为概念的理解而教

徐斌

《倍的认识》是苏教版数学二年级下册的教学内容。本节课的学习内容主要是倍的认识和求一个数是另一个数的几倍的实际问题。倍数关系是生活中最为常见的数量关系之一，建立倍的概念，有助于学生进一步理解乘法和除法的含义，拓宽应用乘、除法运算解决实际问题的范围。教材首先呈现了经过加工的生活场景，图中三个小朋友围着一个花坛数其中各种花的朵数，并根据每种花的数量进行比较，由此引出“蓝花有2朵，黄花有3个2朵，黄花的朵数是蓝花的3倍”，从而使学生初步认识倍的含义。在此基础上，通过红花有8朵，8里面有4个2朵，让学生学会用除法算式进行计算。然后通过相应练习帮助学生逐步理解概念，积累活动经验，掌握求一个数是另一个数的几倍的方法，体会数学与生活的密切联系，获得解决问题的成功经验，提高学好数学的信心。

【教学过程】

一、复习旧知，孕伏算法

谈话引入，提问口答：6里面有几个3？用什么方法可以算出来？10里面有几个2？15里面有几个5？

求一个数里面有几个另一个数用什么方法计算？（用除法计算）

二、引入新知，理解概念

1.创设情境。（课件显示）

讲述：春暖花开，同学们来到学校花坛。花坛里开满了鲜花。图（见教材）中有哪几种颜色的花？你能分别数数有几朵吗？

提问：根据这些已知信息，你能提出哪些数学问题？

（预设学生可能会提出的问题）

（1）蓝花和黄花一共有多少朵？

（2）蓝花和红花一共有多少朵？

（3）红花和黄花一共有多少朵？

（4）三种花一共有多少朵？

（5）黄花比蓝花多几朵？

（6）蓝花比红花少几朵？

讲述：同学们提出的问题都很有价值。其中，不少同学提出了比较两种花多少的问题，也就是求两个数量相差多少。其实，比较两个数量除了我们已经学过的求相差多少，还有另一种方法——倍。（揭示课题：倍的认识）

2.初步感知。（教具演示）

（教师根据学生数出的花朵，先把2朵蓝花排在一起并画上集合圈）我们把2朵蓝花看作1份。那么黄花有这样的几份呢？

讲述：黄花有3个2朵，我们就说黄花的朵数是蓝花的3倍。

3.动手操作。（圈画图形）

提出：刚才我们比较了黄花朵数和蓝花朵数之间的倍数关系。那么红花朵数是蓝花的几倍呢？（教师带领学生在教材上圈一圈，填一填。）提问：蓝花有2朵，红花有8朵，8里面有几个2？用什么方法计算？

（板书：8÷2=4）在这里8表示什么？2表示什么？4表示什么？

4.变式训练。（课件分别动态显示）

（1）变化红花的数量。

讲述：我们刚才已经比较了红花的朵数是蓝花的4倍。现在老师适当改变红花的朵数，你还能比较吗？

（2）变化两种花的数量。

讲述：刚才我们已经知道，蓝花2朵，黄花6朵。现在蓝花增加1朵变成3朵，如果依旧要使黄花朵数是蓝花的3倍，可以怎么办？如果蓝花变成1朵呢？

5.归纳小结。

提问：通过刚才的学习，你对倍有了怎样的认识？

三、活动探索，内化新知

1.拍手游戏。

×××

××× ××× ×××

（师先拍三下，要求学生拍的次数是老师的3倍。）

（学生首先同桌进行拍手游戏，然后指名两个学生演示拍手游戏，其余同学根据拍手情况列式计算。）

2.操作小棒。（学具活动）

第一排摆：

第一排摆：

6里面有（ ）个3，第二排小棒的根数是第一排的（ ）倍。

如果第二排摆15根，15里面有（ ）个3，第二排小棒的根数是第一排的（ ）倍。

3.观察图形。（课件动态演示）

讲述：这里有两种颜色的带子，你能看出红带子的长是绿带子的几倍吗？（1倍）

提问：红带子的长是绿带子的1倍，其实两根带子的长度是什么关系？

观察提问：变化后的红带子的长是绿带子的几倍？为什么？

当带子变细了，这时红带子的长是绿带子的几倍？

当带子继续变化，成了两条线段，第二条线段的长度是第一条的几倍？

4.测量线段。（学生操作）

（学生在课本上测量并列式计算，然后交流反馈。）

5.连线填空。（学生在课本上独立完成）

（1）

10里面有（ ）个2，个数是的（ ）倍。

（2）

12里面有（ ）个4，的个数是的（ ）倍。

6.口答倍数。（卡片选择）

教师出示几张数字卡片，让学生选择两个数，说出两数之间的倍数关系。

（卡片上的数有1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。）

四、应用拓展，积累经验

课堂总结后进行涂色游戏。（要求先涂色，然后算出空白圆的个数是涂色圆的几倍。）

【教学思考】

“倍的认识”这节课属于概念教学。著名心理学家奥苏伯尔说过：“比起世界上的各种现象来说，人实际上是生活在一个概念的世界里。”概念是数学学科知识中的重要组成部分，概念教学历来是数学教学中的难点，因为数学概念通常比较抽象，而儿童的思维又是以具体形象思维为主。从概念学习的一般规律来说，本课主要抓住了以下四个方面的要点。

一、了解概念的来源

小学数学的大多概念来源于学生的生活经验，同时也常常能从学生的已有知识中发展而来，倍的概念就是如此。一方面，学生生活经验中经常遇到两个量成倍数关系的现象，也经常听到有关倍的比较性说法，甚至有一些错误的说法；另一方面，学生认知结构中已经积累了对一些数量之间进行比较的方法，尤其是比较多少的方法。在这样的基础上学习新知“倍”，可以充分利用学生的生活经验，同时在比较多少的方法基础上引出“倍”，有利于实现从“差比”到“倍比”的自然过渡。

课始，教者组织相关旧知的复习，突出求一个数里有几个另一个数的含义和除法运算，为本课学习求一个数是另一个数的几倍做好必要铺垫。而在生活情境中让学生搜集数学信息，提出数学问题，比较数量多少，再引出一个数是另一个数的几倍的新知。这样的设计，从学生的数学现实出发，以旧引新，以新促旧，新旧比较，使学生了解“倍”概念产生的来龙去脉，为深入理解倍的本质打下重要基础。

二、突出概念的本质

“倍”的本质其实就是几个几，是乘法和除法意义的进一步发展。如何让学生在学习乘除法意义的基础上理解“倍”的本质，是这节课教学的重点。在新知教学过程中，通过五步展开：第一步，初建倍的概念。用教具直观演示讲解，使学生在具体形象中了解6朵是2朵的3倍。第二步，引入除法运算。让学生在动手圈画图形中进一步理解倍的概念，同时联系求8里面有几个2可以用除法计算。第三步，变化几份数。通过8朵红花变为10朵、12朵、4朵、2朵，蓝花朵数不变，使学生在变式中理解倍的含义与算法。第四步，变化一份数。通过把蓝花由2朵变为3朵、4朵、1朵，使黄花朵数依然是蓝花的3倍，这要怎么做，让学生在变和不变中深入理解倍的意义。第五步，归纳概括。让学生结合具体的数量比较过程，归纳有关倍的含义，初步概括倍的本质特征。

新课程改革以来，数学概念的教学倡导“淡化形式，注重本质”，因此，概念的教学，不像过去过早采用抽象的繁琐的文字来完整叙述，而是注重让学生不断积累感知经验，在具体形象中逐步感悟概念的含义，并逐步对相关数学活动经验进行归纳和提升，以达到对概念本质的丰富性理解。

三、沟通概念的联系

孤立的概念容易被遗忘，而单一的概念也不成体系。倍的概念虽然本课是首次学习，但是学生在生活经验中偶尔也会听说。更重要的是，倍的概念与学生已经学过的相关知识间存在着很多的内在联系。因此，在教学过程中，要不断加强沟通和比较，使新建的概念纳入学生原有的认知结构中，从而加深对概念的深度理解。

在引入倍的概念时，从求两数相差多少的比较，过渡到用“倍”来进行比较，体现从“差比”到“倍比”的发展需要；新知学习时，首先从乘法的基本含义“几个几”出发，并通过“1份”和“几份”的比较，初步建立倍的认知模型；接着在求一个数是另一个数的几倍时，联系除法的含义，通过运算再次形成倍的思维模型；然后通过变式练习活动，分别改变几份数和改变一份数，让学生巩固对倍的概念的理解；在“1倍”这一特例的处理上，结合数量的变化过程，直观地沟通起“1倍”与“同样多”的联系，并进一步沟通“1倍”和“几倍”的关系。

四、体现概念的应用

学以致用是数学教学的重要目标。因此，数学教学中有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题，这是培养学生应用意识的重要途径。而低年级学生的认知规律启示我们，只有设计目标多层、内容丰富和形式多样的应用练习，才能顺应儿童的心理特点和数学学科的本质。正如乌申斯基所说：“一般说来，儿童是依靠颜色、声音、动作等感觉来进行思维的。”

从概念应用的目标来看，本课的应用体现为基础性应用、对比性应用和发散性应用三方面；从概念应用的内容来看，本课主要体现为数学应用（应用倍的知识判断两数关系和列式计算倍数）、生活应用（判断白球和彩球的倍数关系、红萝卜和白萝卜的倍数关系等）和拓展应用（从12个圆圈中灵活寻找空白和涂色数量之间的倍数关系）三方面；从概念应用的形式来看，则有操作应用（包括摆小棒和测量）、运算应用（包括列式计算和选择卡片）、游戏应用（包括拍手游戏和涂色游戏）三方面。

从这节课的教学可以看出，数学概念教学需关注四个要素，即来源、本质、联系和应用。让学生了解概念的产生和来源，有利于引发学生的认知动机，有利于为概念寻找现实意义；理解概念的本质和意义，有利于经历概念的形成过程，有利于建构概念的数学模型；沟通概念间的内在联系，有利于丰富学生的认知结构，有利于形成有效的知识系统；加强概念的练习和应用，有利于提高学生的应用意识，有利于培养学生的数学素养。

课始，教者组织相关旧知的复习，突出求一个数里有几个另一个数的含义和除法运算，为本课学习求一个数是另一个数的几倍做好必要铺垫。而在生活情境中让学生搜集数学信息，提出数学问题，比较数量多少，再引出一个数是另一个数的几倍的新知。这样的设计，从学生的数学现实出发，以旧引新，以新促旧，新旧比较，使学生了解“倍”概念产生的来龙去脉，为深入理解倍的本质打下重要基础。

二、突出概念的本质

“倍”的本质其实就是几个几，是乘法和除法意义的进一步发展。如何让学生在学习乘除法意义的基础上理解“倍”的本质，是这节课教学的重点。在新知教学过程中，通过五步展开：第一步，初建倍的概念。用教具直观演示讲解，使学生在具体形象中了解6朵是2朵的3倍。第二步，引入除法运算。让学生在动手圈画图形中进一步理解倍的概念，同时联系求8里面有几个2可以用除法计算。第三步，变化几份数。通过8朵红花变为10朵、12朵、4朵、2朵，蓝花朵数不变，使学生在变式中理解倍的含义与算法。第四步，变化一份数。通过把蓝花由2朵变为3朵、4朵、1朵，使黄花朵数依然是蓝花的3倍，这要怎么做，让学生在变和不变中深入理解倍的意义。第五步，归纳概括。让学生结合具体的数量比较过程，归纳有关倍的含义，初步概括倍的本质特征。

新课程改革以来，数学概念的教学倡导“淡化形式，注重本质”，因此，概念的教学，不像过去过早采用抽象的繁琐的文字来完整叙述，而是注重让学生不断积累感知经验，在具体形象中逐步感悟概念的含义，并逐步对相关数学活动经验进行归纳和提升，以达到对概念本质的丰富性理解。

三、沟通概念的联系

孤立的概念容易被遗忘，而单一的概念也不成体系。倍的概念虽然本课是首次学习，但是学生在生活经验中偶尔也会听说。更重要的是，倍的概念与学生已经学过的相关知识间存在着很多的内在联系。因此，在教学过程中，要不断加强沟通和比较，使新建的概念纳入学生原有的认知结构中，从而加深对概念的深度理解。

在引入倍的概念时，从求两数相差多少的比较，过渡到用“倍”来进行比较，体现从“差比”到“倍比”的发展需要；新知学习时，首先从乘法的基本含义“几个几”出发，并通过“1份”和“几份”的比较，初步建立倍的认知模型；接着在求一个数是另一个数的几倍时，联系除法的含义，通过运算再次形成倍的思维模型；然后通过变式练习活动，分别改变几份数和改变一份数，让学生巩固对倍的概念的理解；在“1倍”这一特例的处理上，结合数量的变化过程，直观地沟通起“1倍”与“同样多”的联系，并进一步沟通“1倍”和“几倍”的关系。

四、体现概念的应用

学以致用是数学教学的重要目标。因此，数学教学中有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题，这是培养学生应用意识的重要途径。而低年级学生的认知规律启示我们，只有设计目标多层、内容丰富和形式多样的应用练习，才能顺应儿童的心理特点和数学学科的本质。正如乌申斯基所说：“一般说来，儿童是依靠颜色、声音、动作等感觉来进行思维的。”

从概念应用的目标来看，本课的应用体现为基础性应用、对比性应用和发散性应用三方面；从概念应用的内容来看，本课主要体现为数学应用（应用倍的知识判断两数关系和列式计算倍数）、生活应用（判断白球和彩球的倍数关系、红萝卜和白萝卜的倍数关系等）和拓展应用（从12个圆圈中灵活寻找空白和涂色数量之间的倍数关系）三方面；从概念应用的形式来看，则有操作应用（包括摆小棒和测量）、运算应用（包括列式计算和选择卡片）、游戏应用（包括拍手游戏和涂色游戏）三方面。

从这节课的教学可以看出，数学概念教学需关注四个要素，即来源、本质、联系和应用。让学生了解概念的产生和来源，有利于引发学生的认知动机，有利于为概念寻找现实意义；理解概念的本质和意义，有利于经历概念的形成过程，有利于建构概念的数学模型；沟通概念间的内在联系，有利于丰富学生的认知结构，有利于形成有效的知识系统；加强概念的练习和应用，有利于提高学生的应用意识，有利于培养学生的数学素养。

课始，教者组织相关旧知的复习，突出求一个数里有几个另一个数的含义和除法运算，为本课学习求一个数是另一个数的几倍做好必要铺垫。而在生活情境中让学生搜集数学信息，提出数学问题，比较数量多少，再引出一个数是另一个数的几倍的新知。这样的设计，从学生的数学现实出发，以旧引新，以新促旧，新旧比较，使学生了解“倍”概念产生的来龙去脉，为深入理解倍的本质打下重要基础。

二、突出概念的本质

“倍”的本质其实就是几个几，是乘法和除法意义的进一步发展。如何让学生在学习乘除法意义的基础上理解“倍”的本质，是这节课教学的重点。在新知教学过程中，通过五步展开：第一步，初建倍的概念。用教具直观演示讲解，使学生在具体形象中了解6朵是2朵的3倍。第二步，引入除法运算。让学生在动手圈画图形中进一步理解倍的概念，同时联系求8里面有几个2可以用除法计算。第三步，变化几份数。通过8朵红花变为10朵、12朵、4朵、2朵，蓝花朵数不变，使学生在变式中理解倍的含义与算法。第四步，变化一份数。通过把蓝花由2朵变为3朵、4朵、1朵，使黄花朵数依然是蓝花的3倍，这要怎么做，让学生在变和不变中深入理解倍的意义。第五步，归纳概括。让学生结合具体的数量比较过程，归纳有关倍的含义，初步概括倍的本质特征。

新课程改革以来，数学概念的教学倡导“淡化形式，注重本质”，因此，概念的教学，不像过去过早采用抽象的繁琐的文字来完整叙述，而是注重让学生不断积累感知经验，在具体形象中逐步感悟概念的含义，并逐步对相关数学活动经验进行归纳和提升，以达到对概念本质的丰富性理解。

三、沟通概念的联系

孤立的概念容易被遗忘，而单一的概念也不成体系。倍的概念虽然本课是首次学习，但是学生在生活经验中偶尔也会听说。更重要的是，倍的概念与学生已经学过的相关知识间存在着很多的内在联系。因此，在教学过程中，要不断加强沟通和比较，使新建的概念纳入学生原有的认知结构中，从而加深对概念的深度理解。

在引入倍的概念时，从求两数相差多少的比较，过渡到用“倍”来进行比较，体现从“差比”到“倍比”的发展需要；新知学习时，首先从乘法的基本含义“几个几”出发，并通过“1份”和“几份”的比较，初步建立倍的认知模型；接着在求一个数是另一个数的几倍时，联系除法的含义，通过运算再次形成倍的思维模型；然后通过变式练习活动，分别改变几份数和改变一份数，让学生巩固对倍的概念的理解；在“1倍”这一特例的处理上，结合数量的变化过程，直观地沟通起“1倍”与“同样多”的联系，并进一步沟通“1倍”和“几倍”的关系。

四、体现概念的应用

学以致用是数学教学的重要目标。因此，数学教学中有意识地利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题，这是培养学生应用意识的重要途径。而低年级学生的认知规律启示我们，只有设计目标多层、内容丰富和形式多样的应用练习，才能顺应儿童的心理特点和数学学科的本质。正如乌申斯基所说：“一般说来，儿童是依靠颜色、声音、动作等感觉来进行思维的。”

从概念应用的目标来看，本课的应用体现为基础性应用、对比性应用和发散性应用三方面；从概念应用的内容来看，本课主要体现为数学应用（应用倍的知识判断两数关系和列式计算倍数）、生活应用（判断白球和彩球的倍数关系、红萝卜和白萝卜的倍数关系等）和拓展应用（从12个圆圈中灵活寻找空白和涂色数量之间的倍数关系）三方面；从概念应用的形式来看，则有操作应用（包括摆小棒和测量）、运算应用（包括列式计算和选择卡片）、游戏应用（包括拍手游戏和涂色游戏）三方面。

从这节课的教学可以看出，数学概念教学需关注四个要素，即来源、本质、联系和应用。让学生了解概念的产生和来源，有利于引发学生的认知动机，有利于为概念寻找现实意义；理解概念的本质和意义，有利于经历概念的形成过程，有利于建构概念的数学模型；沟通概念间的内在联系，有利于丰富学生的认知结构，有利于形成有效的知识系统；加强概念的练习和应用，有利于提高学生的应用意识，有利于培养学生的数学素养。