利用MATLAB求解复杂荷载作用下三铰拱的内力

孙云

摘要：在《结构力学》课程教学中，三铰拱的内力计算是个难点。本文应用MATLAB编制了通用程序，可以解决三铰拱在复杂荷载作用下截面内力的计算问题。

关键词：结构力学；MATLAB；三铰拱；内力

中图分类号：G642.0？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）05-0096-02

三铰拱是《结构力学》课程其中的一个章节，由于拱的截面法线与水平轴的夹角φ随截面位置发生改变，截面内力又与φ有关，因而求解三铰拱，尤其在复杂荷载作用下截面的内力是件烦琐的事情。为了让师生能从烦琐、重复的手工计算的劳动中解放出来，把更多的时间用于基本概念、基本理论的理解及问题的解决方法上[1]，本文利用MATLAB软件的符号运算、数值计算、编程等功能，编制了三铰拱在复杂荷载作用下截面内力计算的通用程序，不仅提高了教学效率，也激发了学生学习《结构力学》和MATLAB的极大兴趣。

三铰平拱在只有竖向荷载作用下任一截面的内力与同跨度、同荷载的对应简支梁对应截面的内力有如下关系[2]：

M=M0-FHy，Fs=F0scosφ-FHsinφ，FN=-F0Ssinφ-FHcosφ （1）

因此，先介绍简支梁任一截面的内力计算，再介绍三铰拱任一截面的内力计算。

一、简支梁的内力

若简支梁[3]上作用有均布荷载qi（i=1，nq），集中荷载 Fpi（i=1，nF）和集中力偶Mi（i=1，nM）。均布荷载的左、右端点到支座A的距离分别为ai（i=1，nq）、bi（i=1，nq），集中荷载和集中力偶到支座A的距离分别为ci（i=1，nF）、di（i=1，nM）（见图1）。设支座反力FAy、FBy已经由平衡方程求出。

求任一截面x的内力。根据截面法，取x截面以左部分为隔离体，考虑隔离体上的荷载是任意、复杂的，可能有均布荷载，可能有集中荷载，也有可能有集中力偶，且荷载数目可能是多个。小变形条件下，可用叠加法计算内力[4]。根据截面上的剪力和弯矩分别等于隔离体上所有外力沿截面切向的投影代数和以及对所求截面力矩代数和的计算法则，分别考虑隔离体上支座反力FAy、均布荷载qi、集中荷载Fpi和集中力偶Mi等对x截面内力的影响。

（一）反力FAy的影响

M1=FAy·x，FS1=FAy （2）

（二）均布荷载qi的影响

均布荷载与所求截面的位置有如下3种情况：（1）均布荷载qi全部作用在隔离体上（图2a），此时考虑全部均布荷载的作用；（2）均布荷载qi部分作用在隔离体上，部分在隔离体外（图2b），此时只考虑隔离体上部分荷载的作用，则 bi=x；（3）均布荷载qi全部作用在隔离体外（图2c），则不考虑均布荷载的作用，即qi=0，ai=bi=0。

nq个均布荷载产生的x截面内力为：M2=-■qi（bi-ai）xi-■，FS2=-■qi（bi-ai） （3）

对于不同的均布荷载情况，公式中的qi、ai、bi取不同值。

（三）集中荷载Fpi的影响

集中荷载与所求截面的位置有如下2种情况：（1）集中荷载Fpi作用在隔离体上，应考虑Fpi的作用；（2）集中荷载 Fpi作用在隔离体外，不考虑Fpi的作用，则Fpi=0，ci=0。

nF个集中荷载产生的x截面内力为：M3=-■Fpi（xi=ci）， FS3=-■Fpi （4）

对于不同的集中荷载情况，Fpi、ci取不同值。

（四）集中力偶Mi的影响

集中力偶与所求截面的位置有两种情况：（1）集中力偶Mi作用在隔离体上，应考虑Mi的作用，则di

nM个集中力偶产生的x截面内力为：M4=-■Mi，FS4=0（5）

对于不同的集中力偶情况，Mi取不同值。

则反力FAy、均布荷载qi、集中荷载FPi和集中力偶Mi共同作用下x截面内力为：

M=M1+M2+M3+M4，Fs=Fs1+Fs2+Fs3+Fs4 （6）

利用MATLAB编制通用的程序，只需分别将均布荷载、集中荷载和集中力偶的个数：nq、nF、nM、大小qi、Fpi、Mi，以及分别到左端支座A的距离ai、bi、ci、di，梁长L以及截面位置x等输入，就可以利用程序快速求解出复杂荷载作用下简支梁任一截面的内力。数据输入时，规定荷载向下为正；集中力偶顺时针转为正。结果输出时，规定弯矩使杆件下侧受拉为正，剪力使杆件顺时针转为正（这里MATLAB程序未给出）。

例1：求如图3所示简支梁C截面的内力。

图3中nq=2，q=[10 15]，a=[4 0]，b=[9 13]；nF=1，F=50，c=4；nM=1，M=-30，d=11；L=13，x=6。运行程序后得到，M=566.54kN·m，Fs=-0.58kN。

二、三铰拱的内力

考虑拱高为f的三铰平拱，设在竖向荷载作用下的水平反力FH已经求出，其对应简支梁的任一截面的弯矩和剪力用上述方法已可求出，则根据三铰平拱的内力计算公式（1），只要确定截面的竖向坐标y和夹角φ，即可求出三铰拱任一截面的内力。截面的竖向坐标y和夹角φ的确定过程如下：先对拱轴线方程y=f（x）求导，得到tanφ=y'，这可以通过MATLAB中的diff（y）实现，然后求出φ=arctan（y'）。最后计算指定x1截面的y1和φ1值，可通过y1=subs（y，x1）和φ1=subs（φ，x1）实现。

例2：求如图4所示三铰拱D截面的内力。已知拱轴线方程为y=4fx（L-x）/L2。

输入nq=1，q=10，a=6，b=12；nF=2，Fp=[10 20]，c=[2 4]；nM=0；M=0，d=0；f=4，L=12，x=9。运行程序后得D截面的内力为：M=10kN·m，Fs=0，FN=-42.06kN。同样得到C截面的M=0，Fs=6.67kN，FN=-35kN。

三、结语

用MATLAB编制了通用程序，可快速简捷地求解简支梁和三铰拱在复杂荷载作用下任一截面的内力。仿照上述编程思想，也可解决其他类型简单梁的内力计算和其他问题。

参考文献：

[1]何结兵，顾爱军，楚海建.Matlab在工程力学课程教学中的实践[J].力学与实践，2003，25（6）：73-75.

[2]曾又林，周建波，蒋寅军，等.结构力学题解[M].武汉：华中科技大学出版社，2005.

[3]夏健明.用Excel绘制三铰拱的内力图[J].力学与实践，2010，（4）：104-106.

[4]周博，李喜斌.基于Matlab的材料力学电算法[J].应用科技， 2002，29（005）：37-39.

摘要：在《结构力学》课程教学中，三铰拱的内力计算是个难点。本文应用MATLAB编制了通用程序，可以解决三铰拱在复杂荷载作用下截面内力的计算问题。

关键词：结构力学；MATLAB；三铰拱；内力

中图分类号：G642.0？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）05-0096-02

三铰拱是《结构力学》课程其中的一个章节，由于拱的截面法线与水平轴的夹角φ随截面位置发生改变，截面内力又与φ有关，因而求解三铰拱，尤其在复杂荷载作用下截面的内力是件烦琐的事情。为了让师生能从烦琐、重复的手工计算的劳动中解放出来，把更多的时间用于基本概念、基本理论的理解及问题的解决方法上[1]，本文利用MATLAB软件的符号运算、数值计算、编程等功能，编制了三铰拱在复杂荷载作用下截面内力计算的通用程序，不仅提高了教学效率，也激发了学生学习《结构力学》和MATLAB的极大兴趣。

三铰平拱在只有竖向荷载作用下任一截面的内力与同跨度、同荷载的对应简支梁对应截面的内力有如下关系[2]：

M=M0-FHy，Fs=F0scosφ-FHsinφ，FN=-F0Ssinφ-FHcosφ （1）

因此，先介绍简支梁任一截面的内力计算，再介绍三铰拱任一截面的内力计算。

一、简支梁的内力

若简支梁[3]上作用有均布荷载qi（i=1，nq），集中荷载 Fpi（i=1，nF）和集中力偶Mi（i=1，nM）。均布荷载的左、右端点到支座A的距离分别为ai（i=1，nq）、bi（i=1，nq），集中荷载和集中力偶到支座A的距离分别为ci（i=1，nF）、di（i=1，nM）（见图1）。设支座反力FAy、FBy已经由平衡方程求出。

求任一截面x的内力。根据截面法，取x截面以左部分为隔离体，考虑隔离体上的荷载是任意、复杂的，可能有均布荷载，可能有集中荷载，也有可能有集中力偶，且荷载数目可能是多个。小变形条件下，可用叠加法计算内力[4]。根据截面上的剪力和弯矩分别等于隔离体上所有外力沿截面切向的投影代数和以及对所求截面力矩代数和的计算法则，分别考虑隔离体上支座反力FAy、均布荷载qi、集中荷载Fpi和集中力偶Mi等对x截面内力的影响。

（一）反力FAy的影响

M1=FAy·x，FS1=FAy （2）

（二）均布荷载qi的影响

均布荷载与所求截面的位置有如下3种情况：（1）均布荷载qi全部作用在隔离体上（图2a），此时考虑全部均布荷载的作用；（2）均布荷载qi部分作用在隔离体上，部分在隔离体外（图2b），此时只考虑隔离体上部分荷载的作用，则 bi=x；（3）均布荷载qi全部作用在隔离体外（图2c），则不考虑均布荷载的作用，即qi=0，ai=bi=0。

nq个均布荷载产生的x截面内力为：M2=-■qi（bi-ai）xi-■，FS2=-■qi（bi-ai） （3）

对于不同的均布荷载情况，公式中的qi、ai、bi取不同值。

（三）集中荷载Fpi的影响

集中荷载与所求截面的位置有如下2种情况：（1）集中荷载Fpi作用在隔离体上，应考虑Fpi的作用；（2）集中荷载 Fpi作用在隔离体外，不考虑Fpi的作用，则Fpi=0，ci=0。

nF个集中荷载产生的x截面内力为：M3=-■Fpi（xi=ci）， FS3=-■Fpi （4）

对于不同的集中荷载情况，Fpi、ci取不同值。

（四）集中力偶Mi的影响

集中力偶与所求截面的位置有两种情况：（1）集中力偶Mi作用在隔离体上，应考虑Mi的作用，则di

nM个集中力偶产生的x截面内力为：M4=-■Mi，FS4=0（5）

对于不同的集中力偶情况，Mi取不同值。

则反力FAy、均布荷载qi、集中荷载FPi和集中力偶Mi共同作用下x截面内力为：

M=M1+M2+M3+M4，Fs=Fs1+Fs2+Fs3+Fs4 （6）

利用MATLAB编制通用的程序，只需分别将均布荷载、集中荷载和集中力偶的个数：nq、nF、nM、大小qi、Fpi、Mi，以及分别到左端支座A的距离ai、bi、ci、di，梁长L以及截面位置x等输入，就可以利用程序快速求解出复杂荷载作用下简支梁任一截面的内力。数据输入时，规定荷载向下为正；集中力偶顺时针转为正。结果输出时，规定弯矩使杆件下侧受拉为正，剪力使杆件顺时针转为正（这里MATLAB程序未给出）。

例1：求如图3所示简支梁C截面的内力。

图3中nq=2，q=[10 15]，a=[4 0]，b=[9 13]；nF=1，F=50，c=4；nM=1，M=-30，d=11；L=13，x=6。运行程序后得到，M=566.54kN·m，Fs=-0.58kN。

二、三铰拱的内力

考虑拱高为f的三铰平拱，设在竖向荷载作用下的水平反力FH已经求出，其对应简支梁的任一截面的弯矩和剪力用上述方法已可求出，则根据三铰平拱的内力计算公式（1），只要确定截面的竖向坐标y和夹角φ，即可求出三铰拱任一截面的内力。截面的竖向坐标y和夹角φ的确定过程如下：先对拱轴线方程y=f（x）求导，得到tanφ=y'，这可以通过MATLAB中的diff（y）实现，然后求出φ=arctan（y'）。最后计算指定x1截面的y1和φ1值，可通过y1=subs（y，x1）和φ1=subs（φ，x1）实现。

例2：求如图4所示三铰拱D截面的内力。已知拱轴线方程为y=4fx（L-x）/L2。

输入nq=1，q=10，a=6，b=12；nF=2，Fp=[10 20]，c=[2 4]；nM=0；M=0，d=0；f=4，L=12，x=9。运行程序后得D截面的内力为：M=10kN·m，Fs=0，FN=-42.06kN。同样得到C截面的M=0，Fs=6.67kN，FN=-35kN。

三、结语

用MATLAB编制了通用程序，可快速简捷地求解简支梁和三铰拱在复杂荷载作用下任一截面的内力。仿照上述编程思想，也可解决其他类型简单梁的内力计算和其他问题。

参考文献：

[1]何结兵，顾爱军，楚海建.Matlab在工程力学课程教学中的实践[J].力学与实践，2003，25（6）：73-75.

[2]曾又林，周建波，蒋寅军，等.结构力学题解[M].武汉：华中科技大学出版社，2005.

[3]夏健明.用Excel绘制三铰拱的内力图[J].力学与实践，2010，（4）：104-106.

[4]周博，李喜斌.基于Matlab的材料力学电算法[J].应用科技， 2002，29（005）：37-39.

摘要：在《结构力学》课程教学中，三铰拱的内力计算是个难点。本文应用MATLAB编制了通用程序，可以解决三铰拱在复杂荷载作用下截面内力的计算问题。

关键词：结构力学；MATLAB；三铰拱；内力

中图分类号：G642.0？摇 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2014）05-0096-02

三铰拱是《结构力学》课程其中的一个章节，由于拱的截面法线与水平轴的夹角φ随截面位置发生改变，截面内力又与φ有关，因而求解三铰拱，尤其在复杂荷载作用下截面的内力是件烦琐的事情。为了让师生能从烦琐、重复的手工计算的劳动中解放出来，把更多的时间用于基本概念、基本理论的理解及问题的解决方法上[1]，本文利用MATLAB软件的符号运算、数值计算、编程等功能，编制了三铰拱在复杂荷载作用下截面内力计算的通用程序，不仅提高了教学效率，也激发了学生学习《结构力学》和MATLAB的极大兴趣。

三铰平拱在只有竖向荷载作用下任一截面的内力与同跨度、同荷载的对应简支梁对应截面的内力有如下关系[2]：

M=M0-FHy，Fs=F0scosφ-FHsinφ，FN=-F0Ssinφ-FHcosφ （1）

因此，先介绍简支梁任一截面的内力计算，再介绍三铰拱任一截面的内力计算。

一、简支梁的内力

若简支梁[3]上作用有均布荷载qi（i=1，nq），集中荷载 Fpi（i=1，nF）和集中力偶Mi（i=1，nM）。均布荷载的左、右端点到支座A的距离分别为ai（i=1，nq）、bi（i=1，nq），集中荷载和集中力偶到支座A的距离分别为ci（i=1，nF）、di（i=1，nM）（见图1）。设支座反力FAy、FBy已经由平衡方程求出。

求任一截面x的内力。根据截面法，取x截面以左部分为隔离体，考虑隔离体上的荷载是任意、复杂的，可能有均布荷载，可能有集中荷载，也有可能有集中力偶，且荷载数目可能是多个。小变形条件下，可用叠加法计算内力[4]。根据截面上的剪力和弯矩分别等于隔离体上所有外力沿截面切向的投影代数和以及对所求截面力矩代数和的计算法则，分别考虑隔离体上支座反力FAy、均布荷载qi、集中荷载Fpi和集中力偶Mi等对x截面内力的影响。

（一）反力FAy的影响

M1=FAy·x，FS1=FAy （2）

（二）均布荷载qi的影响

均布荷载与所求截面的位置有如下3种情况：（1）均布荷载qi全部作用在隔离体上（图2a），此时考虑全部均布荷载的作用；（2）均布荷载qi部分作用在隔离体上，部分在隔离体外（图2b），此时只考虑隔离体上部分荷载的作用，则 bi=x；（3）均布荷载qi全部作用在隔离体外（图2c），则不考虑均布荷载的作用，即qi=0，ai=bi=0。

nq个均布荷载产生的x截面内力为：M2=-■qi（bi-ai）xi-■，FS2=-■qi（bi-ai） （3）

对于不同的均布荷载情况，公式中的qi、ai、bi取不同值。

（三）集中荷载Fpi的影响

集中荷载与所求截面的位置有如下2种情况：（1）集中荷载Fpi作用在隔离体上，应考虑Fpi的作用；（2）集中荷载 Fpi作用在隔离体外，不考虑Fpi的作用，则Fpi=0，ci=0。

nF个集中荷载产生的x截面内力为：M3=-■Fpi（xi=ci）， FS3=-■Fpi （4）

对于不同的集中荷载情况，Fpi、ci取不同值。

（四）集中力偶Mi的影响

集中力偶与所求截面的位置有两种情况：（1）集中力偶Mi作用在隔离体上，应考虑Mi的作用，则di

nM个集中力偶产生的x截面内力为：M4=-■Mi，FS4=0（5）

对于不同的集中力偶情况，Mi取不同值。

则反力FAy、均布荷载qi、集中荷载FPi和集中力偶Mi共同作用下x截面内力为：

M=M1+M2+M3+M4，Fs=Fs1+Fs2+Fs3+Fs4 （6）

利用MATLAB编制通用的程序，只需分别将均布荷载、集中荷载和集中力偶的个数：nq、nF、nM、大小qi、Fpi、Mi，以及分别到左端支座A的距离ai、bi、ci、di，梁长L以及截面位置x等输入，就可以利用程序快速求解出复杂荷载作用下简支梁任一截面的内力。数据输入时，规定荷载向下为正；集中力偶顺时针转为正。结果输出时，规定弯矩使杆件下侧受拉为正，剪力使杆件顺时针转为正（这里MATLAB程序未给出）。

例1：求如图3所示简支梁C截面的内力。

图3中nq=2，q=[10 15]，a=[4 0]，b=[9 13]；nF=1，F=50，c=4；nM=1，M=-30，d=11；L=13，x=6。运行程序后得到，M=566.54kN·m，Fs=-0.58kN。

二、三铰拱的内力

考虑拱高为f的三铰平拱，设在竖向荷载作用下的水平反力FH已经求出，其对应简支梁的任一截面的弯矩和剪力用上述方法已可求出，则根据三铰平拱的内力计算公式（1），只要确定截面的竖向坐标y和夹角φ，即可求出三铰拱任一截面的内力。截面的竖向坐标y和夹角φ的确定过程如下：先对拱轴线方程y=f（x）求导，得到tanφ=y'，这可以通过MATLAB中的diff（y）实现，然后求出φ=arctan（y'）。最后计算指定x1截面的y1和φ1值，可通过y1=subs（y，x1）和φ1=subs（φ，x1）实现。

例2：求如图4所示三铰拱D截面的内力。已知拱轴线方程为y=4fx（L-x）/L2。

输入nq=1，q=10，a=6，b=12；nF=2，Fp=[10 20]，c=[2 4]；nM=0；M=0，d=0；f=4，L=12，x=9。运行程序后得D截面的内力为：M=10kN·m，Fs=0，FN=-42.06kN。同样得到C截面的M=0，Fs=6.67kN，FN=-35kN。

三、结语

用MATLAB编制了通用程序，可快速简捷地求解简支梁和三铰拱在复杂荷载作用下任一截面的内力。仿照上述编程思想，也可解决其他类型简单梁的内力计算和其他问题。

参考文献：

[1]何结兵，顾爱军，楚海建.Matlab在工程力学课程教学中的实践[J].力学与实践，2003，25（6）：73-75.

[2]曾又林，周建波，蒋寅军，等.结构力学题解[M].武汉：华中科技大学出版社，2005.

[3]夏健明.用Excel绘制三铰拱的内力图[J].力学与实践，2010，（4）：104-106.

[4]周博，李喜斌.基于Matlab的材料力学电算法[J].应用科技， 2002，29（005）：37-39.