提高中等学生数学解题能力的策略

周亚华

著名的数学家波利亚认为，中学教育根本的宗旨是教会年轻人思考，掌握数学意味着善于解题，不仅善于解一些标准的问题，而且善于解一些要求独立思考，思路合理，见解独到和需要创造力的问题。

初中数学教学的一线教师不难发现，在数学学习中成绩中等学生在新授课时一般都能听懂老师上课内容，对于一些标准问题，也能模仿完成，但需要独立完成的思考题他们则显得困难重重，那么如何提高中等学生的数学解题能力呢？

一、重视数学学习新知自主感悟，掌握数学思维的规律性

中等学生能听懂新知但不会解能力题，这主要是因为直接从老师或书本那儿被动地不假思索地接受过来的知识，可能很快忘掉，难于成为自己的东西，更难形成解决问题的方法。在新知学习中若能由学生自己去发现，理解就深刻，也容易掌握其中的规律、性质和联系。例如：上教版九年级课本“相似三角形”一章中的“平行线分线段成比例定理”即两条直线被三条平行直线所截，截得的对应线段成比例，对于定理的证明教材上给出“标准图形”（见图1）的证明，配套的例题也是“标准图形”下的计算，而中等学生在练习中遇到如图2时，直线l1、l2、l3分别交直线l4于点A、B、C，交直线l5于点D、E、F，且l1∥l2∥l3，已知AB=3，AC=5，DF=9，求DE、EF的长。他们就束手无策，或试图通过添辅助线转化成“标准图形”。为解决此问题，在教学中可引导学生在证明定理的环节中，自主画出两条直线被三条平行直线所截时可能出现的除标准图形外各种不同的位置，见图3、图4、图5，自主感悟平行线分线段成比例定理与三角形一边平行线性质定理及推论的关系，从而提高解决问题的能力。

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行”，学生解题能力的形成，不仅仅是教师传授，更是学生通过亲自经历，自主动手、动脑，不断总结归纳的结果，掌握数学思维的规律性。

二、重视数学解题过程中类比方法应用，增强数学思维的发散性

学习难，学习数学更难，许多人对数学望而生畏，大有谈虎色变的趋势，不少人有这样的经历。一道题，自己总也想不出解法，而别人却轻而易举地给出了绝妙的解法，此时你最希望知道的是“你是怎样想出这个解法？为什么我没有想到呢？”

例如：2013年黄浦区中考模拟题第25题如图6，在梯形ABCD中，AD=BC=10，tan∠ADC= ，E是AD腰上一点，且AE：ED=1：3。（1）当AB：CD=1：3时，求梯形ABCD的面积；（2）当∠ABE=∠BCE时，求BE线段的长；（3）当△BCE是直角三角形时，求边AB的长。

参考答案见下：

解：（1）作AH⊥CD，垂足为H，

在Rt△ADH中，AD=10，tan∠D= ，

设AH=4k，DH=3k，则（4k）2+（3k）2=102，

解得k=2，所以AH=4k=8，DH=3k=6，

由等腰梯形ABCD知，CD=AB+12，又AB：CD=1：3，

得AB=6，CD=18，

所以梯形ABCD的面积为S= （AB+CD）·AH=96。

（2）延长BE、CD交于点P，

∵AE：ED=1：3，AB∥CD，

∴BE：EP=1：3，令BE=x，则BP=4x，

∵AB∥CD，

∴∠ABE=∠P，又∠ABE=∠BCE，

∴∠BCE=∠P，又∠CBE=∠PBC，

∴△BCE∽△BPC，

∴ = ，

即x·4x=102，

解得x=5，即BE=5。

（3）设AB=a，则DP=3a，CP=12+4a，

当∠CBE=900时，

在Rt△BCP中，BC=10，tan∠BCP=tan∠ADC= ，

所以BP=10× = ，

CP= = ，

=12+4a，解得a= 。

当∠CEB=900时，

过E作底边CD的垂线，在底边AB、CD上的垂足分别为M、N，

易知△AME∽△DNE∽△AHD，

∴ME=2，MA= ，EN=6，DN= ，

= ，即 = ，

解得a=- ± （舍负），

又∵∠BCE<∠BCP<900，

所以当△BCE是直角三角形时，AB= 或- + 。

本题第（3）题难度较高，学生练习后统计准确解答的人数较少，那让我们一起看一位优秀学生的解答，他在讨论∠CBE=900时，添的辅助线是过点E作EF⊥AB，CG⊥AB，形成三个直角三角形，其中两个直角三角形△EBF∽△BCG相似，这样讨论∠CEB=900时，过E作AB的垂线，可证明同时垂直于CD，也形成三个直角三角形，其中两个直角三角形相似，把需要分类的两种不同情况很好地结合起来。

我们来听听他是如何交流的：“我们在学习相似三角形时书上有三个直角三角形相似的基本图形（见课本P36页，作者注），练习册也有类似的题目（见练习册P12页第3题，P14第3题，作者注），利用相似三角形对应边成比例能建立等量关系，我由此想到了解题方法。”善于归纳和联想是他学习数学的法宝，也启发当我们直接求解困难时要考虑辅助方法，这就需要我们联想，我们可以考虑能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个类比的问题？在学习几何新知时，重视基本图形很重要，在不断模仿解决问题的步骤和方法，争取达到灵活运用和创造地解决问题。

正如波利亚指出：解题的价值不是答案，而是弄清是“怎样想到这个解法”“是什么促使你这样想，这样做”，这就是说解题过程是一个思维过程，是一个把知识与问题联系起来思考、分析、探索的过程。endprint

三、重视数学解题通法的归纳，提升数学思维的集中性

在初中教学中我们还发现差不多类型的题目，成绩中等的学生往往是会解这一题，但另一题就不会了，而思维灵活的学生会举一反三解一类题。这就需要我们在教学中重视解题中的通法，在学法指导时除帮助学生解决手头的问题，更要培养学生将来能够独立解题的能力。例如：在数学学科教学基本要求P109～P111例题3，已知：如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的中点，点F在边BC上，EF∥AB。求证：BF= （AD+BC）。

这道例题的作用是复习梯形中常用添辅助线的方法。从结论出发考虑学生很容易想到取AB的中点M，联结EM，利用梯形的中位线证明，本题应考虑从特殊到一般，重视通法，证明一条线段等于另两条线段的和，通法是作一条长度等于AD+BC的线段，于是考虑把AD平移到BC相接的位置，可通过联结AE并延长交BC的延长线于G。

再看本题后的一道“想一想”问题：已知：如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的一点，且DE：EC=1：2，点F在边BC上，EF∥AB，问BF与AD、BC之间的数量关系是什么？如何证明？此时E不是中点了，但我们有思考线段和差之间的通法，学生能得出多种证明方法，如类比例题证法，还是联结AE并延长交BC的延长线于G，易证CG=2AD，而FG=2BF，变换易得出BF= （2AD+BC）。另可延长FE、AD交于点M，易证BF=AM，DM= CF，变换也易得出BF= （2AD+BC）。也可以过D作DG∥AB，把AD移到BC上，与BG相等，易证FG= CF，变换易得出结论。

本题还可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的一点，且DE：EC=1：m，点F在边BC上，EF∥AB，问BF与AD、BC之间的数量关系是什么？如何证明？对同一问题不断拓展，这样能更好训练思维，要提高中等学生的思维灵活性，思考问题的方法很重要。

“授人以鱼，不如授人以渔”，数学的学习是学生自己体验、探索、实践的过程，让学生自己去“做”数学，“想”数学，认真体会数学的思想与方法。

四、重视学生解题后自主反思，挖掘数学思维的深刻性

数学是一门以严密性为主要特征的学科，要求在解题过程中对推理论证、计算等语言表达严密、逻辑性强。而中等学生往往在解题中出现表达不完整，忽略试题中的限制条件。因此在数学学习中让学生学会反思解题过程。

例如：已知：x= ，y= ，试用含x的代数式表示y。

部分学生的初步解题过程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

两边同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

两边同除以（3-2y），

可得k= 。

从而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

两边同除以（5x+1），

可得y= 。

引导学生反思解题过程，提出了四个问题，

（1）（x+1）k=1-x，为什么两边可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，为什么两边同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，为什么两边可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制条件？

学生自主反思后发现问题：

（1）当x+1=0时，出现0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）当3-2y=0时，出现0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由条件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而当k= 时，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后结y= 论中应有限制条件x≠-1。

提高了学生解题的反思能力，其本质是提高了他们的自主学习能力，使数学成为有趣的事情，这从优秀学生的话语中我们不难发现，“这道题我验算过肯定正确！”“太高兴了！我发现了一种更简便的方法！”当数学学习有了兴趣，相信数学的解题会成为思维的体操，成为一种乐趣。

综上所述，中等水平的学生虽然对标准、基础题能解，但对思考题、综合问题却难于入手，通过多方面的努力，从数学思维出发，在规律性、发散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平学生的数学解题能力的上升空间仍然是很大的。

（作者单位：上海市罗星中学）endprint

三、重视数学解题通法的归纳，提升数学思维的集中性

在初中教学中我们还发现差不多类型的题目，成绩中等的学生往往是会解这一题，但另一题就不会了，而思维灵活的学生会举一反三解一类题。这就需要我们在教学中重视解题中的通法，在学法指导时除帮助学生解决手头的问题，更要培养学生将来能够独立解题的能力。例如：在数学学科教学基本要求P109～P111例题3，已知：如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的中点，点F在边BC上，EF∥AB。求证：BF= （AD+BC）。

这道例题的作用是复习梯形中常用添辅助线的方法。从结论出发考虑学生很容易想到取AB的中点M，联结EM，利用梯形的中位线证明，本题应考虑从特殊到一般，重视通法，证明一条线段等于另两条线段的和，通法是作一条长度等于AD+BC的线段，于是考虑把AD平移到BC相接的位置，可通过联结AE并延长交BC的延长线于G。

再看本题后的一道“想一想”问题：已知：如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的一点，且DE：EC=1：2，点F在边BC上，EF∥AB，问BF与AD、BC之间的数量关系是什么？如何证明？此时E不是中点了，但我们有思考线段和差之间的通法，学生能得出多种证明方法，如类比例题证法，还是联结AE并延长交BC的延长线于G，易证CG=2AD，而FG=2BF，变换易得出BF= （2AD+BC）。另可延长FE、AD交于点M，易证BF=AM，DM= CF，变换也易得出BF= （2AD+BC）。也可以过D作DG∥AB，把AD移到BC上，与BG相等，易证FG= CF，变换易得出结论。

本题还可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的一点，且DE：EC=1：m，点F在边BC上，EF∥AB，问BF与AD、BC之间的数量关系是什么？如何证明？对同一问题不断拓展，这样能更好训练思维，要提高中等学生的思维灵活性，思考问题的方法很重要。

“授人以鱼，不如授人以渔”，数学的学习是学生自己体验、探索、实践的过程，让学生自己去“做”数学，“想”数学，认真体会数学的思想与方法。

四、重视学生解题后自主反思，挖掘数学思维的深刻性

数学是一门以严密性为主要特征的学科，要求在解题过程中对推理论证、计算等语言表达严密、逻辑性强。而中等学生往往在解题中出现表达不完整，忽略试题中的限制条件。因此在数学学习中让学生学会反思解题过程。

例如：已知：x= ，y= ，试用含x的代数式表示y。

部分学生的初步解题过程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

两边同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

两边同除以（3-2y），

可得k= 。

从而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

两边同除以（5x+1），

可得y= 。

引导学生反思解题过程，提出了四个问题，

（1）（x+1）k=1-x，为什么两边可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，为什么两边同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，为什么两边可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制条件？

学生自主反思后发现问题：

（1）当x+1=0时，出现0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）当3-2y=0时，出现0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由条件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而当k= 时，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后结y= 论中应有限制条件x≠-1。

提高了学生解题的反思能力，其本质是提高了他们的自主学习能力，使数学成为有趣的事情，这从优秀学生的话语中我们不难发现，“这道题我验算过肯定正确！”“太高兴了！我发现了一种更简便的方法！”当数学学习有了兴趣，相信数学的解题会成为思维的体操，成为一种乐趣。

综上所述，中等水平的学生虽然对标准、基础题能解，但对思考题、综合问题却难于入手，通过多方面的努力，从数学思维出发，在规律性、发散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平学生的数学解题能力的上升空间仍然是很大的。

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三、重视数学解题通法的归纳，提升数学思维的集中性

在初中教学中我们还发现差不多类型的题目，成绩中等的学生往往是会解这一题，但另一题就不会了，而思维灵活的学生会举一反三解一类题。这就需要我们在教学中重视解题中的通法，在学法指导时除帮助学生解决手头的问题，更要培养学生将来能够独立解题的能力。例如：在数学学科教学基本要求P109～P111例题3，已知：如图7，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的中点，点F在边BC上，EF∥AB。求证：BF= （AD+BC）。

这道例题的作用是复习梯形中常用添辅助线的方法。从结论出发考虑学生很容易想到取AB的中点M，联结EM，利用梯形的中位线证明，本题应考虑从特殊到一般，重视通法，证明一条线段等于另两条线段的和，通法是作一条长度等于AD+BC的线段，于是考虑把AD平移到BC相接的位置，可通过联结AE并延长交BC的延长线于G。

再看本题后的一道“想一想”问题：已知：如图8，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的一点，且DE：EC=1：2，点F在边BC上，EF∥AB，问BF与AD、BC之间的数量关系是什么？如何证明？此时E不是中点了，但我们有思考线段和差之间的通法，学生能得出多种证明方法，如类比例题证法，还是联结AE并延长交BC的延长线于G，易证CG=2AD，而FG=2BF，变换易得出BF= （2AD+BC）。另可延长FE、AD交于点M，易证BF=AM，DM= CF，变换也易得出BF= （2AD+BC）。也可以过D作DG∥AB，把AD移到BC上，与BG相等，易证FG= CF，变换易得出结论。

本题还可以拓展：在梯形ABCD中，AD∥BC，点E是边CD的一点，且DE：EC=1：m，点F在边BC上，EF∥AB，问BF与AD、BC之间的数量关系是什么？如何证明？对同一问题不断拓展，这样能更好训练思维，要提高中等学生的思维灵活性，思考问题的方法很重要。

“授人以鱼，不如授人以渔”，数学的学习是学生自己体验、探索、实践的过程，让学生自己去“做”数学，“想”数学，认真体会数学的思想与方法。

四、重视学生解题后自主反思，挖掘数学思维的深刻性

数学是一门以严密性为主要特征的学科，要求在解题过程中对推理论证、计算等语言表达严密、逻辑性强。而中等学生往往在解题中出现表达不完整，忽略试题中的限制条件。因此在数学学习中让学生学会反思解题过程。

例如：已知：x= ，y= ，试用含x的代数式表示y。

部分学生的初步解题过程如下：由x= ，

去分母整理得（x+1）k=1-x，

两边同除以（x+1），可得k= 。

由y= ，

去分母整理得（3-2y）k=2-3y，

两边同除以（3-2y），

可得k= 。

从而可知 = ，

去分母整理得（5x+1）k=5x-1，

两边同除以（5x+1），

可得y= 。

引导学生反思解题过程，提出了四个问题，

（1）（x+1）k=1-x，为什么两边可以同除以（x+1）得k= ？

（2）（3-2y）k=2-3y，为什么两边同除以（3-2y）得k= ？

（3）（5x+1）k=5x-1，为什么两边可以同除以（5x+1）得y= ？

（4）最后式子y= 中是否有限制条件？

学生自主反思后发现问题：

（1）当x+1=0时，出现0·k=2，此等式不可能成立。所以x≠1。

（2）当3-2y=0时，出现0·k=- ，此等式不可能成立。所以3-2y≠0。

（3）由条件y= 可知3-2k≠0，所以k≠ ，

而当k= 时，x=- ，所以5x+1≠0。

（4）最后结y= 论中应有限制条件x≠-1。

提高了学生解题的反思能力，其本质是提高了他们的自主学习能力，使数学成为有趣的事情，这从优秀学生的话语中我们不难发现，“这道题我验算过肯定正确！”“太高兴了！我发现了一种更简便的方法！”当数学学习有了兴趣，相信数学的解题会成为思维的体操，成为一种乐趣。

综上所述，中等水平的学生虽然对标准、基础题能解，但对思考题、综合问题却难于入手，通过多方面的努力，从数学思维出发，在规律性、发散性、集中性、深刻性上做足文章，中等水平学生的数学解题能力的上升空间仍然是很大的。

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