基于时域滤波技术的土壤阻抗模型研究

周颖慧 张 辉 周许申 石立华

（1.南京航空航天大学 机械结构力学及控制国家重点实验室，江苏 南京210007；2.解放军理工大学电磁环境效应与光电工程国家级重点实验室，江苏 南京210007；3.中国人民解放军96657部队，北京100083）

引 言

在研究电磁脉冲对埋地导体的耦合问题中，由于入射场具有非均匀特性，往往需要在时域内对其进行分析计算［1］.特别是在对电缆进行防护时，常常需要用到电涌抑制器等类型的非线性负载，这种负载的非线性特性也使频域内的计算变得难以实现［2］.然而，在时域内分析传输线方程时涉及到较为复杂的土壤阻抗与传输线上感应电流的卷积计算，此项计算对计算机内存的占用很大并且花费的计算时间比较长.为解决这一问题曾提出一种基于S参数的一阶线性拟合方法计算该卷积项［4］.这种拟合方法不仅可以避免复杂的卷积计算，也适用于对一些来自于实测实验数据的土壤阻抗进行拟合.当然，有些情况下这种一阶拟合不能满足计算精度要求，需要二阶或更高次项的拟合.为此，提出一种基于数字滤波技术的土壤阻抗模型拟合方法.该方法将土壤阻抗与电流的卷积项进行数字滤波拟合，从而将多点的乘法和累加减小为极少数点的乘法和累加，减小了内存的需求量，提高了计算效率.

1 传输线方程中土壤阻抗特性的计算模型

频域内，考虑了土壤阻抗影响的计算场线耦合的电报方程为［5］：

式中：γg为土壤的传输常数；b为绝缘层的外半径；为场强穿入大地的等效穿透深度.

在研究电磁脉冲对导体耦合问题中，往往要用到较高的频率分量.而式（3）所采用的近似表达式是式（4）的低频近似.在频率较高的情况下（＞10 MHz）两者的差距是比较明显的.本文计算中采用的是Vance提出的土壤阻抗Zg精确表达式为

图1 Vance近似表达式与精确表达式的对比

采用Agarawal模型进行埋地传输线耦合分析的方法中，将上述阻抗由傅里叶逆变换（Inverse Fast Fourier Transform，IFFT）转换到时域进行卷积计算，图2是将上述Z（jω）做IFFT后的结果.图2中逆变换后的波形出现尾部的突变，这是不合理的，土壤阻抗项和导纳项无法直接参与时域卷积.为此，考虑用数字滤波技术来实现并简化卷积运算.

图2 土壤阻抗的时域响应（σg＝10-3S／m）

2 数字滤波技术对土壤阻抗项的处理

如上所述，由IFFT将方程（1）、（2）转换到时域，形式为

方程（5）、（6）中的卷积计算可以看作是电流或电压通过一个冲激响应为Zg（t）或Yg（t）的线性时不变（Linear Time-Invariant，LTI）系统得到的输出信号，可设法建立与之对应的数字滤波器的离散传递函数模型.在滤波器模型的选择上，分有限冲激响应（Finite Impulse Response，FIR）滤波器和无限冲激响应（infinite impulse response，IIR）滤波器两种形式.对同一个功能的数字滤波器来说，FIR滤波器需要的阶数高，时延效应大；因此选用IIR滤波器，它采用很少的参数就能实现一个复杂的功能.

假设待设计的滤波器离散传递函数为H（z），设其模型具有如下形式［9］为

进行离散传递函数模型估计即确定a1～am、b0～bn这m＋n＋1个参数.

一个LTI离散系统在Z域的传递函数可表示为

H（z）以N＋M＋2个参数表述了一个LTI系统的全部特性.事实上，H（z）的形式即为一个典型的IIR滤波器，它对输入信号的作用可通过数字滤波的算法实现.能完成同样功能的IIR数字滤波器的形式总体可分为直接形式、级联形式和并联形式三种.直接形式和级联形式滤波器的信号流图由于数字系统的字长总是有限的，因此其系数精度总是有限的.直接形式的滤波器每一个系数的量化误差及乘法器的舍入误差对输出都将有累计效果，以致输出误差偏大，这是一个比较大的缺点.并联结构的每一个子系统都是独立的，不受其它子系统系数量化误差以及乘法舍入误差的影响，因此是所述三种形式中对误差最不敏感的结构形式.试用结果也表明，将二阶以上数字滤波算法直接引入时域有限差分方法（Finite Difference Time Domain，FDTD）循环中将很快导致发散，分析累计误差是其中一个重要原因.此外，在式（8）中的H（z）为直接形式，将该形式应用于FDTD中，需要存储Ⅰ（n-N）、Ⅰ（n-N＋1），…，Ⅰ（n）等变量，高阶直接形式的滤波器存在时延，也严重影响计算稳定性和精度.为此模型的建立采用一阶并联结构的数字滤波器.

其中ri、pi分别为差分方程的系数.

以土壤阻抗项Zg为例，数字滤波器模型的设计过程为：

1）设定一个输入信号x（t），将输入信号作傅里叶变换，得到其频域表达式X（ω）；

2）将输入信号的频域表达式X（ω）与土壤阻抗项Zg相乘，得到输出信号的频域表达式Y（ω）；

3）将输出信号Y（ω）作IFFT，得到输出信号的时域表示形式y（t）；

4）将x（t）、y（t）构成一个输入输出对，进行参数估计，从而得到计算所需要的传递函数的各个参数；

5）运用同样方法可以求得土壤导纳项Yg的传递函数模型.

分别选择土壤电导率σg为10-2S／m、10-3S／m和10-4S／m的情况验证不同电导率下对土壤阻抗项的建模结果.选择一组输入、输出信号x（t）、y（t），根据设定信号得到一个系统函数.再将输入信号x（t）经过以土壤阻抗项为传递函数的系统，得到一个新的输出信号），对比原始输出信号y（t）与建模所得的输出信号从而可验证对土壤阻抗项所建系统的正确性.估计所得系统传递函数参数如表1所示.

表1 系统传递函数的参数

土壤电导率分别为：10-2S／m、10-3S／m和10-4S／m的情况下，设定的输出信号和建模所得输出信号得到的波形如图3（a）、（b）、（c）所示.由图3可以看出，在不同土壤电导率情况下，原始输出信号y（t）与建模所得的输出信号波形吻合得非常好.这说明建模所采用的方法和程序是正确可靠的.

图3 不同电导率下原始输出信号与滤波所得信号的对比

3 结 论

一般情况下的数字滤波器是通过对模拟原型滤波器的转换得到的，功能局限于一些简单的高通、低通关系.而我们采用的滤波器直接由时域波形设计，可以实现任意复杂的功能.建模结果为三阶系统、六个参数，便于使用.相对于原来直接卷积时整个时域波形的数百乃至上千个参数，该方法大大减小了运算量.这种方法将土壤阻抗参与的卷积计算转化成时域滤波计算，从而将多点的乘法和累加减小为极少数点的乘法和累加，减小了内存的需求量，提高了计算效率.

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