论有意义接受学习理论在数学教学中的应用*
2014-02-17蒋学聪
一、有意义接受学习理论
1.有意义接受学习在学习数学中的作用
在学习数学的时候使用有意义学习的方式，学生可以不用重新发现，而只需要在原有知识体系中寻找和新知识之间稳定的关联点，让它们之间进行融合，完成新旧资料之间的同化过程，从而实现知识的积累或者知识结构的改变。比方说，在学习“四则混合运算定理”的时候，学生只需要在已经学会单独使用这四种运算方法的前提下，记住“先进行乘除，后进行加减”的运算顺序，就可以完成这一新知识点的学习。逻辑性是数学的最大特征，相互联系的知识点构成一个完整的系统，这就让数学学习具有较大的思想性[1]。因此，大部分的数学知识需要使用有意义学习的方式来完成学习。
一般来说，有意义学习数学的过程，不但是学生通过新旧材料之间的关系学习新知识的过程，也是学生利用它们之间的联系对原有知识体系进行改造的过程。而完成这一过程的关键是对知识的“理解”。对于学生来说，这一过程是创新学习思维方式，是激发思考，是让他们保持兴奋的动力；对于教师来说，这一过程是教师遵照人类能力形成的一般原则指引学生通过努力实现能力提升的过程。
2.有意义接受学习的过程
关于新知识的学习，皮亚杰的观点是：学习不是学生对新知识的阐述，而是原有知识和新知识之间相互影响的过程。奥苏贝尔对这一观点进行了延伸，他认为学习新知识的过程就是对学生心理和新知识结构进行了解的过程[2]。
他这一观点的重心是学生对新材料的接受程度，学习的关键在于他原有的知识体系是不是和新知识之间有联系点，有意义学习的过程中材料和原有知识体系内部知识点相互影响，而这种影响不但是对新材料的影响，也包含对原有知识体系的改变。奥苏贝尔通过特别的公式来展现同化是如何发生的，他用“a”代表新材料，用“A”代表原有知识体系中的知识点，那么同化发生的过程就可以通过下面的式子展现：
同化之后，不但新材料的意义有所转变，就是原有知识点也都具备了新的意义。A转变为“A'”，a转变为“a'”。但是式子中所表现的只是同化过程的一个环节，在这一环节结束之后，马上就会有新的环节开始，也就是遗忘环节。假如在这一环节结束之后，不能很好地实现“A'+a'”状态中两个元素的分离，慢慢的“A'+a'”的综合就会被A'或A所取代，也就是说新材料在新的知识体系中被遗忘或者是取代。所以说这只是整个同化过程的一个子过程，随着这个子过程的完成，会有一个新的过程接踵而至，这就是遗忘过程。而想要减少新知识的遗忘，必须立即进行下一个同化环节，增加新材料中的可利用元素。其进程可以展现如下：
奥苏贝尔用同化这一观点来总结学习的规律，我们把这种模式归纳总结运用到教学当中去帮助学生开展有意义接受学习，在保持原有知识的前提下去拓展新知识[3]。奥苏贝尔在这方面没有得出最终结果，但是他用上面的公式来表示同化的过程，说明他还是在这方面进行了试验的，这样的试验具有不同凡响的意义。
二、有意义接受学习教学案例
1.下位学习案例（新授课：矩形）
本案例中的教学是对于矩形的新授课，学生之前已经学习了平行四边形，所以在进行矩形的新授课时，想首先在平行四边和矩形的定义之间建立联系，然后再讲授矩形的相关知识。
（1）思考
①当∠a发生改变，平行四边形的两条对角线的长度相应的怎么改变？
②当∠a是锐角时，对角线是否等长？如果∠a是钝角呢？
③当∠a是直角时，平行四边形为矩形，对角线是否等长？
答：在上述活动中
①当∠a的大小发生变化时，两条对角线也会发生相应的改变，长度较长的对角线相应变短，短的则会变长。如果∠a变成直角时，两条对角线的长度则会相等。当∠a再发生变化时，对角线的长度又会发生相应的改变。
②当∠a是锐角或钝角时，平行四边形对角线的长度不等。
③如果∠a是直角，此时的平行四边形就属于矩形，这时两条对角线是等长的。
结论：任意一条对角线都能把矩形分为两个全等的直角三角形，两条对角线将矩形分为四个等腰三角形。所以，关于很多矩形问题的解决可以通过直角三角形或者是等腰三角形来解决。
矩形的性质：对边平行且相等；四个角都是直角；对角线等长且平分。
（2）巩固练习
下图中，矩形abcd，ad、cb交于点e，∠aeb=60°，ac=4cm.
①△aec是什么形状？
②求对角线的长。
分析：①矩形的性质中就有对角线相等并平分，所以ae=ec，在△aec中，因为∠aec=60°，而且两边ea=ec，所以△aec是等边三角形。
②可直接运用矩形的性质来求对角线的长度。
解：①在矩形abdc中，
∵ad和cb是矩形abdc的对角线，ad与bc等长且平分
∴ea=ec，所以△aec为等腰三角形。
又∵∠aec=60°
∴△aec是等边三角形。
②∵△aec是等边三角形，
∴ea=ac=4cm，矩形的对角线不但相等而且平分，可以得出ad=cb=2ea=8cm
∴对角线长度为8cm。
想一想：当平行四边形的对角线相等时，这样的平行四边形是什么四边形？怎么证明？和同学相互交流。
答：对角线等长的平行四边形是矩形。
证明：图中的平行四边形abdc中，ac=bd，cb=ad，cd=ab
∴△abc=△bdc（SSS）
∴∠acd=∠bdc
又∵ac//bd
∴∠acd+∠bdc=2∠acd=180°，即∠acd=90°
∴平行四边形abdc是矩形
∴对角线等长的平行四边形是矩形
由以上叙述我们可以总结出判读矩形的两个条件：
①内角为直角的平行四边形是矩形
②对角线等长的平行四边形是矩形
（3）归纳总结
①矩形的性质
所有内角都是直角；对角线不但相等而且平分；对边平行而且相等；轴对称图形。
②矩形的判别条件
矩形的判别可以分为两个步骤来进行，首先是看待定四边形是不是平行四边形，然后就要找出平行四边形中是否有直角。
（4）评析
平行四边形是一种比较特殊的四边形，而矩形在平行四边形中也是属于比较特别的一种，矩形就是平行四边形的一个下位概念。因为矩形是通过对平行四边形的条件加以限定而得出的，说明了相较于矩形，平行四边形具有更强的包摄性。通过矩形的学习，不但巩固了平行四边形的关键属性，还对平行四边形的关键属性进行了扩充。
对教材进行相应的分析可以得出，本节学习的课程符合有意义接受学习的条件，本节课程体现了奥苏贝尔学习理论中的“下位学习”。新的关于矩形的知识和已掌握的关于平行四边形的知识形成了下位关系，新的概念被同化以后并没有使上位概念发生本质的改变，但是上位概念具备了更强的概括性、包容性以及可迁移性。可以利用这一关系对平行四边形进行加工，找出平行四边形和矩形二者之间的关系：对角线相等的平行四边形就是矩形；平行四边形中有一个内角是直角的就是矩形等。矩形的知识就会被同化到平行四边形的知识结构中，而平行四边形的原有知识结构也会得到补充，就建立起了新的平行四边形的知识结构[5]。
2.上位学习案例（新授课：二元一次不等式）
（1）出示情景
呈现不等式题目并求解：y2-y-2<0
方案一，转换为不等式组，师生共解。如下：
根据原不等式等价于（y-2）（y+1）<0，得：
y-2<0y+1>0或者y-2>0y+1<0
所以解不等式组即原不等式的解集为：
{y|-1 方案二，应用变式，师导生解。如下： 根据原不等式等价于： y2-y+■-■-2<0，即■<■，或者（y-■）2<■。 教师在此处需要留足时间，便于学生认真思索上式的变式如何呈现。 思考后得出：|（y-■）|<■，得出{y|-1 （2）提出问题 ①教师提出问题：假如不动笔解不等式，你有没有办法写出不等式y2-y-2<0的解集？ ②教师“搭桥”：请你思考原式的补集并思考跟不等式的解集有什么联系？ ③教师继续引导：仔细观察不等式y2-y-2<0，y2-y-2>0及方程y2-y-2=0，认真思考，你有什么新发现？或者是你有哪些疑惑呢？ ④学生汇报交流。 发现1：通过计算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；观察不等式会发现，他们的解集分别与-1和2有关，数轴直观的显示出y2-y-2<0的解集处于在两根之外的范围，y2-y-2>0的解集集中在两根之间的区间。发现2：根据上面的规律，我们可以先求出方程的根，再求不等式的解。 （3）归纳提升 ①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1 ②教师表扬学生表述的非常清楚。新的情况是，附加说明a<0，需要怎样做？（学生轻易得出：将不等式的两边同时乘以-1就可以了。） （4）拓展练习 ①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2 ③-x2+2x+3<0 ④8x2-8x+2<0 （5）评析 从本节课的片段中不难发现，这是一节典型的“上位学习”方式的具体运用，符合有意义接受学习的基本条件。本节课中学生的原有知识与新授知识（一元二次不等式的解法）之间构成了典型的上位关系。（见图3） 上位关系示意图清晰地显示出新知识与原有五个知识点之间的联系，新知识既是对原有知识的归纳概括，又能将原有知识加以整合运用。例如，解集是要用集合来呈现，求解过程通常需要化归后解决，数形结合的直观理解等，可见，新知识与原有知识相比，其包容性与概括性更强[5]。 化归思想、迁移思想以及数形结合思想的渗透与应用贯穿整个过程，师生的数学探究包含了教师的有效引导和学生的主动探究、积极思索、合理总结，整个案例呈现出了高效地运用上位学习的方式完成有意义接受学习的过程。 参考文献 [1] 王艳青，代钦.高中数学解题教学中的分类讨论策略.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（12）. [2] 刘丽娟.奥苏贝尔有意义学习理论及对当今教学的启示.南方论刊，2009（5）. [3] 蒋学聪.提高数学教师有效备课质量之研究.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2013（6）. [4] 成成.奥苏贝尔“接受学习”与布鲁纳“发现学习”的比较.新课程研究（基础教育），2010（2）. [5] 刘彩梅.教学要追求形式美和实质美.教学与管理，2013（6）.
∴平行四边形abdc是矩形
∴对角线等长的平行四边形是矩形
由以上叙述我们可以总结出判读矩形的两个条件：
①内角为直角的平行四边形是矩形
②对角线等长的平行四边形是矩形
（3）归纳总结
①矩形的性质
所有内角都是直角；对角线不但相等而且平分；对边平行而且相等；轴对称图形。
②矩形的判别条件
矩形的判别可以分为两个步骤来进行，首先是看待定四边形是不是平行四边形，然后就要找出平行四边形中是否有直角。
（4）评析
平行四边形是一种比较特殊的四边形，而矩形在平行四边形中也是属于比较特别的一种，矩形就是平行四边形的一个下位概念。因为矩形是通过对平行四边形的条件加以限定而得出的，说明了相较于矩形，平行四边形具有更强的包摄性。通过矩形的学习，不但巩固了平行四边形的关键属性，还对平行四边形的关键属性进行了扩充。
对教材进行相应的分析可以得出，本节学习的课程符合有意义接受学习的条件，本节课程体现了奥苏贝尔学习理论中的“下位学习”。新的关于矩形的知识和已掌握的关于平行四边形的知识形成了下位关系，新的概念被同化以后并没有使上位概念发生本质的改变，但是上位概念具备了更强的概括性、包容性以及可迁移性。可以利用这一关系对平行四边形进行加工，找出平行四边形和矩形二者之间的关系：对角线相等的平行四边形就是矩形；平行四边形中有一个内角是直角的就是矩形等。矩形的知识就会被同化到平行四边形的知识结构中，而平行四边形的原有知识结构也会得到补充，就建立起了新的平行四边形的知识结构[5]。
2.上位学习案例（新授课：二元一次不等式）
（1）出示情景
呈现不等式题目并求解：y2-y-2<0
方案一，转换为不等式组，师生共解。如下：
根据原不等式等价于（y-2）（y+1）<0，得：
y-2<0y+1>0或者y-2>0y+1<0
所以解不等式组即原不等式的解集为：
{y|-1 方案二，应用变式，师导生解。如下： 根据原不等式等价于： y2-y+■-■-2<0，即■<■，或者（y-■）2<■。 教师在此处需要留足时间，便于学生认真思索上式的变式如何呈现。 思考后得出：|（y-■）|<■，得出{y|-1 （2）提出问题 ①教师提出问题：假如不动笔解不等式，你有没有办法写出不等式y2-y-2<0的解集？ ②教师“搭桥”：请你思考原式的补集并思考跟不等式的解集有什么联系？ ③教师继续引导：仔细观察不等式y2-y-2<0，y2-y-2>0及方程y2-y-2=0，认真思考，你有什么新发现？或者是你有哪些疑惑呢？ ④学生汇报交流。 发现1：通过计算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；观察不等式会发现，他们的解集分别与-1和2有关，数轴直观的显示出y2-y-2<0的解集处于在两根之外的范围，y2-y-2>0的解集集中在两根之间的区间。发现2：根据上面的规律，我们可以先求出方程的根，再求不等式的解。 （3）归纳提升 ①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1 ②教师表扬学生表述的非常清楚。新的情况是，附加说明a<0，需要怎样做？（学生轻易得出：将不等式的两边同时乘以-1就可以了。） （4）拓展练习 ①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2 ③-x2+2x+3<0 ④8x2-8x+2<0 （5）评析 从本节课的片段中不难发现，这是一节典型的“上位学习”方式的具体运用，符合有意义接受学习的基本条件。本节课中学生的原有知识与新授知识（一元二次不等式的解法）之间构成了典型的上位关系。（见图3） 上位关系示意图清晰地显示出新知识与原有五个知识点之间的联系，新知识既是对原有知识的归纳概括，又能将原有知识加以整合运用。例如，解集是要用集合来呈现，求解过程通常需要化归后解决，数形结合的直观理解等，可见，新知识与原有知识相比，其包容性与概括性更强[5]。 化归思想、迁移思想以及数形结合思想的渗透与应用贯穿整个过程，师生的数学探究包含了教师的有效引导和学生的主动探究、积极思索、合理总结，整个案例呈现出了高效地运用上位学习的方式完成有意义接受学习的过程。 参考文献 [1] 王艳青，代钦.高中数学解题教学中的分类讨论策略.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（12）. [2] 刘丽娟.奥苏贝尔有意义学习理论及对当今教学的启示.南方论刊，2009（5）. [3] 蒋学聪.提高数学教师有效备课质量之研究.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2013（6）. [4] 成成.奥苏贝尔“接受学习”与布鲁纳“发现学习”的比较.新课程研究（基础教育），2010（2）. [5] 刘彩梅.教学要追求形式美和实质美.教学与管理，2013（6）.
∴平行四边形abdc是矩形
∴对角线等长的平行四边形是矩形
由以上叙述我们可以总结出判读矩形的两个条件：
①内角为直角的平行四边形是矩形
②对角线等长的平行四边形是矩形
（3）归纳总结
①矩形的性质
所有内角都是直角；对角线不但相等而且平分；对边平行而且相等；轴对称图形。
②矩形的判别条件
矩形的判别可以分为两个步骤来进行，首先是看待定四边形是不是平行四边形，然后就要找出平行四边形中是否有直角。
（4）评析
平行四边形是一种比较特殊的四边形，而矩形在平行四边形中也是属于比较特别的一种，矩形就是平行四边形的一个下位概念。因为矩形是通过对平行四边形的条件加以限定而得出的，说明了相较于矩形，平行四边形具有更强的包摄性。通过矩形的学习，不但巩固了平行四边形的关键属性，还对平行四边形的关键属性进行了扩充。
对教材进行相应的分析可以得出，本节学习的课程符合有意义接受学习的条件，本节课程体现了奥苏贝尔学习理论中的“下位学习”。新的关于矩形的知识和已掌握的关于平行四边形的知识形成了下位关系，新的概念被同化以后并没有使上位概念发生本质的改变，但是上位概念具备了更强的概括性、包容性以及可迁移性。可以利用这一关系对平行四边形进行加工，找出平行四边形和矩形二者之间的关系：对角线相等的平行四边形就是矩形；平行四边形中有一个内角是直角的就是矩形等。矩形的知识就会被同化到平行四边形的知识结构中，而平行四边形的原有知识结构也会得到补充，就建立起了新的平行四边形的知识结构[5]。
2.上位学习案例（新授课：二元一次不等式）
（1）出示情景
呈现不等式题目并求解：y2-y-2<0
方案一，转换为不等式组，师生共解。如下：
根据原不等式等价于（y-2）（y+1）<0，得：
y-2<0y+1>0或者y-2>0y+1<0
所以解不等式组即原不等式的解集为：
{y|-1 方案二，应用变式，师导生解。如下： 根据原不等式等价于： y2-y+■-■-2<0，即■<■，或者（y-■）2<■。 教师在此处需要留足时间，便于学生认真思索上式的变式如何呈现。 思考后得出：|（y-■）|<■，得出{y|-1 （2）提出问题 ①教师提出问题：假如不动笔解不等式，你有没有办法写出不等式y2-y-2<0的解集？ ②教师“搭桥”：请你思考原式的补集并思考跟不等式的解集有什么联系？ ③教师继续引导：仔细观察不等式y2-y-2<0，y2-y-2>0及方程y2-y-2=0，认真思考，你有什么新发现？或者是你有哪些疑惑呢？ ④学生汇报交流。 发现1：通过计算得知方程y2-y-2=0的根是-1和2；观察不等式会发现，他们的解集分别与-1和2有关，数轴直观的显示出y2-y-2<0的解集处于在两根之外的范围，y2-y-2>0的解集集中在两根之间的区间。发现2：根据上面的规律，我们可以先求出方程的根，再求不等式的解。 （3）归纳提升 ①先求出一元二次方程的根y1，y2（y1 ②教师表扬学生表述的非常清楚。新的情况是，附加说明a<0，需要怎样做？（学生轻易得出：将不等式的两边同时乘以-1就可以了。） （4）拓展练习 ①2y2-3y-2>0 ②-5x2-4x>2 ③-x2+2x+3<0 ④8x2-8x+2<0 （5）评析 从本节课的片段中不难发现，这是一节典型的“上位学习”方式的具体运用，符合有意义接受学习的基本条件。本节课中学生的原有知识与新授知识（一元二次不等式的解法）之间构成了典型的上位关系。（见图3） 上位关系示意图清晰地显示出新知识与原有五个知识点之间的联系，新知识既是对原有知识的归纳概括，又能将原有知识加以整合运用。例如，解集是要用集合来呈现，求解过程通常需要化归后解决，数形结合的直观理解等，可见，新知识与原有知识相比，其包容性与概括性更强[5]。 化归思想、迁移思想以及数形结合思想的渗透与应用贯穿整个过程，师生的数学探究包含了教师的有效引导和学生的主动探究、积极思索、合理总结，整个案例呈现出了高效地运用上位学习的方式完成有意义接受学习的过程。 参考文献 [1] 王艳青，代钦.高中数学解题教学中的分类讨论策略.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2011（12）. [2] 刘丽娟.奥苏贝尔有意义学习理论及对当今教学的启示.南方论刊，2009（5）. [3] 蒋学聪.提高数学教师有效备课质量之研究.内蒙古师范大学学报（教育科学版），2013（6）. [4] 成成.奥苏贝尔“接受学习”与布鲁纳“发现学习”的比较.新课程研究（基础教育），2010（2）. [5] 刘彩梅.教学要追求形式美和实质美.教学与管理，2013（6）.
