避开参数讨论，提高解题效率

2014-02-14杜盛伙

中学课程辅导·教学研究 2014年3期

杜盛伙

在平时的教学中，常常会遇到含有参数的问题，在解决这些问题时，不少教师挂在嘴边的是“见参就论”，总是过分强调运用分类讨论的方法来解决，久而久之，学生就走入一遇到含参数问题就分类讨论的思维误区；实际上，教师在重视分类讨论思想应用的基础上，应防止“见参就论”这种现象；面对含有参数问题时，应充分调动思维的积极性，从不同角度去考虑问题，多思考如何简化和避开分类讨论，提高解题效率。本文略举几例，谈谈如何避开参数讨论来解决问题。

一、利用必要条件，避开参数讨论

例1、f（x）=ax3-3x+1对于x∈[-1，1]总有f（x）≥0成立，则a=〖ZZ（Z〗〖ZZ）〗。

分析：由题设f（-1）≥0且f（0）≥0可得2≤a≤4…①

由f′（x）=3a（x2-〖SX（〗1〖〗a〖SX）〗）=0得x=±〖SX（〗1〖〗〖KF（〗a〖KF）〗〖SX）〗，〖SX（〗1〖〗〖KF（〗a〖KF）〗〖SX）〗∈[〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，〖SX（〗1〖〗〖KF（〗2〖KF）〗〖SX）〗]，可求得在x∈[-1，1]上，

ymin=f（〖SX（〗1〖〗〖KF（〗a〖KF）〗〖SX）〗）≥0a≥4…②，由①②得a=4。

评注：f（x）≥0恒成立等价于f（x）min≥0，本解法先利用必要条件缩小了a的范围，再利用导数求得f（x）的极小值，从而回避了对a的讨论，简化了求解程序，提高了解题效率。

例2、已知函数y=f（x）的图像与函数y=ax（a>0且a≠1）的图像关于直线y=x对称，记g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]，若y=g（x）在区间[〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，2]上是增函数，则实数a的取值范围是（）

A 〖JB（[〗2，+∞〖JB））〗 B（0，1）∪（1，2）C 〖JB（[〗〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，1〖JB））〗 D〖JB（（〗0，〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗〖JB）]〗

分析：由已知得f（x）=logax，g（x）=logax（loga2x-1），若y=g（x）在[〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，2]上是增函数，则g（〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗）

评注：按常规应分a>1，0

二、利用逆向思维，避开参数讨论

例3、已知函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1（a≠0）在[-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，2]上的最大值为3，求a的值。

分析：函数f（x）=ax2+（2a-1）x+1（a≠0）在[-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，2]上的最大值只可能在抛物线弧段的端点或顶点取得，由f（-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗）=3或f（2）=3或f（-〖SX（〗2a-1〖〗2a〖SX）〗）=3解得a=-〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗或a=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗或a=-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，检验可知满足条件的a的值为a=-〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗或a=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗。

评注：按常规应分类讨论，首先考虑a的正负，每一种情况继续考虑对称轴与定义域不同的位置关系求解，解题繁琐，但从逆向思考，避免了对参数的讨论，提高了解题的速度。

三、分离参数，避开参数讨论

例4、（2009浙江理）已知函数f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.

（I）设函数p（x）=f（x）+g（x）.若p（x）在区间（0，3）上不单调，求k的取值范围；

（II）设函数q（x）=〖JB（{〗g（x），x≥0f（x），x<0〖JB）〗是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q'（x2）=q'（x1）成立？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由.

分析：（I）因p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）-1，q'（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），因p（x）在区间（0，3）上不单调，所以p'（x）=0在（0，3）上有实数解，且无重根，由p'（x）=0得k（2x+1）=-（3x2-2x+5）

∴k=〖SX（〗（3x2-2x+5）〖〗2x+1〖SX）〗=-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗[（2x+1）+〖SX（〗9〖〗2x+1〖SX）〗-〖SX（〗10〖〗3〖SX）〗]，令t=2x+1有t∈（1，7），记h（t）=t+〖SX（〗9〖〗t〖SX）〗，则h（t）在[1，3]上单调递减，在[3，7]上单调递增，所以有h（t）∈[6，10]，于是（2x+1）+〖SX（〗9〖〗2x+1〖SX）〗∈[6，10]，得k∈[-5，-2]，而当k=-2时有p'（x）=0在（0，3）上有两个相等的实根x=1，故舍去，所以k∈[-5，-2]

（Ⅱ）略。

评注：此题若按二次函数求最值方法求解，需讨论对应二次函数对称轴与给定区间的不同位置关系求得最值，显然比较繁琐，采用参数分离法，避开了讨论，提高了解题效率。

四、挖掘隐含条件，避开参数讨论

例5、设f（x）是偶函数，x∈[-1，1]，且x∈[0，1]时，f（x）为减函数，解不等式f（1-m）

分析：由于f（x）是偶函数，故有f（x）=f（〖JB（|〗x〖JB）|〗），从而不等式f（1-m）〖JB（|〗m〖JB）|〗-1≤1-m≤1-1≤m≤1〖JB）〗，解得

0≤m≤〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗。

评注：根据函数的定义域，1-m，m∈[-1，1]，但1-m和m在[-1，0]，[0，1]的那一个区间内？如果就此讨论，将十分复杂，若注意到隐含条件f（x）=f（〖JB（|〗x〖JB）|〗），可直接求解，避开了参数讨论，提高了解题效率。

五、利用数形结合，避开参数讨论

例6、若对一切〖JB（|〗p〖JB）|〗≤2，不等式log22 x + plog2 x + 1 > 2log2 x + p恒成立，求实数x的取值范围。

分析：原不等式可化为：（log2x-1）·p+（log2x-1）2>0，

设函数f（p）=（log2x-1）·p+（log2x-1）2，因为log2x-1≠0，否则题意不成立。〖TP16.TIF，5。1，PZ〗

所以函数f（p）是关于p的一次函数，又f（p）在p∈[-2，2]上恒为正，其图像如图，应满足〖JB（{〗f（2）>0f（-2）>0〖JB）〗