关于有限群次正规子群的几个结果

左 林，郭鹏飞

（江苏师范大学连云港校区数学系，江苏 连云港 222006）

关于有限群次正规子群的几个结果

左 林＊，郭鹏飞

（江苏师范大学连云港校区数学系，江苏 连云港 222006）

研究次正规子群对有限群幂零性和超可解性的影响.在群系中利用群G的Sylow子群的正规化子、素数幂阶循环子群等在G中次正规，得到G为幂零群的一些充要条件.若G的Sylow 2－子群的极大子群均在G中次正规，且G满足下列条件之一，则G为超可解群：1）G满足置换条件；2）G为QCLT－群.推广了有关共轭置换子群的一些已知结果.

次正规子群；正规子群；超可解群；幂零群

本文中涉及的群均为有限群，所用群论术语、符号都是规范的，可参阅文献［1］.特别地，HsnG，HcharG分别表示H为G的次正规子群、特征子群，N表示包含所有幂零群的饱和群系，F表示包含所有有限群的群系.

如果群G的子群H与G的任意子群K可置换（即H K＝K H），则称H为G的拟正规子群.如果群G的子群H与G的每个Sylow子群可置换，则称H为G的s－拟正规子群.1997年，Foguel［2］证明了s－拟正规子群必定是次正规子群，且研究中发现介于两者之间存在一种新的子群——共轭置换子群.设H为群G的子群，若∀g∈G，H H g＝H g H都成立，则称H为G的共轭置换子群.

对于群的幂零性、超可解性等，国内外群论研究者曾利用子群的正规性［3］、拟正规性［4］、s－拟正规性［5］、次正规性［6］等获得丰富的成果.徐明曜等［7］利用子群的共轭置换性获得幂零群的若干充要条件，并推广到群系.关于这方面的研究可参见文献［3－15］.在本文中，笔者拟利用次正规子群的性质来刻画群G的幂零性，从而推广文献［7］的部分结论.

Srinivasan［3］证明了：若群G的Sylow子群的极大子群均在G中正规，则G为超可解群；并且得到群G的Sylow子群的极大子群均在G中分别拟正规、s－拟正规时结论也成立.但当群G的Sylow子群的极大子群均在G中次正规时，G未必是超可解群，四次交错群A4即为反例.本文考虑群G的Sylow 2－子群的极大子群均在G中次正规以及G满足一些附加条件，得到G为超可解群的两个充分条件.

1 基本概念和引理

定义1［16］74对于有限群G的阶的任一约数d，若存在G的d阶子群，则称群G为CLT－群；群G的所有商群都是CLT－群，则G称为QCLT－群.

定义2［17］97令H≤G，称子群PG（H）＝〈x｜x∈G，〈x〉／H＝H〈x〉〉为H在G中的置换化子；如果对G的每一真子群H恒有H＜PG（H），则称群G满足置换条件.

引理1［16］64若群G的每一个包含Sylow子群正规化子的极大子群在G内都有素数指数，则G为超可解群.

引理2［16］47设G为可解外－超可解群，则G＝MN，M＜·G，M∩N＝1，CG（N）＝N＝F（G），其中N为G的唯一极小正规子群，且M的Sylowp－子群为交换群，N为pα阶初等交换p－群，α＞1.

引理3［18］设G为有限群，P∈Sylp（G）.若P的极大子群均在G中次正规，则对任意NG，均有PN／N的极大子群在G／N中次正规.

引理4［19］若G有子群M和K，使得G＝MK，则对任意x，y∈G，均有G＝M x K y.

2 次正规子群与幂零性

定理1 设G是一个群且F是包含N的群系.若G满足下列条件之一，则G∈F：

（i）群G的所有Sylow子群的正规化子都在G中次正规；

（ii）群G的所有极大子群的Sylow子群都在G中次正规；

（iii）群G的所有素数幂阶循环子群都在G中次正规；

（iv）群G的所有极大子群的Sylow子群的循环子群都在G中次正规；

（v）群G的所有Sylow子群的正规化子的极大子群都在G中次正规；

（vi）群G的所有包含Sylow子群正规化子的极大子群都在G中次正规；

（vii）任给M＜·G，P∈Sylp（M），有N M（P）snG成立；

（viii）群G的所有Sylow子群的极大子群都在G中次正规，且G与p nq阶p－基本群无关.

证明 （i）任给P∈Sylp（G），由题设知N G（P）snG.由文献［1］59命题2.5知，N G（P）＝N G（N G（P））.若N G（P）＜G，则与题设矛盾，所以N G（P）＝G，即PG.由P的任意性知G为幂零群，因此G∈N⊆F.

（ii）设G为极小阶反例.任给M＜·G，P∈Sylp（M），由题设知PsnG，得PsnM，从而P M.由P的任意性可知，M为幂零群，故G为内幂零群.由文献［1］142定理4.2知，｜G｜＝p aq b，且对于P∈Sylp（G），Q∈Sylq（M），有PG且Q为循环群.由文献［1］141定理4.1得G为可解群，则对于G的某个元素x，G必存在一极大子群N，使得Qx≤N.由题设知QxsnG，又有Qx∈Sylq（G），故QxG.与G为内幂零群矛盾，极小阶反例不存在，从而G为幂零群，因此G∈N⊆F.

（iii）设G为极小阶反例.任给M≤G，设N为M的任意素数幂阶循环子群，于是N也是G的素数幂阶循环子群.由题设知NsnG，NsnM，故定理条件子群遗传.由M的任意性知M是幂零群，故G为内幂零群.由文献［1］142定理4.2知，｜G｜＝p aq b，且对于P∈Sylp（G），Q∈Sylq（G），有PG，Q为循环群.由题设知QsnG，得QG，与假设矛盾.极小阶反例不存在，从而G为幂零群，因此G∈N⊆F.

（iv）设G为极小阶反例.任给M＜·G，由题设知M的所有Sylow子群的循环子群都在G中次正规，从而在M中次正规.由（iii）得M为幂零群.由M的任意性知G是内幂零群.同（ii）可证G为幂零群，因此G∈N⊆F.

（v）任给P∈Sylp（G），M＜·N G（P）.由于MsnG，故MsnN G（P），从而N G（P）为幂零群.不妨设NG（P）＝P1×P2×…×Pr，其中P∈Sylpi（NG（P）），i＝1，2，…，r.令M为包含P的N G（P）的极大子群，则PMsnG，故PsnG，进而PG.由P的任意性得G是幂零群，故G∈N⊆F.

（vi）设G为极小阶反例.易证命题条件商群遗传.因为群G的极大次正规子群必是正规的，所以可设M＜·G且MG.若｜G∶M｜是合数，则商群G／M必定存在非平凡子群K／M，故M＜K＜G，与题设矛盾，因此｜G∶M｜必为素数.由引理1知G是可解的，则G是可解外－幂零群.设N为G的任意极小正规子群，则N必是初等交换p－群.设N1，N2为G的两个极小正规子群，则N1∩N2＝1.由于G≅G／N1∩N2≾（G／N1）×（G／N2），又由G为可解外－幂零群，所以（G／N1）×（G／N2）为幂零群，进而G为幂零群，与假设矛盾，故N为G的唯一极小正规子群.由于G为可解外－幂零群，若Φ（G）≠1，则G／Φ（G）为幂零群，从而G为幂零群，与假设矛盾，故Φ（G）＝1.由引理2可得，G＝AN，A∩N＝1，A＜·G，CG（N）＝N＝F（G）∈Sylp（G）.不妨设G＝NA＝N（P1×…×Pr）.任给Pi∈Sylpi（A），则N G（Pi）≥A.若N G（Pi）＝A，则由于AsnG，且A＜·G，故AG，因此G是幂零群，这与假设矛盾，于是N G（Pi）＝G，即G为幂零群.又与假设矛盾，因此极小阶反例不存在，故G为幂零群，G∈N⊆F.

（vii）任给M1＜·G，P1∈Sylp（M1），由题设知N M1（P1）snG，有N M1（P1）snM1.同（i）的证明可知M1为幂零群，从而G的任一极大子群均为幂零群.任给P∈Sylp（G），若PG，则N G（P）＜G，从而必存在M＜·G使得N G（P）≤M.显然，P∈Sylp（M）.由M为幂零群知，PM，故M≤NG（P），从而M＝NG（P）＝N M（P）.由题设可知MsnG，得MG.由PcharMG得PG，与假设矛盾，所以对任意的P∈Sylp（G），有PG，即G为幂零群，因此G∈N⊆F.

（viii）设G为极小阶反例.易证题设既是子群遗传的又是商群遗传的，因此G为极小非幂零群.由题设知群G与p nq阶p－基本群无关，因此G是幂零群，故G∈N⊆F.

3 次正规子群与超可解性

定理2 设群G为QCLT－群，若G的Sylow 2－子群的极大子群均在G中次正规，则G超可解.

证明 设G为极小阶反例.

1）G为可解外－超可解群，且Φ（G）＝1.由引理3及QCLT－群的定义可知，定理条件商群遗传.若Φ（G）≠1，则由G／Φ（G）为超可解群得G为超可解群，所以可设Φ（G）＝1.由于QCLT－群是可解群，故G为可解外－超可解群.

2）由引理2可知，G＝MN，M＜·G，M∩N＝1，CG（N）＝N＝F（G），其中N为G的唯一极小正规子群，且M的Sylowp－子群为交换群，N为pα阶初等交换p－群，α＞1.

3）N∈Syl2（G）.若P循环，则G与S4无关.由文献［20］可知，G为超可解群，矛盾，故P为非循环群.设P1，P2＜·P，由P1，P2snG可得〈P1，P2〉＝P1P2＝PsnG，所以PG，故N≤P.由2）可知N＝P∈Syl2（G）.

4）导出矛盾.由1），2），4）可知，G＝MN且｜N｜＝2α，α＞1.由于G是QCLT－群，故G存在2α－1｜M｜阶子群K.又因M为G的 Hall子群，故K＝N1M x，其中N1＜·N，x∈G.这时M x＜N1M x＜G，与M x＜·G矛盾.

极小阶反例不存在，G为超可解群.

定理3 设群G满足置换条件，若G的Sylow 2－子群的极大子群均在G中次正规，则G为超可解群.

证明 设G为极小阶反例.类似于定理2的证明，由文献［21］推论3可知：

1）G为可解外－超可解群，且Φ（G）＝1.

2）G＝MN，M＜·G，M∩N＝1，CG（N）＝N＝F（G），其中N为G的唯一极小正规子群，且M的Sylowp－子群为交换群，N为pα阶初等交换p－群，α＞1.

3）N∈Syl2（G）.

4）导出矛盾.因为G满足置换条件，所以存在g∈G，使得G＝M〈g〉＝〈g〉M且〈g〉＝〈x〉〈y〉，其中〈x〉为〈g〉的2′－Hall子群，〈y〉≤N.由于G的可解性，故可设〈x〉≤Mz，z∈G.由引理4可知，G＝Mz〈g〉＝Mz〈x〉〈y〉＝Mz〈y〉＝MN，〈y〉为G的Sylow 2－子群，故N＝〈y〉，与2）矛盾.

极小阶反例不存在，G为超可解群.

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Some results on subnormal subgroups of finite groups

ZUO Lin＊，GUO Pengfei

（Dept of Math，Lianyungang Coll of Jiangsu Norm Univ，Lianyungang 222006，China）

The authors investigate the influence of subnormal subgroups on nilpotency and supersolvability of finite groups.A series of necessary and sufficient conditions for a group to be nilpotent are given in formation by means of the subnormality of some subgroups ofG，such as the nomalizer of the Sylow subgroups ofG，cyclic subgroups with prime powers orders ofG，etc.If all maximal subgroups of the Sylow 2－subgroups ofGare subnormal inG，andGsatisfies one of the following conditions，thenGis supersolvable，1）Gsatisfies the permutizer condition；2）Gis a QCLT－group.These generalize the results of the investigation on conjugate－permutable subgroups of finite groups.

subnormal subgroups；normal subgroups；supersolvable groups；nilpotent groups

O 152.1

A

1007－824X（2014）01－0001－04

2013－06－21.＊ 联系人，E－mail：13505130188＠163.com.

江苏省“青蓝工程”基金资助项目（苏教师［2012］39号）；江苏省现代教育技术研究规划课题（2012－R－21998）.引文格式：左林，郭鹏飞.关于有限群次正规子群的几个结果 ［J］.扬州大学学报：自然科学版，2014，17（1）：1－4.

（责任编辑 时 光）