小贝弧线球中的力学原理

毛军 刘小禹

中图分类号：G804 文献标识：A 文章编号：1009-9328（2014）01-000-01

摘 要 “弧线球”往往是一场足球比赛中的看点，看过本文的分析，只要多加练习，您也可以射出精彩的弧线球。

关键字 力学 伯努利 弧线球

在英超联赛中精彩的弧线球射门场景让人记忆犹新，作为一名体育工作者，在感叹球员的精彩球技时，更应关注其中蕴藏的科学道理。在本文中，我将依据自己有限的流体力学知识，分析精彩射门中的力学原理。众所周知，当人给球力的有个角度（0<α<90），就可以让球发生旋转，经过一定的位移后在风力的作用下球会呈弧线运动，这样的球常常能让守门员防不胜防，达到进球的目的。

一、伯努利原理

要弄清楚這个问题，就得先了解一下伯努利原理。伯努利原理认为：“在流水或气流里，如果流速小，对旁侧的压力就大，如果流速大，对旁侧的压力就小。”足球队员用脚踢球时，只踢球的一小部分，把球“搓”起来，球受力，就发生旋转，而当球在空中高速旋转并向前飞行时，它属于刚体的一般运动，它包括了刚体的平移、定轴转动、定点运动等。根据伯努利原理，球就受到了一个横向的压力差，这个压力差，使球向旁侧偏离，而球又是不断向前飞行着，在这种情况下，足球同时参与了两个直线运动，便沿一条弯曲的弧线运行了。

二、伯努利方程式

伯努利方程式：ρv2/2+ρgz+p=常量，实际上是流体运动中的功能关系式，即单位体积流体的机械能的增量等于压力差所做的功。必须指出，伯努利方程式右边的常量，对于不同的流管，其值不一定相同。由方程可知，流速v大的地方压强p小，反之，流速小的地方压强大。在粗细不均匀的水平流管中，根据连续性方程，管细处流速大，管粗处流速小，所以管细处压强小，管粗处压强大。从动力学角度分析，当流体沿水平管道运动时，其质元从管粗处流向管细处将加速，使质元加速的作用力来源于压力差。

三、伯努利原理在足球中的应用

（一）伯努利原理是流体力学中的基本原理，流体运动速度越快，压力越小，且中的压力又是往各个方向都有的。

（二）形成弧线球的力学条件有二：1.踢球作用力（合力）不通过球体的重心——使球体产生转动；2.有一定位移——在空气作用下，旋转的球体发生轨迹改变。弧线球的受力分析：当运动员踢球时，作用力F通过球体重心：球体不发生旋（作用力方向即法线方向）转并沿直线方向运行，获得100%的出球力量，即F1=F×100%。此力不能产生旋转。

当运动员踢球时，作用力F不通过球体重心：与法线成α1=30度时，偏心距X1=5.55cm（足球竞赛规则规定，正式比赛）用球圆周为68-77cm，切线分为F2将产生力矩作用，使球体沿着以F2为切线的方向旋转。击球时的力矩值为：M1=F2×r=2×F×r（M为力矩，F2为切线分力并F2=F/2，r为球体半径。法线分力F1决定出球方向和远度，且F1=86.6%×F，它使球沿F2方向以较小的弧度运行（理论上计算其弧度数值为π/3）。

当踢球作用力与法线成α2=60度时，偏心距X2=9.6cm。切线分为F2将产生力矩作用，使球体沿着以F2为切线的方向旋转。其力矩值为：M2=F2×r=0.8663F×r（式中M2为力矩，F2为切线分力并F2=0.8663F，r为球体半径）。法线分力F1决定出球方向和远度，且F1=50%×F，它使球沿F2方向以较大的弧度运行（理论上计算其弧度数值为2π/3），其运行远度较小。

当踢球作用力与法线成α2=90度时垂直于法线时，只产生力矩使球旋转，而不能使球位移，故不能构成脚背内侧弧线球。

运动员踢球作用力F不通过球体重心，我们把这作用力分解为法线分力F1和切线分力F2。法线分力F2作用的结果，是使球体产生移动前进，且前进速度为V1；切线分力F2作用的结果是使球以ω为旋转速度进行旋转。根据动力学的基本公式，经推导得：

F×t=m×V V=Ft/m，即球的前进速度ω。

F×t×x=J×ω ω=Ftx/J，即球的转动角速度。

因为球的质量和转动惯量均为常量所以，作用于球体的力F和力的作用时间t的值越大，则球体的前进速度V和转动ω角度速度就越快；反之，作用于球体的力F与力的作用时间t的值越小，则球体的前进速度V和转动角速度ω就越慢。而作用力的力臂X的值大即踢球角增大，则转动角速度ω就加快；反之，力臂X的值小即踢球角减小，则转动角速度ω减慢。如果我们把这两种不同的运动按照合成规律（平行四边形法）则组合起来，不难看出：前进速度V和转动角速度越快，那么球体的运行速度越快，且侧旋弧线曲率也增大；反之，球的前进速度V和转动角速度越慢，则足球运行速度也越慢，弧线曲率也减小。

分析结论：踢球作用力F与法线所成角度α增大时（0<α<90），球体旋转越强烈而位移相对减小，反之，减小时，球体旋转就越缓慢而位移相对增大。

依据侧弧线球形成的力学条件，即有一定的旋转速度，又要有一定的位移，所以一般认为在踢定位球时，α角在30度左右到60度之间将产生侧旋弧线球。理想的弧线球多是借助于来球力量、重力和风力等因素，运用不同的脚法以及巧妙的技术动作形成的。

参考文献：

[1] 李玉柱，范明顺.流体力学[M].高等教育出版社.1998.6.