铝合金板式节点初始刚度

郭小农，熊 哲，罗永峰，徐 晗

（1.同济大学土木工程学院，上海200092；2.中天建设集团浙江钢构有限公司，浙江杭州310008）

铝合金板式节点是铝合金单层网壳主要节点形式之一［1］.我国《空间网格结构技术规程》（JGJ7---2010）［2］规定，在进行空间结构的分析和设计时应将节点简化为铰接或者刚接.然而，研究表明铝合金板式节点具有半刚性特征，其半刚性性能对结构承载力有重大的影响［3］.曾银枝等［4］通过铝合金单层网壳试验研究和数值模拟指出需考虑节点的半刚性来提高计算精度.邹磊［5］对铝合金板式节点进行数值模拟，指出铝合金板式节点是一种典型的半刚性节点.张竟乐等［6］对铝合金板式节点的初始轴向刚度和弯曲刚度进行分析，提出节点刚度计算公式.然而，目前对铝合金板式节点的研究不够深入，大部分研究仅局限于数值模拟，刚度计算公式缺乏明确的物理意义，更缺乏试验数据支持，因此有必要对铝合金板式节点刚度进行深入研究，为铝合金板式节点的设计提供参考.

本文在铝合金板式节点的抗弯性能试验研究［7］的基础上对铝合金板式节点的变形机理进行分析，提出节点初始弯曲刚度的理论公式；建立有限元模型，并与试验结果进行比较，验证有限元模型的可靠性；以节点板厚度、杆件截面高度、螺栓数量及节点板半径为参数对铝合金板式节点初始弯曲刚度进行分析；最后将理论结果与试验结果和有限元结果进行比较，验证理论公式的合理性.

1 节点平面外初始弯曲刚度理论分析

1.1 节点平面外受弯变形机理

节点在杆端平面外弯矩作用下的变形可以分解为3个分量，即节点板中心区域（见图1，图中d为圆板直径）变形、节点板与杆件之间的相对错动变形以及杆件自身变形，如图2所示，图中My为杆端弯矩，h为杆件的截面高度，Rc为杆件端部至节点板中心距离，R为圆板半径，φ1为节点板中心区边缘截面变形引起的转角，φ2为节点板与杆件之间的相对错动变形引起的转角.

图1 节点板分区Fig.1 Division of the plate

图2 受弯板式节点的局部变形Fig.2 Local deformation of the gusset joint subjected to bending moment

记由节点板中心区域变形产生的转动刚度分量为K1，由节点板与杆件错动变形产生的转动刚度分量为K2，由杆件自身变形产生的转动刚度分量为K3，则节点板边缘相对于节点中心的相对转动刚度K可表示为

1.2 转动刚度分量K1的确定

节点板中心区边缘截面的相对变形δ1如图3所示，可近似由式（2）计算.

式中：ε1为节点板中心区沿节点板径向的等效应变；Q为由弯矩引起的节点板螺栓群剪力，可按式（3）计算；α1Rct为节点板承受薄膜力的等效截面积，α1为等效截面系数，可根据数值分析结果拟合得到，t为节点板厚度，Ep为节点板的弹性模量.节点板中心受到的螺栓群剪力如图4所示.

图3 节点板中心域变形Fig.3 Deformation of the plates at the central area

图4 节点板受剪Fig.4 Plate subjected to shear

结合式（2）和式（3）得到因节点板中心区变形引起杆端局部转动的刚度分量表达式如下：

1.3 转动刚度分量K2的确定

杆件翼缘与节点板在加载初期通过静摩擦传力的同时也会因接触面的切向挤压变形发生很小的错动位移，可以通过定义接触面的切向刚度S来描述其静摩擦力下的变形性能，即

式中：f为接触面的静摩擦力；δ2为静摩擦力引起的摩擦面的相对滑移，如图5所示.

图5 节点板与杆件错动变形Fig.5 Relative displacement between the plate and the member

根据摩擦学基本理论［8］，摩擦面的切向刚度和接触面积以及摩擦系数成正比，和板总厚成反比.根据板式节点的具体构造，还可以假定摩擦面的切向刚度近似和连接螺栓的数量以及接触面板的等效弹性模量成正比.则δ2可以写为

式中：tf为板的总厚度；α2为待定系数，与接触物体的材质及表面法向力有关，可以根据数值模拟结果回归得到；Ee为等效弹性模量，取摩擦面板弹性模量的平均值；n为螺栓数量；μ为摩擦系数；Ac为杆件和节点板的接触面积，如图6所示.

图6 节点板几何参数Fig.6 Configurations of the plate

结合式（3）和式（6），可以得到刚度分量K2的计算公式为

1.4 转动刚度分量K3的确定

节点体范围内杆件的自身变形如图7所示，图中φ3为杆件自身变形引起的转角.杆件变形刚度可近似按受弯梁计算，杆件在节点板边缘相对于节点中心的转动刚度可近似按式（8）估算.

式中：α3为由于弯矩变化引起的刚度修正系数，可以根据数值模拟结果回归得到；Eb为杆件弹性模量；I为杆件截面惯性矩；R－Rc为节点区内杆件长度，如图7所示.

图7 杆件自身弯曲变形Fig.7 Bending deformation of the member

分别根据式（4）、式（7）、式（8）可以求得3个刚度分量，然后代入式（1）即可得到总的节点面外抗弯刚度，如式（9）所示.式中的3个待定系数α1，α2，α3通过数值模拟的计算结果拟合回归得到.

2 节点弯矩－转角试验

在文献［7］进行的14个铝合金板式节点试验研究的基础上，对铝合金板式节点的抗弯性能进行分析.图8a为六杆加载厚板（t≥5mm）节点试件的弯矩－转角曲线，图8b为六杆加载薄板（t≤3mm）节点试件的弯矩－转角曲线.根据试验实测的弯矩－转角曲线，采用最小二乘法可以拟合出六杆加载节点试件的初始弯曲刚度如表1所示.

结合图8和表1可得出，板式节点的初始抗弯刚度随着节点板厚度的增加而增大.对于厚板试件，板厚由5mm变为6mm，其初始抗弯刚度增加12.7%；对于薄板试件，板厚由2.25mm变为2.70 mm，其初始抗弯刚度增加15.7%.

3 铝合金板式节点数值模拟

3.1 有限元模型

采用ABAQUS／Standard软件建立考虑螺栓孔隙影响的铝合金板式节点有限元模型，用于计算板式节点的初始抗弯刚度.建模时进行如下简化：①仅对节点体区域进行模拟，并考虑对称性，对半边节点体进行模拟；②不考虑螺纹及垫片的影响；③所有螺栓的预紧力均相等；④考虑螺栓与孔壁间的孔隙，以便准确模拟加载初期螺栓的嵌固和板件的摩擦（图9）.

图8 六杆加载节点试件的弯矩－转角曲线Fig.8 Bending moment－rotation curves of the specimens with six loaded members

表1 初始刚度的试验结果Tab.1 Experimental results for the initial bending stiffness

有限元模型中所有部件均采用线性减缩积分单元C3D8R模拟，网格划分结果如图10所示.模型中各部件的相互联系通过接触对来模拟.在定义接触对时，采用如下假定：①由于螺杆与孔壁的错动很小，故不考虑摩擦，其余接触面均考虑摩擦；②螺栓与板件的接触均以螺栓表面为主面；节点板与杆件翼缘的接触均以较厚板件表面为主面；③适当划分板件表面并从中选定接触面，以避免接触对涵盖过多单元而增加计算量.荷载和杆端约束均施加在杆端截面中心的参考点上，并耦合参考点与其所在截面的平动自由度，以便在杆端施加轴力和弯矩.

图9 螺栓孔隙示意Fig.9 Aperture gap

图10 节点有限元模型单元划分Fig.10 Mesh configuration of the finite element model

铝合金型材和板材本构关系均采用Ramberg－Osgood模型及SteinHardt建议［9］，型材和板件的具体参数详见文献［7］；不锈钢螺栓的本构关系采用双折线模型，弹性模量取2.06×105MPa，根据文献［10］中螺栓拉伸试验结果，螺栓的抗拉强度fu取725MPa，名义屈服强度f0.2取470MPa.

3.2 数值模型的试验验证

为了验算有限元模型的正确性，对文献［7］中试件A1和A2进行了数值模拟，并将数值计算结果和试验结果进行了对比.

图11给出了试件A1和A2弯矩－转角曲线的实测值和数值分析结果的比较：A1试件初始刚度的数值结果为367kN·m·rad－1，试验结果为441 kN·m·rad－1；A2试件初始刚度的数值结果为366 kN·m·rad－1，试验结果为385kN·m·rad－1.从图11可以看出：数值模型的初始刚度与试验结果吻合较好，特别是A2试件，其初始刚度的数值结果和试验结果仅相差5.0%，说明本文的数值计算模型能够有效地模拟铝合金板式节点的初始刚度.

图11 A1和A2试件的弯矩－转角曲线Fig.11 Bending moment－rotation curves of specimens A1and A2

4 结果比较

4.1 理论公式系数的确定

以t，h，n及R为变化参数建立4个系列共计14个铝合金板式节点有限元模型，各模型几何参数见表2.表3给出了各刚度分类以及总刚度的数值.

表2 各模型几何参数Tab.2 Configurations of the models mm

表3 初始刚度及其分量的数值模拟结果Tab.3 Numerical results for initial bending stiffness kN·m

根据表3中各刚度分量的数值分析结果，分别对系数α1，α2，α3采用最小二乘法进行曲线拟合，得到α1＝1.52，α2＝0.000 35，α3＝1.14.则式（9）可写成

4.2 理论公式与数值模拟结果的比较

由理论公式和数值模拟求得的K如表4所示，表中β1为误差，为数值模拟值与式（10）计算值之差的绝对值除以数值模拟值.由表4中数据可知，误差的平均值为3.2%，表明提出的初始刚度估算公式的准确性较好.

表4 初始刚度的计算值与数值模拟结果比较Tab.4 Comparison between theoretical and numerical results for the bending stiffness

4.3 理论公式与试验结果的比较

由理论公式和试验求得的K值如表5所示，β2为试验值与式（10）计算值之差除以试验值.从表5可以看出，理论公式求得结果普遍小于试验结果，并且误差的平均值为9.5%，说明提出的初始刚度估算公式具有一定的准确性，并且其结果能够作为节点初始刚度的下限.节点杆件间整体性比较好的试件（A1和A2）初始刚度的平均误差在10.4%左右，节点整体性比较差的试件（A4和A5）初始刚度的平均误差在8.8%左右.造成此现象的主要原因在于，在推导理论公式的过程中忽略了杆件间的相互作用.

表5 初始刚度的计算值与试验结果比较Tab.5 Comparison between the theoretical and experimental results for the bending stiffness

5 结论和展望

从试验、数值模拟和理论推导3个方面对铝合金板式节点的节点刚度进行了研究，其主要结论如下：

（1）对铝合金板式节点的平面外变形机理进行分析，节点变形由节点板中心区域变形、节点板与杆件错动以及杆件自身变形三部分组成.

（2）推导出节点平面外初始弯曲刚度式（10），该式物理意义明确，与数值结果和试验结果吻合较好.

（3）在文献［7］的基础上，对六杆加载的节点试件的抗弯性能进行分析，得到节点试件的试验弯矩－转角曲线及其初始刚度.结果表明板式节点的初始抗弯刚度和其抗弯承载力随着节点板厚度的增加而增大.当节点板较厚时，节点整体性能较好，增加抗剪键对节点的初始抗弯刚度影响不大；当节点板较薄时，增加C类抗剪键明显改善了节点的整体性能，提高了节点的抗弯能力.

（4）式（10）的计算结果分别与数值分析结果和试验结果相比，平均误差分别为3.2%和9.6%，验证式（10）的合理性.

铝合金板式节点的节点刚度还受到杆件间的相互作用、抗剪键、全过程的非线性刚度等诸多因素的影响，这些都有待进一步研究.

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