渐开线圆柱斜齿轮的齿廓方程推导

关欣 关德颖

1辽宁广播电视大学 （沈阳 110034） 2朝阳工程技术学校 （朝阳 122000）

渐开线斜齿轮的齿廓曲线方程、端法面参数关系、几何尺寸关系以及正确啮合条件共同构成渐开线斜齿轮的数学模型。基于该数学模型，可以在各CAD软件中建立精确的渐开线圆柱斜齿轮三维模型，并可以验证其他模型的精确性。

1 齿廓曲线方程

渐开线圆柱斜齿轮的齿廓曲面为螺旋渐开面。螺旋渐开面的生成机理是：平面沿一圆柱（称为基圆柱，半径为rb）面滚动，则S上的一条与该圆柱轴线呈βb角的直线KK在运动过程中就形成了螺旋渐开面（图1）。

图1 螺旋渐开面生成机理

在半径大于基圆柱的任何圆柱面上，此曲面的截线为螺旋线。螺旋渐开面被不同半径的圆柱面所截得的螺旋线有不同的螺旋角，满足：

其中βb称为基圆螺旋角，下标K表示基圆柱外任意圆柱面。

斜齿轮的齿廓曲面就是螺旋渐开面被齿顶圆柱面、齿根圆柱面所截的部分。

如图2所示，斜齿轮的端面齿形由以下两个部分组成：a-b段为渐开线齿廓，由刀具的直线部分范成得到；b-c段为齿根过渡曲线，由刀具的圆角部分范成得到。c-c段为齿轮的齿根圆，实际齿轮的这一段齿廓线存在与否取决于所选择加工刀具的形式[1]。

图2 斜齿轮端面齿形图

实际上，斜齿轮的端面齿形与直齿轮相似，只是各参数不再是标准值，所以采用直齿轮的齿形为例来推导斜齿轮端面相关曲线的方程与参数表达式。斜齿轮的端面齿形由渐开线部分、过渡曲线部分以及齿根、齿顶圆弧组成。其中渐开线部分齿廓是保证齿轮传动比不变的关键因素，是保证精确建模的前提。

当一条直线在圆周上作纯滚动时，直线上任意一点的轨迹称为该圆的渐开线；这个圆称为渐开线的基圆，它的半径用rb表示；直线BK称为渐开线的发生线；K为渐开线上的任意一点，它的向径用rk表示，渐开线AK段的展角用θk表示；渐开线在K点的压力角用αk表示。

图3 渐开线发生机理

由渐开线发生机理，可以得到渐开线在极坐标下的方程：

经过转化得到渐开线的直角坐标方程：

注意到（4）、（5）均是在自由坐标系下生成的，没有考虑到加工过程。以齿轮中心为原点，齿轮某齿齿厚对称线为y轴，建立如图4所示的坐标系：

图4 齿轮加工坐标系中的渐开线

设渐开线齿廓上任意一点为C（与自由坐标系相区别），由图4可得渐开线在加工坐标系中的直角坐标方程为：

其中rc为渐开线上任意一点的向径，φc为该点向径与y轴的夹角。设渐开线齿廓上C点处对应的齿厚为Sc，则有：

联立（5）（6）（7）得到渐开线在加工坐标系内的方程：

由于渐开线齿廓在齿顶圆处结束，所以方程中自变量αc的最大值为齿顶圆处的压力角处；受加工刀具的影响，渐开线的真正发生点并不在基圆上，而是位于[2]：

2 端法面参数关系

由螺旋渐开面的生成机理可以得出，渐开线斜齿轮的端面齿廓是渐开线，因而齿轮的几何尺寸按照端面计算。垂直于斜齿轮分度圆柱上螺旋线切线的截面称为法面，由于切制齿轮时沿螺旋线方向进刀，故法面齿形参数应与刀具齿形参数一致，是标准值[1]，所以在进行斜齿轮模型的几何计算时，要进行端面参数与法面参数之间的换算。

定义β为螺旋渐开面被分度圆柱面所截得螺旋线的螺旋角，则端面参数与法面参数之间存在如下关系：

以上诸式中下标“n”，“t”分别表示法面及端面；β为分度圆上的螺旋角。由于法面参数为标准值，端面参数随β变化，故而不是标准值。

3 齿根过渡曲线方程

用齿条型刀具加工齿轮，相当于齿条齿轮的啮合。被加工齿轮齿廓的渐开线部分由刀具的直线部分切出，过渡曲线部分由刀具的圆角部分切出。加工过程中，刀具的加工节线与齿轮的加工节圆相切纯滚动，刀具圆角的圆角Cp将描绘出延伸渐开线，于是可以得到齿轮的过渡曲线是延伸渐开线的等距曲线。

用齿轮型刀具加工齿轮，相当于一对齿轮啮合，被被加工齿轮齿廓的渐开线部分由刀具的渐开线部分切出，过渡曲线部分由刀具的圆角部分切出。加工过程中，刀具的加工节圆与齿轮的加工节圆纯滚相切，显然刀具圆角的圆心Cp将描绘出延伸外摆线，于是，可得到齿轮的过渡曲线是延伸外摆线的等距曲线。

目前，机械工业生产中常见的过渡曲线主要有以下三种形式[2]：

（1）当采用齿条型刀具加工齿轮时，如果刀具齿廓的顶部有两个圆角，则过渡曲线如图5a所示，Ⅰ、Ⅱ两段为延伸渐开线的等距曲线，Ⅲ段为齿轮的齿根圆弧；如果刀具齿廓的顶部有一个圆角，则过渡曲线如图5b所示，Ⅰ段为一整段延伸渐开线的等距曲线。

（2）当采用齿轮型刀具加工齿轮时，如果刀具齿廓的顶部有两个圆角，则过渡曲线如图5a所示，Ⅰ、Ⅱ两段为延伸外摆线的等距曲线，Ⅲ段为齿轮的齿根圆弧；如果刀具齿廓的顶部有一个圆角，则过渡曲线如图5b所示，Ⅰ段为一整段延伸外摆线的等距曲线。

（3）若齿轮以仿形法加工，则过渡曲线形式与刀具有关，一般为一整段圆弧。

图5 过渡曲线的形式

本文以齿条型刀具加工的齿轮为例，来推导齿根过渡曲线方程，即推导延伸渐开线的等距曲线方程。对于延伸外摆线的等距曲线方程，可以参加文献[2]。双圆角齿条型加工刀具的示意图如下：

图6 双圆角齿条型加工刀具示意图

图中所标注的参数值如下式：

虽然刀具的圆角形式不同，但在刀具与齿轮坯啮合过程中的范成运动规律是完全相同的，所以可以将刀具加工所得的过渡曲线推导过程统一起来，建立相同的过度曲线方程后，代入不同的刀具参数即可分别得到各自加工出来的过度曲线方程[2]。

过渡曲线方程推导坐标系与齿轮渐开线齿廓方程推导坐标系相同，如图4。设过渡曲线上任意一点为（η，λ），则：

将（9）与（10）联立便可得到过渡曲线的方程。根据实际加工过程，α’的取值范围是（α，90°）。在α’取α时，过渡曲线与渐开线相连并相切于各自的起点；取90°时，过渡曲线与齿根圆相切。

4 渐开线圆柱齿轮的数学模型

综合公式(1)-(10)可以得到以双圆弧齿条型刀具加工的斜齿轮齿端面齿廓方程。

渐开线部分齿廓：

至此，渐开线圆柱斜齿轮的数学模型已经建立。无论是渐开线方程还是过渡曲线方程均为显式方程，可以方便快捷的在CAD软件中实现。较隐式方程必须通过描点、插值拟合生成曲线的方法，既提高了运算速度，也提高了模型精度。

[1]吴继泽,王统.齿根过渡曲线与齿根应力[M].北京:国防工业出版社,1989.

[2]F.L.Litvin.齿轮几何学与应用理论[M].上海:上海科学技术出版社,2008.