一类二阶多点边值问题在共振条件下的可解性

张海波

(吉林化工学院理学院，吉林吉林132022)

1 预备知识

微分方程多点边值问题在应用数学和物理等不同的领域有着重要的应用，如:弹性力学、核物理、化学工程、地下流水等很多问题都可以归结为边值问题的研究.近年来，对于多点边值问题的研究取得了不少结果，如文［1-4］，本文给出了二阶多点边值共振问题

这里f:［0，1］×R2→R=(-∞，+∞)是连续函数，其中 e(t)∈L1［0，1］，βi∈R，i=1，2，…，m-2，βi取不同的符号，0＜ ξ1＜ ξ2＜ … ＜ ξm-2.本文主要应用Mawhin重合度理论讨论共振条件下的二阶多点边值问题(1.1)、(1.2)、(1.3)的解的存在性.

定义1.1 设L:domL⊂X→Y是一个零指标的Fredholm映射.如果Ω⊂X是一个有界开子集，domL∩ Ω ≠ φ ，且 QN(Ω)有界，Kp(IQ)N:Ω→X是紧的，则称N:X→Y在Ω上是L-紧的.

引理1.1 (Arzela-Ascoli引理)为了使F⊂C［0，1］是一个列紧集，必须且仅须F是一致有界且等度连续的函数族.

引理1.2［5］设 L是零指标的 Fredholm 算子，N在Ω上是L-紧的.假设

(i)Lx≠ λNx，∀(x，λ)∈ ［(domLKerL)∩ ∂Ω］× (0，1);

(ii)Nx∉ImL，∀x∈KerL∩∂Ω;

(iii)deg(JNQKerL，Ω ∩ KerL，0)≠0 .

其中Q:Y→Y是一个投影，满足ImL=KerQ，则方程Lx=Nx在domL∩Ω中至少有一个解.

本文所用的 Banach 空间是 Ck［0，1］(k=0，1)和 L1［0，1］.对 x ∈ C1［0，1］时，定义 ‖x‖∞= maxt∈［0，1］x(t) ， ‖x‖ = max{‖x‖∞，‖x＇‖∞}，记 L1［0，1］的范数为 ‖·‖1.我们还将用到Sobolev空间，Sobolev空间定义为:

W2，1(0，1)={x:［0，1］→ R:x，x＇在［0，1］上绝对连续，x″∈ L1［0，1］}.

记 X=C1［0，1］，Y=L1［0，1］.定义线性算子L:domL∩X→Y如下:

N(x)=f(t，x(t)，x＇(t))+e(t)， ∀x∈X ，

其中

domL= {x ∈ X:x″∈ L1［0，1］}，

则边值问题(1.1)、(1.2)、(1.3)就能写成算子方程Lx=Nx.

2 主要结果

在这部分，我们将利用重合度理论证明边值问题(1.1)、(1.2)、(1.3)的解的存在性.为此，我们先给出一些引理.

定理2.1 设 f:［0，1］×R2→ R是连续函数，e(t)∈L1［0，1］.如果满足下列条件:

则边值问题(1.1)、(1.2)、(1.3)在 C1［0，1］上至少存在一个解.

这里J:Ker(L)→Im(Q)是自然同构，定义J(ct)=c，则由(H3)可证得Ω3是有界的.

(C1)Lx≠ λNx，∀(x，λ)∈ ［(domLKerL)∩ ∂Ω］× (0，1);

(C2)Nx∉ImL，∀x∈KerL∩∂Ω;

(C3)令 H(x，λ)= ± λx+(1- λ)JQNx，则有

H(x，λ)≠0，x∈ KerL∩ ∂Ω .

从而由拓扑度的同伦不变性，可得

故由引理1.2，得到方程Lx=Nx在domL∩Ω 中至少有一解，从而边值问题(1.1)、(1.2)、(1.3)在 C1［0，1］中至少存在一个解.

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