析： 定点A与圆O的位置关系不确定，所以需进行分类讨论.

如图1所示，当点A在圆外时，联结圆心O与点P，线段OP交圆O于点M，由题意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r为圆O的半径）且r

如图2所示，当点A在圆周上时，点P的轨迹只能为射线OA.

如图3所示，当点A在圆内且不为圆心时，联结圆心O与点P，延长线段OP交圆O于点M，由题意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定义可知点P的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.

如图4所示，当点A为圆心时，点P的轨迹显然是以O为圆心、半径为的圆.故选D.

点评： 以上分类是由点A和圆O的位置关系不确定引起的.诸如这样由图形的位置或形状变化导致的分类讨论还有：二次函数对称轴位置引发的关于最值的讨论；角的终边位置引起的三角函数值的讨论；立体几何图形中点或线与面的位置关系（如位于面的同侧或异侧）引发的讨论，等等.

（4） 问题情景描述模糊的场合

例4 [2013年高考数学辽宁卷（理科）第9题] 已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO为直角三角形，则必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想获得a，b之间的数量关系，就要从△ABO为直角三角形着手，利用直角三角形三边关系求解.因为题中并未说明△ABO三个角中哪一个是直角，所以需进行分类讨论.

若角O为直角，因为点A的坐标为（0，b），所以点B必在x轴上，a3=0，得a=0，此时A，B，O三点不能构成三角形；

若角A为直角，则b=a3；

若角B为直角，则KOB·KAB=·=-1，化简得b-a3-=0.综上可知选C.

点评：有些高考题对题目条件作了模糊处理，如题目中提及等腰三角形，但没有明确哪个是底哪个是腰，这时就要在三角形三边关系的前提下分类讨论.在例4中，只有注意到题目直角的不确定性，并对其进行分类讨论，才能正确解答问题.

（5） 排列组合问题条件复杂的场合

例5 [2013年高考数学浙江卷（理科）第14题] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析： 按字母C的具体位置分类求解：

第一类，字母C在左边第一个位置，有种排法；

第二类，字母C在左边第二个位置，有种排法；

第三类，字母C在左边第三个位置，有+种排法；

由对称性可知共有2×（+++）=480种排法.

点评： 排列组合问题中经常包含多个限制条件，很难直接解答.而利用分类讨论思想，将其转化为一个个小问题，使排列组合情况具体化清晰化，问题就变得容易解决.

【练一练】

设a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【参考答案】

解： 如图5所示，当x≤0时，y=-x2+2x；当0

当y=-1时，x=1或x=1-.由图5可得，当a≤1-或1≤a<2时，ymin=（a-2）a；当1-

分类讨论的时机

例1 函数y=elnx-x-1的图象大致是

解析： y=elnx-x-1=x-x+1，x≥1；-1+x，02-1=1，所以y>1在x∈（0，1）上恒成立.综上可知选D.

例1是高考常见的绝对值复合函数问题，我们要对自变量进行分类讨论，去掉绝对值号才能进行求解.

从例1可以看出，解题中如果碰到不确定因素的困扰而做不下去了，往往就是要分类讨论的时候了.

分类讨论的常见场合

（1） 概念、公式和定理本身就包含分类情形的场合

同绝对值一样，有些数学概念、公式和定理本身就包含了分类的情形，比如：等比数列的前n项和公式要按q=1与q≠1分类；函数单调性的定义是按函数值变化与自变量变化是否一致分类；指数函数、对数函数的定义和性质按底数进行分类；直线的点斜式方程按斜率存在不存在分类；圆锥曲线方程按焦点所在位置分类，等等.

遇到概念、公式和定理是分类定义的场合，一定要注意明确条件，合理进行分类讨论.

（2） 字母参数不确定的场合

以字母或参数为载体，使数学问题模糊化，是高考中考查分类讨论数学思想最常见的命题方式.

例2 [2013年高考数学浙江卷（文科）第21题] 已知a∈R，函数f（x）=2x3-3（a+1）x2+6ax，若a>1，求f（x）在闭区间[0，2a]上的最小值.

解析： f′（x）=6x2-6（a+1）x+6a=6[x2-（a+1）x+a]=6（x-1）（x-a）.

①当a>1时，2a=2a>2，所以当x∈（0，1）∪（a，2a）时， f′（x）=6（x-1）（x-a）>0，函数 f（x）递增；当x∈（1，a）时，f′（x）<0，函数f（x）递减.所以f（x）min=min{f（a），f（0）}.

因为f（a）-f（0）=3a2-a3=a2（3-a），所以当13时，f（a）

②当a<-1时，2a=-2a>2，所以当x∈（0，1）时， f′（x）<0，函数 f（x）递减；当x∈（1，-2a）时， f′（x）>0，函数 f（x）递增.所以f（x）min=f（1）=3a-1.

综上所述：当a<-1时，f（x）min=3a-1；当13时，f（x）min=a2（3-a）.

点评： 首先，例2中的字母变量a影响了函数f（x）的单调性；其次，当a>1时，a又影响了f（a）与f（0）的大小比较，因而需要进行两次分类讨论.

（3） 图形位置变化的场合

在几何问题中，有些图形的位置是变化的、不确定的，如果不作全面考虑分类讨论，往往会遗漏致错.

例3 点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆O的距离与到定点A的距离相等的点P的轨迹不可能是

（A） 圆 （B） 椭圆

（C） 双曲线的一支 （D） 直线

解析： 定点A与圆O的位置关系不确定，所以需进行分类讨论.

如图1所示，当点A在圆外时，联结圆心O与点P，线段OP交圆O于点M，由题意可知PA=PM，PO-PA=PO-PM=r （r为圆O的半径）且r

如图2所示，当点A在圆周上时，点P的轨迹只能为射线OA.

如图3所示，当点A在圆内且不为圆心时，联结圆心O与点P，延长线段OP交圆O于点M，由题意可知 PA=PM，PO+PA=PO+PM=r且r>OA，由定义可知点P的轨迹是以O，A为焦点的椭圆.

如图4所示，当点A为圆心时，点P的轨迹显然是以O为圆心、半径为的圆.故选D.

点评： 以上分类是由点A和圆O的位置关系不确定引起的.诸如这样由图形的位置或形状变化导致的分类讨论还有：二次函数对称轴位置引发的关于最值的讨论；角的终边位置引起的三角函数值的讨论；立体几何图形中点或线与面的位置关系（如位于面的同侧或异侧）引发的讨论，等等.

（4） 问题情景描述模糊的场合

例4 [2013年高考数学辽宁卷（理科）第9题] 已知点O（0，0），A（0，b），B（a，a3）.若△ABO为直角三角形，则必有

（A） b=a3 （B） b=a3+

（C） （b-a3）b-a3-=0 （D） b-a3+b-a3-=0

解析： 要想获得a，b之间的数量关系，就要从△ABO为直角三角形着手，利用直角三角形三边关系求解.因为题中并未说明△ABO三个角中哪一个是直角，所以需进行分类讨论.

若角O为直角，因为点A的坐标为（0，b），所以点B必在x轴上，a3=0，得a=0，此时A，B，O三点不能构成三角形；

若角A为直角，则b=a3；

若角B为直角，则KOB·KAB=·=-1，化简得b-a3-=0.综上可知选C.

点评：有些高考题对题目条件作了模糊处理，如题目中提及等腰三角形，但没有明确哪个是底哪个是腰，这时就要在三角形三边关系的前提下分类讨论.在例4中，只有注意到题目直角的不确定性，并对其进行分类讨论，才能正确解答问题.

（5） 排列组合问题条件复杂的场合

例5 [2013年高考数学浙江卷（理科）第14题] 将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有 种（用数字作答）.

解析： 按字母C的具体位置分类求解：

第一类，字母C在左边第一个位置，有种排法；

第二类，字母C在左边第二个位置，有种排法；

第三类，字母C在左边第三个位置，有+种排法；

由对称性可知共有2×（+++）=480种排法.

点评： 排列组合问题中经常包含多个限制条件，很难直接解答.而利用分类讨论思想，将其转化为一个个小问题，使排列组合情况具体化清晰化，问题就变得容易解决.

【练一练】

设a≤2，求y=（x-2）x在[a，2]上的最大值和最小值.

【参考答案】

解： 如图5所示，当x≤0时，y=-x2+2x；当0

当y=-1时，x=1或x=1-.由图5可得，当a≤1-或1≤a<2时，ymin=（a-2）a；当1-