《数学》第十章“概率统计”教材分析及教学建议

郑步春

【摘 要】统计与概率的内容在九年义务教育阶段已经成为数学课程的基本组成部分。《中等职业学校数学教学大纲》要求继续加强随机性数学教学。通过本章教学，可使学生进一步确立尊重事实、用数据说话的态度，学会用随机观点来解释现象，做出估计和决策，形成正确的世界观和方法论。在准确把握教学要求基础上，从认真剖析概念、注意概念的区别与联系、重视展开探究活动、关注与学生的实际经验相联系等方面，做好概率统计章节教学。

【关键词】计数原理 概率 统计

通过本章学习，重在让学生理解确定事件和不确定事件的基本概念，粗略地感知某一事件发生的可能性，用数量较为精确地刻画具体某一事件发生的可能性，进一步确立尊重事实、用数据说话的态度，学会用随机观点来解释现象，做出估计和决策，形成正确的世界观和方法论。

一、概率统计章节教学目标

概率是随机事件发生的可能性的数量指标，指在独立随机事件中，某一事件在全部事件中出现的频率，在更大的范围内比较明显地稳定在某一固定常数附近。对于任何事件的概率值一定介于0和1之间。有一类随机事件，它具有两个特点：第一，只有有限个可能的结果；第二，各个结果发生的可能性相同。具有这两个特点的随机现象叫做“古典概型”。在客观世界，存在大量的随机现象，随机现象产生的结果构成了随机事件。如果用变量来描述随机现象的各个结果，就叫做随机变量。一切可能的取值能够按一定次序一一列举，这样的随机变量叫做离散型随机变量；如果可能的取值充满了一个区间，无法按次序一一列举，这种随机变量就叫做非离散型随机变量。如果随机变量是连续的，那么都有一个分布曲线。实践和理论都证明：有一种特殊而常用的分布，它的分布曲线是有规律的，这就是正态分布。正态分布曲线取决于这个随机变量的一些表征数，其中最重要的是平均值和差异度。平均值也叫数学期望，差异度也就是标准方差。

数理统计包括抽样、适线问题、假设检验、方差分析、相关分析等内容。

根据大纲要求，本章教学目标为：

1.掌握分类计数原理和分步计数原理，并能运用它们分析和解决一些简单的应用问题。

2.理解随机事件发生的不确定性及频率的稳定性，理解概率的定义，能说出频率与概率的区别，初步学会用频率近似代替概率解决简单的实际问题。

3.理解概率的基本性质，理解互斥事件和对立事件的意义，理解互斥事件和对立事件的概率计算性质及公式。

4.理解等可能事件的意义，理解古典概型与几何概型的两个基本特征及其概率计算公式，会用计数原理求解古典概型中概率计算问题，会初步学会将某些实际问题转化为古典概型或几何概型解决。

5.理解总体、个体、样本、样本容量等概念的意义，了解随机抽样的必要性和重要性，会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本，收集样本数据，了解分层抽样和系统抽样方法。

6.在样本数据整理中，会列频率分布表，绘频率分布直方图，了解用样本的频率分布估计总体分布的思想方法。

7.在样本数据分析中，理解样本均值、方差及标准差的意义，会根据公式求一个样本均值、方差及标准差，会用样本均值、方差及标准差估计总体的均值和标准差，推断总体数据的集中趋势和离散程度。

8.了解散点图，知道变量相关关系的意义，了解最小二乘法的思想方法，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程，会用科学计算器求回归系数。

二、概率统计章节编写思路

在初中阶段，学生粗略地感知不确定事件发生的可能性有大小，初步认识到用数量能较为精确地刻画某一事件发生的可能性大小，对于简单的古典概型涉及的计算，仅限于列举法或树状图所能进行的计数。本章内容分为三个部分：计数原理、随机事件的概率及统计推断。

“计数原理”的基本设计思路：本节的开篇就提出生活中到处需要计数，用一个一个数的方法，在稍微复杂情形下很费时甚至数不过来，使学生认识学习计数原理的必要性。然后采取“阅读问题——再分解问题——引导探究——归纳概括”的方式，安排了具体例证中归纳两个计数原理的活动，以引导学生经历原理的概括过程，并使学生学会面对一个复杂的计数问题。

“随机事件概率”的基本设计思路：本着从认识随机现象与应用随机观念解释现实世界中各种现象两个方面，采用“问题情境——引导探究——归纳概括”的方式，帮助学生建立随机观念的意图。首先，通过列举各种各样的现象引导学生从结果能否预知的角度出发，帮助学生理解随机现象和确定性现象的概念；从研究随机现象的角度出发，引入随机试验的概念，使学生理解随机事件、必然事件和不可能事件的概念，进而能辨别一个事件是否是确定事件。其次，根据概率的定义，在概率基本性质的基础上，通过同一试验中不同事件是否同时发生的实际问题探究，理解互斥事件与对立事件的概念。再次，针对一类试验的所有结果出现具有等可能性，介绍了两种特殊的概率模型，即古典概型与几何概型。

“统计推断”的基本设计思路：本部分内容主要解决如何从总体中抽取样本，如何通过所抽取的样本进行计算和分析，对总体的相应情况做出推断的问题。在抽样方法方面着重介绍了简单随机抽样、统计抽样和分层抽样。

三、概率统计章节教学建议

（一）本章教学建议

1.关于计数原理的教学。一要准确把握教学要求；二要注意认真剖析概念；三要注意从不同角度思考和解决计数问题。

2.关于随机事件概率的教学。一要充分认识概率教学的困难，重视学生的实践活动；二要注意概念的区别与联系的教学；三要避免用排列组合知识计算古典概型的例题和习题，把计数的方法局限于列举法或计数原理；四要注意渗透数学思想方法，引导学生感受、体会并能初步简单运用。本章涉及的数学思想方法主要有：抽象概括建立模型的思想方法、分类讨论的思想方法、化归的思想方法、数形结合的思想方法等等。

3.关于统计推断的教学。一要重视展开探究活动，让学生在了解探究任务中产生兴趣，让学生在探究活动中进入学习状态，让学生在分析真实数据中形成新的思考习惯，让学生在交流探究结论中加深对新知的理解；二要关注与学生的实际经验相联系，让学生参与统计研究的实际操作过程，体会统计思想，形成运用统计方法解决实际问题的意识，同时使学生认识到统计在日常生活中有着广泛的应用；三要注意要求学生多运用计算器、计算机等现代工具处理数据。

（二）各节教学建议

1.计数原理

本节教学重点是对两个计数原理的理解。这两个原理都涉及完成一件事不同方法的总数，它们的区别在于：分类计数原理与“分类”有关，各种方法互相独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤互相依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。

本节教学难点是两个计数原理的运用。做一件事，完成它可以有n类办法，是对完成这件事所有方法的分类。分类时，首先要根据问题的特点确定分类的标准，然后在确定的标准下进行分类。而做一件事完成它需要分成n个步骤，分步时也要先确定分步的标准，完成这件事必须且只需连续完成这n个步骤后这件事才算完成。

2.随机事件和概率

本节是关于概率的引入部分，对于现实世界中各种各样的现象，从结果能否预知的角度出发，可以分两大类，一类现象的结果是无法预知的，即随机现象，一类现象的结果总是确定的，即确定性现象。为了研究的方便，把条件每实现一次，叫做进行一次试验，如果试验结果事先无法确定，并可以重复进行，这种试验叫做随机试验。而每次试验的结果称为一个条件，随机事件是指在一定的条件下新出现的某种结果。

本节教学的重点是了解概率的意义，难点是认识概率与频率的区别，关键是知道一个事件是随机事件、必然事件还是不可能事件，尽管不可能事件与必然事件是相互对立的，但它们也可以看成是随机事件的两个极端，而且统一在随机事件之中。

3.概率的简单性质

本节根据概率的定义，推出了随机事件概率的取值范围的基本性质、如何计算复合事件的概率。本节确定了互斥事件这一最简单的情况，即两个事件至多一个发生，它们可能都不发生，但不可能都发生，并给出了两个事件A与B的和的意义。通过实例得出概率的加法公式。如果A、B是互斥事件，那么A与B和的概率等于事件A与事件B的概率之和。这个性质仅适用于两个事件是互斥的，然而与互斥事件的概率相近的概念是对立事件，相应地得出对立事件的概率之和等于1的结论。

本节教学的重点是了解互斥事件的概念，以及互斥事件的概率加法公式，教学的难点是互斥事件与对立事件的联系与区别的理解。两个事件对立是这两个事件互斥的充分条件，但不是必要条件。

4.等可能事件的概率

本节是在概率的统计定义的基础上进一步研究等可能事件的概率。由于进行大量重复试验的工作量大，结果有一定的摆动性，有些试验还具有破坏性，因此通过大量重复试验用频率来表示概率有局限性，而确认研究的事件是等可能事件，可较好解决这个局限性。等可能模型根据事件的个数是有限还是无限，分为古典概型及几何概型两类。然而古典概型的特点是：在每次试验中，不同的试验结果只有有限个。几何概型的特点是：基本事件发生是等可能的，且基本事件有无数个。

本节教学重点是理解等可能事件的意义，会把事件分解成等可能基本事件。理解古典概型和几何概型的基本特点以及两个概型的区别和联系。教学难点是将实际问题抽象为数学模型。教学的关键是分清古典概型基本事件总数与事件包含的基本事件个数。

5.总体样本和抽样方法

本节首先通过获取信息是采用普查还是抽样的探究，认识抽样的必要性，进而认识总体、个体、样本、样本容量等概念。

本节教学重点是简单随机抽样的理解。教学难点是在三种随机抽样中，每个个体被抽到的可能性相等的理解。教学的关键在于对本节中几个探究问题所指向的概念本质特征的引导。

6.总体分布的估计

本节主要是用样本的频率分布区估计总体分布。本节首先从具体问题的探究，说明用样本的频率分布统计总体的频率分布的重要性；然后结合具体案例介绍频率分布表的制作步骤，以及作分布直方图的方法。

本节教学的重点是通过频率分布图、频率分布直方图对总体进行估计。教学难点是作频率分布直方图中以频率÷组距为纵轴的理解。教学关键要体现合理分组的重要性，应针对具体问题进行具体分析。

7.总体特征值的估计

统计里有两类特征值，一类显示数据的集中趋势，常见的有平均数、中位数、众数等；一类是显示数据的离散程度（波动大小），常见的有极差、方差、标准差等。之所以介绍这两类特征值，是因为有时很难知道数据的分布规律，而这两类特征值能对数据的情况做出简要的描述，而且有些实际问题并不需要知道考察对象的整体情况，只需要了解它的某些数据特征就行了。

本节教学难点是让学生理解平均数是刻画数据集中趋势的特征值，方差是刻画数据离散程度特征值的理由；教学重点是让学生能用样本平均数去描述总体水平，能用样本方差、标准差比较数据稳定性水平。

8.一元线性回归。

散点图在分析两个变量之间的关系中起着非常重要的作用。对于散点图，可以做出如下判断：一是如果所有样本点都落在某一函数曲线上，就用该函数来描述变量之间的关系，即变量之间具有函数关系；二是如果所有样本点都落在某一函数曲线附近，变量之间就有相关关系；三是如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系。借助用平均值估计物体重量的方法，探求最佳估计，建立线性回归方程，结合例题学习用科学计算器求回归系数，可减少运算量。

本节教学重点是利用散点图直观体会两个变量之间的线性相关关系，教学难点是利用最小二乘法的思想，得到线性回归方程的系数公式，当然具体的线性回归公式可不讲推导过程，也不要记忆。■

（作者单位：江苏省盐城市教育科学研究院）