类幂等矩阵及其若干性质的研究

申士海,冀 珂,董肖凯,秦 波,赵 良

(安徽工业大学数理学院，安徽马鞍山243032)

幂等矩阵是矩阵理论中非常重要的一类矩阵[1]，近年来取得较丰硕的研究成果。Tian等人给出幂等矩阵的差和积的若干秩的等式[2]，Baksalary等人研究幂等矩阵的乘积是幂等矩阵的条件，得到幂等矩阵的线性组合的一些刻画[3]，Özdemir与Song等人对幂等矩阵线性组合和Boolean代数上幂等矩阵进行了进一步研究[4-5]。幂等矩阵具有多种推广形式，陈梅香等人研究数域上(m,l)幂等矩阵的l次方幂的代数等价和多项式相等的关系[6]。陈孝娟和张锦等人研究斜幂等矩阵，给出斜幂等矩阵秩的一些等式[7]。吴炎还进一步研究了局部环上幂等矩阵线性组合广义逆之间的关系[8]。基于以上研究结果，本文定义并研究幂等矩阵的一种新的推广形式，所得结果将推广幂等矩阵的秩、幂等矩阵的特征值以及幂等矩阵的对角化等相应结果。

设矩阵A，B∊Pn×n(Pn×n是数域P上n×n矩阵的集合)，若矩阵A满足A2=BA，则称A是关于B的类幂等矩阵，简称A为B-类幂等矩阵。显然，当矩阵B为单位矩阵En时，就是通常的幂等矩阵。文中，En表示n阶单位矩阵，O表示零矩阵，r(A)表示矩阵A的秩，detA表示 A的行列式（记作detA=||A），diag[a1，a2，…，ar]表示由 a1，a2，…，ar形成的对角阵，diag[J1，J2，…，Jr]表示由 J1，J2，…，Jr形成的准对角阵，Pn×n是数域P上n×n矩阵的集合。

1 类幂等矩阵的性质

定理1 若A是B-类幂等矩阵，则对于任意的可逆矩阵P，P-1AP是P-1BP-类幂等矩阵。

定理2 对任给的一个非零复矩阵B，总存在非零复矩阵A使得A2=BA，其中A≠B。

证明 因为矩阵B是复矩阵，从而存在可逆矩阵P使得P-1BP=B0为若尔当形矩阵，记B0=diag[J1，J2，…，Jr]。若矩阵 B 可对角化且有唯一的一重非零特征值 λ，则 B0=diag[λ，0，…，0]，只需取，其中a12，a13，…，a1n不全为零。令 A=PA0P-1，显然有 A≠B且 A≠O，此时 A2=BA即可。否则取 A0=diag[S1，S2，…，Sr]，其中Si是Ji的任意阶若尔当子块，Si不全为O且Si不全等于Ji，显然A0≠B且 A0≠O。令 A=PA0P-1，所以A≠B且A≠O，且有

另一方面，由于

从而A2=BA。综上可知，对任给的一个非零复矩阵B，总存在非零复矩阵A使得A2=BA，其中A≠B。

推论1在复数域中，任意一个矩阵均可分解为两个类幂等矩阵之和。

定理3 若A为B-类幂等矩阵，则r(B)≤r(A)+r(B-A)≤n；特别地，如果矩阵B可逆，则

证明 因A2=BA，所以( )B-A A=O，由矩阵秩的不等式显然。

定理4 设A是B-类幂等矩阵(A，B∊Cn×n，C为复数域)，且B可逆，记 A0为与 A所相似的若尔当形矩阵，形式为diag[A1，A2，…，Ar]，则 A1，A2，…，Ar中不会含有2阶或2阶以上的零若尔当块（即对角线元素为0的若尔当块）。

证明 对任意的复矩阵A，存在可逆矩阵P使得P-1AP=A0为若尔当形矩阵，即A=PA0P-1，进而有又因为A2=BA，所以，即

推论2 若A是B-类幂等矩阵且B可逆，则A的秩等于A的非零特征值的个数（重根按重数计算）。

定理5 A是B-类幂等矩阵(A，B∊Cn×n)，且B可逆，则若矩阵B可对角化，A一定可对角化。

证明 由定理4知，若A仅含有唯一的特征值0，即A0所含的若尔当块全为零若尔当块，则A可对角化。若矩阵A含有非零的特征值，假设此时A不可对角化，由定理4可知一定存在某个非零的特征值λ在A的若尔当矩阵中形式为Js(s≤r)，且Js为2阶或2阶以上的可逆的若尔当块。对复矩阵A，一定存在可逆矩阵 P 使得 A0=P-1AP=diag[J1，J2，…，Jr]。所以有令C=P-1BP，可得

由于矩阵C中含有若尔当块Css，故C不可对角化。另一方面，由C=P-1BP和B可对角化可得C可对角化，矛盾。故A可对角化，所以若A是关于B的类幂等矩阵且B可逆，则由B可对角化可得A可对角化。推论3幂等矩阵一定可对角化。

定理6 若 A为B-类幂等矩阵，其中 A，B∊Cn×n，则 A的非零特征值全部为B的特征值，且若λ(λ≠0)是 A的r(r＞0)重特征值，则λ也至少是B的r重特征值。

证明 若 λ是 A的一非零特征值，则存在非零向量 α 使得 Aα=λα 。故 A2α=A·λα=λ·λα=BAα=B(Aα)=B(λα)。即存在非零向量λα使得B(λα)=λ·λα，故A的非零特征值全部为B的特征值。对复矩阵 A而言，一定存在可逆矩阵 P使得为若尔当形矩阵，A′的形式为diag[J1，J2，…，Js]，其中J1，J2，…Jr，…，Js为若尔当块。可将 J1，J2，…Jr，…，Js分为对角线元素为零的若尔当块和对角线元素为非零的若尔当块。记A0=diag[J的一个排列为对角线元素非零的若尔当块，为对角线为零的若尔当块。显然A′和A0相似，即存在可逆矩阵A使得A0=Q-1A′Q=(PQ)-1A(PQ)。令T=PQ，则A0=T-1AT，所以A=TA0T-1。记，显然 Ar可逆。因为 A2=BA，所以，故

推论4 A是B-类幂等矩阵，则A的非零特征值的个数不大于B的非零特征值的个数。

推论5 若A是幂等矩阵，即A2=A，则A的特征值只能为0和1。

推论6 A是B-类幂等矩阵，若B是正定矩阵，则A是半正定矩阵；若B是负定矩阵，则A半负定矩阵。

定理7 若 A是 B-类幂等矩阵(A，B∊Cn×n)，且B可逆，则 A+kB(k≠0且k≠-1)可逆，且|A+kB|=(k+1)r·kn-r·|B|，其中r=r(A)。

又因为|B|=|Ar|·|C4|，所以有| A+kB|=(k+1)r·kn-r·|B|(k≠0且k≠-1)。

[1]Horn RA,Johnson C R.MatrixAnalysis[M].London:Cambridge University Press,1985.

[2]Tian Y,Styan G P H.Rank equalities for idempotent and involutary matrices[J].LinearAlgebraAppl,2001,335:101-117.

[3]Baksalary J K,Baksalary O M.Idempotency of linear combinations of two idempotent matrices[J].Linear Algebra Appl,2000,321:3-7.

[4]Özdemir H,ÖzbanAY.On idempotency of linear combinations of idempotent matrices[J].Appl Math Comput,2004,159:439-448.

[5]Song S Z,Kang K T,Beasley LB.Idempotent matrix preservers over Boolean algebras[J].J Korean Math Soc,2007,44(1):169-178.

[6]陈梅香,林维,杨忠鹏.(m,l)幂等矩阵的代数等价与正交的一些性质[J].数学研究，2012,45(1):58-65.

[7]陈孝娟,张锦,郭文彬.关于斜幂等矩阵的一些秩的等式[J].聊城大学学报：自然科学版,2007,20(4):21-25.

[8]吴炎.局部环上幂等矩阵线性组合广义逆之间的关系[J].纯粹数学与应用数学，2012,28(2):155-166.