大学微积分与高中数学的衔接

杨泽恒，付卓如

（1.大理学院数学与计算机学院，云南大理 671003；2.大理州实验中学，云南大理 671000）

大学微积分与高中数学的衔接

杨泽恒1，付卓如2

（1.大理学院数学与计算机学院，云南大理 671003；2.大理州实验中学，云南大理 671000）

在分析与大学数学专业微积分相关的高中数学课程内容改革的现状和现阶段大学处理对应内容的状况的基础上，给出一些大学微积分的教学改革建议。

数学分析;微积分;高中数学;衔接

近几年高中数学课程改革的力度很大，不同版本的教材在函数、微积分的处理方面都有很大的不同。但大学数学教师对高中数学课程改革的认识滞后，甚至停留在自己读高中的阶段，这导致大学教师在教学上不能做到与中学教学有机衔接，与学生沟通不畅，教学效益不高。以下分析与大学微积分相关的高中数学课程内容改革的现状和现阶段大学教材处理对应内容的状况，并给出一些大学微积分的教学改革建议。

1 高中数学课程内容改革的现状

2002年国家教育部颁布了《全日制普通高级中学数学教学大纲》，在1990年颁布的《全日制中学数学教学大纲（修订本）》、有关中学数学教学的调整意见的基础上继续将高中数学课程内容分为必修与选修，但进一步明确了文、理科的选修内容（选修Ⅰ、选修Ⅱ）。理科在保持数列极限的基础上，引入了函数极限（原为不作高考要求的选修内容）、连续、导数及其应用，文科删去了数列极限的内容，但引入了导数（从变化率的角度）及其应用。而反函数部分从文、理（必修部分）要求“掌握互为反函数的函数图象之间的关系”及理科要求“理解反三角函数的概念，能由反三角函数的图象得到反三角函数的性质，能运用反三角函数的定义、性质解决一些简单问题”〔1〕弱化为“了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系，会求一些简单函数的反函数”，“会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsin χ、arccos χ、arctan χ表示”（都为必修内容）〔2〕。参数方程与极坐标部分从仅理科要求“使学生理解参数方程的概念，了解某些常用参数方程中参数的几何或物理意义；掌握参数方程与普通方程互化法则；会根据给出的参数，建立相应的参数方程。使学生理解极坐标的概念；会正确进行点和方程的极坐标与直角坐标的互化；会根据所给条件建立直线、圆锥曲线和等速螺线的极坐标方程。”变为文、理都要求“了解参数方程的概念；理解圆的参数方程和椭圆的参数方程”〔2〕。极坐标方程不再被要求。此部分，理科有所弱化，而文科有所加强。

2002年版大纲同时保持了1990年、1996年、2000年版大纲的各显著特点。1990年：常用对数由初中移至高中，部分高中教学内容由必学改为选学，明确说明文史类、理工类要求范围；1996年：确定各类学生选修内容；2000年：重视创新意识和实践能力的培养；重视改进教学测试和评估。

而2003年出版的《普通高中数学课程标准（实验）》进一步弱化反函数概念的要求，不再出现反三角函数符号arcsin χ、arccos χ、arctan χ表示，且“只要求以具体函数为例进行解释和直观理解，不要求一般地讨论形式化的反函数定义和求已知函数的反函数”〔3〕。参数方程与极坐标在选修课系列4中（10个专题，对理科最多也仅建议选择6个专题）作为单独的一个专题出现。极坐标部分要求能进行极坐标和直角坐标的互化；能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程；了解柱坐标系、球坐标系。参数方程部分要求能写出抛物运动轨迹的参数方程、圆和圆锥曲线参数方程；了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出它们的参数方程；了解其他摆线的生成过程，了解摆线在实际中的应用，了解摆线在表示行星运动轨道中的作用。“数列极限、函数极限，函数的连续性”在新课标中不再被要求，但导数的意义文理科都做了加强。理科还增加了定积分的内容。

从以上分析可看出，新课程标准进一步降低了过去高中数学内容中多数学生普遍感到难于接受的反函数的较深要求，且反三角函数等内容不再出现。实践已证明，此部分内容对绝大多数学生是难理解的内容，这种难于理解的内容，往往打击了学生的学习积极性，不利于学生对数学的学习。这样的处理体现了“应删减繁琐的计算、人为技巧的难题和过分强调细枝末节的内容”〔3〕和尊重高中学生的年龄特征和认知规律的改革思想。而对“数列极限、函数极限，函数的连续性”的处理也是基于同样的思想。导数的加强则体现了“在义务教育阶段之后，为学生适应现代社会生活和未来发展提供更高水平的数学基础，使他们获得更高的数学素养；为学生进一步学习提供必要的数学准备”〔3〕和发展学生的数学应用意识、激发学生的学习兴趣的理念。参数方程与极坐标部分的处理体现了“尊重一部分学生怕学习较难数学内容的事实，充分以人为本，同时加强基础性、应用性的内容”的理念。2003年出版的《普通高中数学课程标准（实验）》的选修内容进一步扩大，选修课系列3、4共有16个专题，为学生提供了多种选择，充分尊重学生的兴趣、发展的意愿和不同的数学需求。

2 近几年中学教材关于函数、微积分的处理状况

在根据2002年版大纲编著的高中教科书（以人教版2003年审查通过教材为例）中，在初中以变量引入函数的基础上，通过对应关系的思想引入函数，并将其推广（从数集到一般集合），给出了映射的概念。并引入了奇偶性、周期性、单调性（仅给出严格单调的情况），但对最小正周期仅做了简单介绍，并未证明各三角函数的最小正周期。为降低理解的难度，反函数的引入先说明用y把χ表示出，得到χ=ϕ(y)，再通过映射的思想定义反函数。事实上，“用y把χ表示出，得到χ=ϕ(y)”，一话带有局限性，并非所有反函数都有直接表达式χ=ϕ(y)。

极限方面以实例为基础，通过定性的描述（无限趋近于）引入数列和函数极限概念，并通过函数图像，计算器计算值等方式引入一些具体的极限。函数极限的四则运算法则则直接给出，并将数列作为函数的特例引入数列极限的四则运算法则，而其它极限的性质未给出。

连续概念则通过图形（连续和不连续的各种情况）引入，并从几何直观上看出在闭区间上连续的函数的最值性。对间断点未进行讨论。

《普通高中课程标准实验教科书·数学（A版）》中，函数的处理类似大纲版教材，但仅仅由指数与对数的关系引出指数函数与对数函数互为反函数的关系，对反函数未进行更多的讨论。以52为例对无理数指数幂进行了简要说明（2002年大纲版完全回避无理数指数幂）。对导数，则完全回避极限概念，通过气球膨胀率等较新的实例，直接用极限符号（用趋近于的思想来说明）和瞬时变化率定义导数（既然已用极限符号，没必要刻意回避极限概念，可先用趋近于的思想来引入极限）。在推导出简单的几个基本初等函数求导公式的基础上，直接给出8个基本初等函数求导公式以及和、差、积、商的求导公式，在此基础上，理科简要通过实例引入复合函数概念及求导公式。在导数的应用方面，文、理科无论是单调性的讨论，还是瞬时变化率、最值问题在现实世界中的应用，都在例题和习题方面做了大大加强，更具生动性、现实性和趣味性，并上升归结出数学建模的思想。因为无连续函数的概念，教材都简单用一条连续不断的曲线来说明最值的存在性。定积分方面，通过曲边梯形面积、汽车行驶的路程问题归结出用4步（分割、近似代替（以直代曲、以不变代变）、求和、取极限）定义定积分（但未指出分割的任意性，仅用n无限增大来考虑和式的极限，未考虑无限细分，n无限增大与区间长的最大者趋于零的关系）。并以变速直线运动的运动规律y(t)与速度v(t)的关系和分别以y(t)和v(t)表示时间段[a,b]内的位移的问题得出微积分基本定理，但未引入原函数的概念。定积分的性质、计算方法都未讨论。应用方面主要介绍了在几何方面的应用和在物理方面的应用（变速直线运动的位移，变力做功）。虽然定积分在数学的实际应用中起着重要的作用，教材已降低难度，但学生对定积分定义中的“分割、近似代替、求和、取极限”的理解非常困难，特别是对微积分基本定理的引入思路的理解感到困难，这种困难极易击伤学生学习数学的积极性。事实上，真正利用定积分处理实际问题，往往都最少要有大学相应专业的知识。而在大学都要学习微积分，因此笔者个人认为中学没有必要学习定积分。

3 大学数学分析课程关于函数、微积分处理的现状

函数部分，用映射（对应）的思想定义了函数，并花一定篇幅引入了函数的奇偶性、周期性、单调性、有界性。除了有界性外，函数定义和其它性质的引入方式完全与中学一致，虽然，一些内容进行了比中学深入的讨论，但都作为新的知识，花了一定篇幅引入。反函数概念比中学深入，但将反三角函数作为学生已知的概念直接给出。通过确界或极限思想圆满给出幂函数的定义。

极限方面，严格进行了定义，并通过ε-δ,ε-N语言深入讨论了极限的各种性质、常见的各种极限式和极限存在的条件。

连续性方面，则通过极限、左、右极限，深入讨论了连续、间断、连续函数的性质，完整给出初等函数的连续性。

导数概念，基本导数公式，和、差、积、商的求导公式都作为新知识再次进行了引入和证明。虽然关于导数的四则运算（商除外）在高中已有证明（大纲版），但大学课本仍然花许多篇幅进行证明。导数的应用也做为新的内容进行处理，但与现实世界的联系方面例题和习题不多且陈旧，未引入数学建模的思想。

目前我国很多企业的管理制度并不完善，这是在经济管理过程中出现问题重要原因之一。这种问题体现在以下几点，第一，有很多企业不重视企业内部的经济管理，而是将重点精力过多的放在了投资项目以及比拼市场占有率方面。虽然后者很重要，但是企业的经济管理是开展一切项目的前提，更加不能忽视。

定积分则通过曲边梯形、变力做功问题引入严格定义（特别强调无限细分、分法的任意性和取点的任意性），用定积分定义和微分中值定理证明了微积分基本定理。深入讨论了定积分的性质。应用方面增加了广度和深度。参数方程和极坐标在数学分析中都作为学生已知的知识在定积分等部分有一定应用。

因此，许多中学已引入的概念、方法和完全处理过的问题在大学数学分析中进行了完全一样的重复，而中学未加深讨论的内容，往往大学也未深入讨论。一方面作为学生已学习过的知识，再进行相同的重复，学生易厌倦和反感。另一方面，对于中学未进行深入讨论，特别是未从思想方法上进行分析的概念和方法，在大学仅仅进行简单的重复，学生未能获得比中学更深的知识和方法，没有新颖性吸引学生。

4 大学数学分析课程与中学内容衔接的教学建议

近几年，大一学生既有使用过根据《全日制普通高级中学数学教学大纲》编著的教科书的学生，也有使用过课程标准实验教科书的学生。这增加了大学教学难度。新生入学后，数学分析教师应对学生进行调查，做到教学心中有数，应针对多数学生设计教学方案，注意分类教学和组织学习兴趣小组等形式的学习，并加强课外辅导。

函数部分，在复习中学已学习过的函数、反函数、奇偶性、周期性、单调性的基础上，加强对应思想、映射思想、反函数、严格单调性、最小正周期的理解，通过证明反函数存在的条件，加深对反函数的理解，并引入反三角函数。在中学知识的基础上严格引入指数函数。虽然分段函数和复合函数在中学已学习过，但对一般院校的多数学生而言，对其理解不深，可通过各种类型的习题加强对这部分内容的理解，特别是加强复合函数的拆分，为后面熟练掌握复合函数的求导和换元积分打下坚实的基础。举例说明证明各三角函数的最小正周期的思想。函数的有（无）界性中学未接触过，而且有一定的抽象性，此部分在引入概念后，应当加强练习，特别是无界性的证明，为更抽象的极限定义做准备。

近两年内，用大纲版教科书的学生要多（云南2009年才开始全面使用课程标准实验教科书）。针对这部分学生：

对极限概念，一定要在复习中学已知的定性描述的基础上，通过距离与差的绝对值的关系引入极限的ε-δ,ε-N定义，强调其几何意义，并严格证明每一个基本极限和性质，极限性质的证明应当充分利用其几何意义引导学生理解性质和其证明思想。

通过几何直观并以复习的形式引入连续性，结合几何图形，深入讨论间断点及其分类、闭区间上连续函数的性质及其应用、一致连续性、初等函数的连续性。加强分段函数分段点处连续性的讨论。

导数概念，常见导数公式，和、差、积的求导公式都可以复习的形式引入，对公式的证明在复习的基础上强调证法的关键点，而商的求导公式中学没有的证明，需进行加强，复合函数求导公式的证明和应用应当作为教学重点，特别是应用部分，可分两阶段进行巩固。第一阶段：先拆分函数（引入中间变量符号），再求导（让学生反复练习）；第二阶段：不写出中间变量，直接求导（可先对已讲例题进行示范，并让学生练习已做习题，最后增加新的复杂习题）。在通过左、右导数求分段点处的导数的基础上，后期给出应用导数极限定理求分段点处导数的方法。导数应用方面，加强导数的实际背景、数学建模思想和新的实际应用方面的例题。而对使用课程标准实验教科书的学生，整个导数应用部分可作为已知内容进行复习总结并进一步深化数学建模思想，而极限、连续则需要花较多时间，按新内容引入和讨论。

在定积分涉及参数方程和极坐标之前，无论对哪一类学生都应简要引入参数方程和极坐标知识，为其使用服务。

对用新课标教材学习过定积分的学生，在复习中学已学内容的基础上，给出定积分严格定义和引入微积分基本定理，有机将中学内容和更深的大学内容衔接起来。通过对比，强调中学定义的粗糙性。

高中新课程标准要求发展学生的数学应用意识（新课程标准实验教科书导数应用方面的许多例题和习题值得大学参考），大学更应重视培养学生的数学应用意识，在数学分析课程中，应当以函数思想为中心，进一步通过数学建模思想的渗透，加强应用背景和应用问题的教学。闭区间上连续函数的最大、最小值方法部分就可强调方法的背景和应用，引入一些新颖的与生活实际息息相关的应用问题，通过这样的实例，激发学生的学习兴趣。例如，数学分析中的最小二乘法有非常丰富的实际应用背景。教学中可首先引入一个与最小二乘法有关的实际问题——“计划性升血”（癌症治疗的过程中，寻找最佳升白细胞的用药时机）〔5〕，从这一问题中自然引入最小二乘法的思想及方法，提高学生的学习热情，加深学生对方法，特别是抽象的数学方法在实际问题中的应用思想的理解。

高中新课程标准特别强调倡导自主探索、动手实验、合作交流、阅读、自学等学习数学的方式，大学教学也应当加强这些教学方式，不但在内容上与中学有机衔接，在教学方法上也应当衔接好。

〔1〕中华人民共和国教育委员会.全日制中学数学教学大纲：修订本〔M〕.北京：人民教育出版社，1990.

〔2〕中华人民共和国教育部.全日制普通高级中学数学教学大纲〔M〕.北京：人民教育出版社，2002.

〔3〕中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：实验〔M〕.北京：人民教育出版社，2003.

〔4〕华东师范大学数学系.数学分析：上册〔M〕.北京：高等教育出版社，2010.

〔5〕张立.计划性升血:挽救更多的生命〔J〕.数学通报，2000（1）：28-29.

（责任编辑 袁 霞）

The Connection of University Calculus and the High School Mathematics

YANG Zeheng1，FU Zhuoru2
（1.College of Mathematics and Computer,Dali University,Dali,Yunnan 671003,China;2.Dali Pilot High School,Dali,Yunnan 671000,China）

After making an analysis of the present situation about high school mathematics curriculum reform,this paper gives some educational reform suggestions about university calculus.

mathematics analysis;calculus;high school mathematics;connection

G642.0：O172

A

1672-2345（2014）06-0090-05

10.3969∕j.issn.1672-2345.2014.06.023

2013-09-24

2013-10-24

杨泽恒，教授，主要从事数学教育、非线性泛函分析研究.