一元非线性回归方程系数的通解

□ 别必鑫魏世丽

（1.武汉市洪山区房管局测绘队，湖北武汉430070；

2.太原理工大学测绘科学与技术系，山西太原030024）

一元非线性回归方程系数的通解

□ 别必鑫1魏世丽2

（1.武汉市洪山区房管局测绘队，湖北武汉430070；

2.太原理工大学测绘科学与技术系，山西太原030024）

一元非线性回归是一种应用很广泛的统计分析方法，其基本处理方法是通过数学变换，以直接观测值的函数作为因变量，将非线性模型转换成线性模型，然后用最小二乘法（LS法）计算回归系数。本文讨论了一元非线性回归模型的通解，并以九种相对常见的一元非线性模型为例，给出了它们回归系数解的具体表达式。

一元非线性回归；回归系数；通解

0.引言

回归分析作为一种最基础、最重要的统计分析方法,在众多学科领域包括测绘[1]领域得到了重要而广泛的应用。在建立实验模型和理论模型的检验系统中，回归分析起着不可或缺的作用。在统计学中，回归分析包括进行建模和分析几个变量的任何技术，其焦点在于一个因变量和一个或多个自变量之间的关系。根据自变量和因变量之间的关系类型，回归分析可以分为线性回归模型和非线性回归模型[2]。在实践中，一些简单实用的非线性模型应用很广泛[3-4]。相对常见的非线性模型包括指数模型、幂指数模型、正态分布模型、增长模型和双曲线模型等。一元非线性回归的常用处理方法是通过数学变换，以直接观测值的函数作为因变量，将非线性模型转换成线性模型，然后用最小二乘法（LS法）计算回归系数[5-6]。本文探讨了一元非线性回归方程系数的通解，并以指数函数等九种相对常见的一元非线性回归方程为例，给出了它们回归系数解的具体表达式。

1.一元线性回归方程的通解

设线性回归方程的一般形式

数学模型是

由最小二乘法得线性回归的法方程

式（4）和式（5）是线性回归方程式（1）的回归系数解的一般形式。根据线性回归方程的一般形式，可直接写出不同回归模型的一元线性回归和可转换成一元线性回归的非线性回归的解。

2．常用一元非线性回归方程的解

一元非线性回归模型线性化处理的基本方法是通过数学变换，以直接观测值的函数作为因变量，所得到的改正数是观测值函数的改正数。这也是将一元非线性回归转换成一元线性回归的一种常用方法。几个相对常见的非线性回归模型如下：

2.1 指数函数

数学模型为

2.2 幂函数

数学模型为

2.3 正态分布函数

数学模型为

2.4 生长函数（逻辑函数）

数学模型为

数学模型为

2.6 生长曲线函数

回归方程为

数学模型为

2.7 复合曲线函数

数学模型为

2.8 S形曲线函数

数学模型为

比较式（20）和式（2），用1

2.9 Logistic曲线函数

数学模型为

3.结论

回归分析分为线性回归和非线性回归两种不同的模型。在实践中，一些简单实用的非线性回归模型应用很广泛。一元非线性回归的基本处理方法是通过数学变换，以直接观测值的函数作为因变量，将非线性模型转换成线性模型，然后用最小二乘法（LS法）计算回归系数。本文探讨了一元非线性回归方程系数的通解，并以指数函数等九种相对常见的一元非线性回归方程为例，给出了它们回归系数解的具体表达式，为非线性回归分析在测绘等领域方面的应用提供了参考依据。需注意的是，并非所有的非线性模型都可转化为线性模型，对于无法直接线性化的非线性回归模型的处 理，今后仍需进一步探讨。

【1】郝刚,于启升.稳健统计方法在老采空区沉降数据处理中的应用[J].现代矿业,2010,2（2）:76-78.

【2】谢宇,回归分析[M].北京:社会科学文献出版社,2010.

【3】Lemonte,A.Local power of some tests in exponential family nonlinear models[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2011,141:1981-1989.

【4】Primeau,F.On the variability of the exponent in the power law depth dependence of POC flux estimated from sediment traps[J].Deep Sea Research Part I,2006,53:1335-1343.

【5】韩兆洲,汪建华.线性化最小二乘法的理论分析[J].统计与决策,2009,（10）:29-30.

【6】Cizek,P.Least trimmed squares in nonlinear regression under dependence[J].Journal of Statistical Planning and Inference,2006,136:3967-3988.

O241.7

A

2095-7319（2014）06-0055-05

别必鑫（1963—），男，高级工程师，武汉市洪山区房管局测绘队，毕业于武汉大学测绘学院，主要从事工程测量工作和房产测绘工作。