基于现代学习理论的高中数学导学稿设计

1问题的提出

教育部于2001年启动了以“构建符合素质教育要求的基础教育课程体系”为目标的第八轮新课程改革，其核心理念是素质教育，强调体验、对话、交流，提倡自主、合作、探究的学习方式.导学稿正是在此背景下，针对素质教育的要求，面向全体学生，为大面积提高教学质量而提出的，是课堂教学改革、提高课堂教学质量和效益的有效载体.但在导学稿的设计与使用过程当中，经常可以在一线老师当中听到这样一些声音：

1. 导学稿为何要设置这些栏目，有何依据？

2. 导学稿中的问题为何这样设计，有何依据？

3. 别人设计的导学稿，自己在课堂上该如何使用，效果有保证吗？

有老师说，这就是自己几十年的教学经验，没什么依据，只知道这样设计效果不错；有老师说，看到一些好老师这样做，我就依葫芦画瓢，也不知道是否合理；也有老师说，别人设计的导学稿还真是不好把握，总感觉到被缚住手脚，课堂效果不尽人意……

对于以上问题的提出，笔者认为，这恰恰是一大批敬业的老师对教学负责、对学生负责、对教学有效性追求的体现；教学的境界也从感性追求慢慢过渡到了理性思考；教师的角色也从一个教书匠慢慢向一个研究者的身份靠拢……

对于上述问题，笔者也作了一些调查及文献检索，在此稍作叙述.导学稿的基本结构中，山东昌乐二中“271”模式的导学稿包括：学习目标、重点难点、使用说明、自学指导、相应练习、当堂检测七个部分；国佳（2009）在《数学新课程理念下的学案导学教学模式研究》中提出导学稿包括学习目标、学法指导、自学检测、问题讨论、基础训练、能力训练、学习小结、推荐作业等八个部分，但对于导学稿基本结构的设置，均没有作任何的设置说明，停留在经验层面；对于导学稿中的问题设计，山东杜郎口的“336”模式导学稿中问题设计的原则：目标性、导学性、探究性、层次性、提升性、衔接性、整合性、生活性、突破性、开放性；江苏洋思中学的“先学后练，当堂训练”模式导学稿贯彻：主导性、主体性、活动性、创新性、问题性、民主性、层次性原则，这些问题设计的原则看起来均有道理，但实践中不好操作，教师得不到有实际意义的指导，有一种“中听不中用”的感觉；甚至有一些学校或者老师在照搬一些名校的导学稿后，却发现使用效果不尽人意，依此可知，导学稿的设计并没有把学生的“学”与老师的“教”之间很好地统一起来.

以上这些问题，如何才能解决？

结合我校在“三元整合导学模式”课堂教学改革中的认识及经验，笔者以为：解决问题的关键在于导学稿的设计一定要科学，要符合现代学习理论以及建立在现代学习理论基础上的教学论和相应的教学设计原理.只有这样，课堂教学的有效性才有保障，才有了科学性基础.

2现代学习理论

2.1学习分类理论

2.1.1信息加工心理学关于知识的分类

以安德森为首的信息加工心理学家把人类习得的知识分为两大类：一类为陈述性知识，另一类为程序性知识.陈述性知识是用于回答“是什么”的问题，如“符号∈是什么意思”，“直线与平面的位置关系有哪几种”，“sin30°的值是多少”等问题，都需要有陈述性知识.程序性知识是用于回答“怎么办”的问题，如怎样运用直线与平面垂直的判定定理去证明线面垂直，怎样计算点到直线的距离等问题，需要程序性知识.掌握程序性知识不能满足于仅仅能陈述的状态，还必须明确办事的操作步骤.

2.1.2加涅的学习结果分类

美国著名学习与教学心理学家R.M.加涅认为，人类的学习有不同的类型，不同类型的学习结果需要不同类型的教学，不同类型知识的学习所需要的过程及条件也不相同.他将人类学习的结图1果分为五种类型：1.言语信息，分三个小类：符号记忆、事实性知识、有组织的整体知识.高中阶段学习的陈述性知识基本上都是有组织的整体知识. 2.智慧技能，分五个小类：辨别、具体概念、定义性概念、规则、高级规则.并且，加涅进一步提出五种智慧技能的习得存在着层次关系（图1）：高级规则学习以简单规则学习为先决条件；规则学习以定义性概念学习为先决条件；定义性概念学习以具体概念学习为先决条件；具体概念学习以知觉辨别为先决条件.3.认知策略. 4.动作技能.5.态度.上述五种学习结果中，前三种属于认知领域，是我们在学科教学中学习与研究的重点.

2.2广义知识学与教的一般模型

华东师范大学皮连生教授通过实证研究后认为，完整的教学过程必须符合“广义知识学与教的一般过程模型”（表1），又称“六步三阶段模型”，缺少任何一步，要么学习不能发生，或者学习虽然发生，但不能转化或持久保持.

依据“广义知识学与教的一般过程模型”，容易知道，“学”与“教”是一个整体，密不可分.故笔者以为，学习效果要保证，教学设计及课堂教学从框架上应依据“六步三阶段”模型来构建.其中，导学稿侧重于学与教的一般过程中“学”的文本设计，课堂教学侧重于学与教的一般过程中“教”的方案设计.只有这样，才能较好地保证学与教的一致性与有效性.

2.3基于现代学习理论的课型理论

课型即课的类型，是根据一定的标准对课的类别进行划分的结果.在一定的教学理论指导下，每一种课型都具有一定的课堂教学结构.根据学习分类理论及其基础上的教学论、教学设计原理，每一种学科基本课型的课堂教学结构实际上就是不同类型知识的学习过程和内、外部条件的综合反映，也是对学科特点主动适应的结果，最大限度地满足各种基本课型的学习过程和条件是确保学生学会学习的前提和基础.例如，高中数学科可划分为概念课、规则课、解题课、复习课等基本课型.

下面，仅对于学习分类理论指导下的高中数学基本课型中的概念课从基本任务、知识类型及学习的过程与条件三个方面进行概括：

数学概念课型

1.基本任务：（一）明确数学概念是什么，具体包括：（1）揭示概念所反映的一类事物的本质属性，给概念下定义；（2）辨别概念的正例和反例；（3）用不同的语言形式对概念加以解释，如将概念的定义由文字语言表述转换为用符号语言或图形语言表述；（4）分析所学概念的其它一些重要属性或特征.（二）辨明新概念与原有相关概念之间的关系，以及在概念形成过程中蕴含的数学思想方法与情感教育内容.（三）运用概念去办事，即通过变式练习和综合练习将习得的数学概念运用到各种具体情境中去解决相应的问题.endprint

2.知识类型：高中数学概念课型中蕴含的主要知识类型是定义性概念，属于程序性知识中的智慧技能的学习.教学的重点是概念的理解问题.

3.学习的过程与条件：概念学习主要有两种方式，概念的形成与概念的同化，重点是解决概念的理解问题，可用奥苏贝尔的同化论来解释.

（一）概念形成：从辨别概念的例证出发，逐渐归纳概括出概念的本质属性的一种学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的上位学习模式来解释.

学习的基本过程为：辨别（辨别概念例证的特征）→假设（对概念例证的共同本质特征作出假设）→检验假设→概括（给概念下定义）.

（1）学习的内部条件是：学生必须能够辨别正、反例证.

（2）学习的外部条件是：①必须为学生提供概念的正、反例.正例应有变化而且应有两个或两个以上，以帮助学生更好地辨别概念的本质属性和非本质属性；正例的呈现最好能让学生意识到，不至于看了一个正例却忘了另一个；②学生必须能够从外界获得反馈信息，以检验其所做的假设是否正确；③提供适当的练习，并给以矫正性反馈；④提供间隔练习以促进保持和迁移.

（二）概念同化：通过直接下定义来揭示一类事物的共同本质属性，从而习得概念的一种学习方式，其心理机制可用奥苏贝尔的下位学习模式来解释.

学习的基本过程为：理解概念的定义→辨别概念的例证.

（1）学习的内部条件是：学生的原有认知结构中具有同化新概念的适当的上位概念（或结构），而且这一上位概念（或结构）越巩固、越清晰就越有利于新的下位概念的同化.如百分数这个定义性概念，如果学生头脑中已有“分数”这个上位概念，那么百分数可以用概念同化的形式学习.其学习过程是一个接受过程，即百分数的定义特征不必经过学生从例子中发现，可以直接以定义形式呈现.学生利用其原有上位概念“分数”同化“百分数”.在学习时，学生找出百分数与分数的相同点，新的百分数被纳入原有分数概念中；同时要找出新知识（百分数）与原有知识（分数）的相异点，这样新旧知识可以分化，不致混淆.

（2）学习的外部条件是：①言语指导，以帮助学生更好地理解概念的本质属性；②提供符合概念定义的正例和不符合概念定义的反例；③提供适当的练习，并给以矫正性反馈；④提供间隔练习以促进保持和迁移.

以概念形成和概念同化的形式习得的概念属于概念的理解，若要运用概念对外办事，则还需给学生提供一个重要的外部条件：变式（概念的正例的变化）练习，变式练习是知识向技能转化的重要途径.例如，2，3，5，7，11等都是“质数”的变式.

3现代学习理论的应用

3.1导学稿栏目的设计

导学稿侧重于“学”的文本设计，依据皮连生教授实证研究的成果，完整的教学过程必须符合“六步三阶段模型”，缺少任何一步，要么学习不能发生，或者学习虽然发生，但不能转化或持久保持.为此，笔者把“学”的六个步骤从模型中提取出来（图2）进行分析，在教学实践中科学、合理构建导学稿的栏目.

一、课题名称：

二、学习目标（包含重、难点）：

三、课时安排：

第2步，激活原有知识：激活学生原有的、与本节课内容相关的知识.构建栏目：复习回顾

第3步，选择性知觉；第4步，新知识编入原有命题网络；第5步，认知结构重建与改组/经变式练习，命题转化为产生式系统：3、4步合在一起，实质上就是新知识的理解过程，是学习的重点与难点；第5步实质上是知识的巩固和转化过程，此阶段要完成新知理解、知识向技能的转化问题、并进行反馈及补救，是学习效果的保障，与前两步密不可分.构建栏目：学习新知（在新知理解过程中，应根据相应课型理论进行教学设计）；第6步：根据线索提取知识/一旦条件满足，行动能自动激活，这实质上是知识的提取、迁移或应用阶段，强化知识的熟练程度.构建栏目：课后练习

综上所述，基于现代学习理论下的高中数学导学稿的栏目设计为以下6个：

一、课题名称：

二、学习目标（包含重、难点）：

三、课时安排：

四、复习回顾

五、学习新知（根据相应课型理论进行教学设计）

六、课后练习

3.2导学稿的具体设计案例

笔者以选修1-1中的抛物线为例进行导学稿设计及分析.具体如下：

一、课题：抛物线（人教A版数学新课标教材选修2-1，P64—P72）

二、学习目标：

1、能准确回忆抛物线文字表述的定义，并能用符号加以表示，以及能画出相应的图形；

2、能准确写出抛物线的标准方程，能用自己的话简要叙述教材中标准方程的推导过程，并能自行给出其它形式标准方程的推导；

3、能准确回忆并解释抛物线的几何性质；

4、能运用抛物线的概念解决简单的数学问题.

其中目标3、4是重点内容.

三、课时安排：2课时

四、复习回顾

（1）椭圆、双曲线标准方程中“标准”的含义：

.

（2）椭圆和双曲线上的点到定点（焦点）与到相应定直线（准线）的距离的比都等于常数（离心率），当时，是椭圆，当时，是双曲线.当时，是抛物线.

五、学习新知

指导语：我们可以类比研究圆锥曲线中椭圆或双曲线的方法来研究抛物线：（1）根据定义建系设点求方程；（2）根据方程、图像，利用数形结合的思想考察性质；（3）根据方程和性质研究与抛物线有关坐标及最值问题等.在自学中特别注意抛物线与椭圆、双曲线的不同之处：到焦点与到准线的距离相等，这是关键.

设计意图可看成是学习新知的一种先行组织者策略，引导大家明确学习的方法.本质上采用了奥苏贝尔在概念同化过程中的下位学习模式，学生已经懂得了研究圆锥曲线的一般方法，而抛物线也是圆锥曲线的一种，故抛物线的概念容易形成.并且，在此把研究圆锥曲线的一般方法写出来，意在强化学生原有知识结构.endprint

请同学们自学教材的内容（例2，例5先不看），并完成以下任务.

1. 结合书本的表格完成下面表格序

号标准

方程y2=2px

（p>0）y2=-2px

（p>0）x2=2py

（p>0）x2=-2py

（p>0）1图形2范围3对称

轴4顶点

坐标5焦点

坐标6离心

率7准线

方程8p的几何意义：p恒为数（正 / 负）

问题：你能否由上表四种方程的特点归纳抛物线焦点所在的坐标轴以及开口方向和什么有关？

设计意图提出问题，给学生以指导，帮助学生更好地理解抛物线概念的本质属性.

2.抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离等于9，则点M到准线距离是 ，点M的横坐标是.

3.求抛物线y-2x2=0的焦点坐标为，准线方程为 .

4.求抛物线y=ax2的焦点坐标为，准线方程为 .

设计意图提供多个正例2、3、4，以帮助形成对抛物线概念的理解.

5.若l不经过点F，则平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是什么？

设计意图提供反例5，加强对抛物线概念的辨析理解.

强化训练

6.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并画图.

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，经过点P（-6，-3） ；

（2）顶点在原点，准线为y=2；

（3）顶点在原点，经过点P（-6，-3）.

7.抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（）.

A. （2，4）B.（2，±4）C. （1，22）D. （1，±22）

8.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3 ，1），则|MP|+|MF|的最小值为（）.

A. 3B. 4C. 5D. 6

9.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则以|AB|为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为（）.

A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定

设计意图提供适当练习，并进行矫正反馈，以形成利用概念对外办事的能力.

六、课后练习

请同学们在课后完成下列练习10—15，可以检验你对抛物线定义是否有深刻的理解、能否灵活运用抛物线的性质解决问题.

10.抛物线y2=2px（p>0）上一点M到焦点的距离是aa>p2，则点M到准线的距离是，点M的横坐标是.

11.求顶点在原点，焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.

12.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）.

A. 22B. 23C. 4D. 25

13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

14.已知点P到点F（4，0）的距离比它到直线l：x=-6的距离短2，求点P的轨迹方程.

15.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，-3）到焦点的距离为5，求抛物线方程.

设计意图提供间隔练习及不同情境的练习，以促进抛物线概念的保持和迁移.

作者简介李伟，男，1976年出生，江西临川人.国家奥林匹克竞赛一级教练员，中学数学高级教师，教育硕士，2009年被北师大教育出版社聘为数学教材编写组成员.长期致力于高中数学有效教学研究，深刻钻研教材教法.发表30多篇论文.《试论数学教学设计中的目标分类》被人大复印报刊资料《高中数学教与学》全文转载.endprint

请同学们自学教材的内容（例2，例5先不看），并完成以下任务.

1. 结合书本的表格完成下面表格序

号标准

方程y2=2px

（p>0）y2=-2px

（p>0）x2=2py

（p>0）x2=-2py

（p>0）1图形2范围3对称

轴4顶点

坐标5焦点

坐标6离心

率7准线

方程8p的几何意义：p恒为数（正 / 负）

问题：你能否由上表四种方程的特点归纳抛物线焦点所在的坐标轴以及开口方向和什么有关？

设计意图提出问题，给学生以指导，帮助学生更好地理解抛物线概念的本质属性.

2.抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离等于9，则点M到准线距离是 ，点M的横坐标是.

3.求抛物线y-2x2=0的焦点坐标为，准线方程为 .

4.求抛物线y=ax2的焦点坐标为，准线方程为 .

设计意图提供多个正例2、3、4，以帮助形成对抛物线概念的理解.

5.若l不经过点F，则平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是什么？

设计意图提供反例5，加强对抛物线概念的辨析理解.

强化训练

6.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并画图.

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，经过点P（-6，-3） ；

（2）顶点在原点，准线为y=2；

（3）顶点在原点，经过点P（-6，-3）.

7.抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（）.

A. （2，4）B.（2，±4）C. （1，22）D. （1，±22）

8.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3 ，1），则|MP|+|MF|的最小值为（）.

A. 3B. 4C. 5D. 6

9.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则以|AB|为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为（）.

A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定

设计意图提供适当练习，并进行矫正反馈，以形成利用概念对外办事的能力.

六、课后练习

请同学们在课后完成下列练习10—15，可以检验你对抛物线定义是否有深刻的理解、能否灵活运用抛物线的性质解决问题.

10.抛物线y2=2px（p>0）上一点M到焦点的距离是aa>p2，则点M到准线的距离是，点M的横坐标是.

11.求顶点在原点，焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.

12.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）.

A. 22B. 23C. 4D. 25

13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

14.已知点P到点F（4，0）的距离比它到直线l：x=-6的距离短2，求点P的轨迹方程.

15.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，-3）到焦点的距离为5，求抛物线方程.

设计意图提供间隔练习及不同情境的练习，以促进抛物线概念的保持和迁移.

作者简介李伟，男，1976年出生，江西临川人.国家奥林匹克竞赛一级教练员，中学数学高级教师，教育硕士，2009年被北师大教育出版社聘为数学教材编写组成员.长期致力于高中数学有效教学研究，深刻钻研教材教法.发表30多篇论文.《试论数学教学设计中的目标分类》被人大复印报刊资料《高中数学教与学》全文转载.endprint

请同学们自学教材的内容（例2，例5先不看），并完成以下任务.

1. 结合书本的表格完成下面表格序

号标准

方程y2=2px

（p>0）y2=-2px

（p>0）x2=2py

（p>0）x2=-2py

（p>0）1图形2范围3对称

轴4顶点

坐标5焦点

坐标6离心

率7准线

方程8p的几何意义：p恒为数（正 / 负）

问题：你能否由上表四种方程的特点归纳抛物线焦点所在的坐标轴以及开口方向和什么有关？

设计意图提出问题，给学生以指导，帮助学生更好地理解抛物线概念的本质属性.

2.抛物线y2=12x上一点M到焦点的距离等于9，则点M到准线距离是 ，点M的横坐标是.

3.求抛物线y-2x2=0的焦点坐标为，准线方程为 .

4.求抛物线y=ax2的焦点坐标为，准线方程为 .

设计意图提供多个正例2、3、4，以帮助形成对抛物线概念的理解.

5.若l不经过点F，则平面内与定点F和定直线l距离相等的点的轨迹是什么？

设计意图提供反例5，加强对抛物线概念的辨析理解.

强化训练

6.求满足下列条件的抛物线的标准方程，并画图.

（1）顶点在原点，对称轴是x轴，经过点P（-6，-3） ；

（2）顶点在原点，准线为y=2；

（3）顶点在原点，经过点P（-6，-3）.

7.抛物线y2=8x上一点P到顶点的距离等于它到准线的距离，这点坐标是（）.

A. （2，4）B.（2，±4）C. （1，22）D. （1，±22）

8.已知M为抛物线y2=4x上一动点，F为抛物线的焦点，定点P（3 ，1），则|MP|+|MF|的最小值为（）.

A. 3B. 4C. 5D. 6

9.过抛物线y2=2px（p>0）的焦点作直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2），则以|AB|为直径的圆与抛物线的准线的位置关系为（）.

A. 相交B. 相离C. 相切D. 不确定

设计意图提供适当练习，并进行矫正反馈，以形成利用概念对外办事的能力.

六、课后练习

请同学们在课后完成下列练习10—15，可以检验你对抛物线定义是否有深刻的理解、能否灵活运用抛物线的性质解决问题.

10.抛物线y2=2px（p>0）上一点M到焦点的距离是aa>p2，则点M到准线的距离是，点M的横坐标是.

11.求顶点在原点，焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程.

12.已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M（2，y0）.若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（）.

A. 22B. 23C. 4D. 25

13. 右图是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2米，水面宽4米，水位下降1米后，水面宽 米.

14.已知点P到点F（4，0）的距离比它到直线l：x=-6的距离短2，求点P的轨迹方程.

15.已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，其上的点P（m，-3）到焦点的距离为5，求抛物线方程.

设计意图提供间隔练习及不同情境的练习，以促进抛物线概念的保持和迁移.

作者简介李伟，男，1976年出生，江西临川人.国家奥林匹克竞赛一级教练员，中学数学高级教师，教育硕士，2009年被北师大教育出版社聘为数学教材编写组成员.长期致力于高中数学有效教学研究，深刻钻研教材教法.发表30多篇论文.《试论数学教学设计中的目标分类》被人大复印报刊资料《高中数学教与学》全文转载.endprint