一类具有范数有界不确定性的非线性时滞系统的控制

刘碧玉，冯良文，胡顺新，颜爱民，王晓丽，刘建刚

（1.中南大学数学与统计学院，湖南长沙 410083；2.中南大学商学院，湖南长沙 410083；3.中南大学信息科学与工程学院，湖南长沙 410083）

0 引 言

1 系统描述

考虑如下满足Liptchitz条件且具有范数有界不确定性的非线性时滞系统

式中：x（t）∈Rn，u（t）∈Rm，z（t）∈Rm1，w（t）∈Rm2分别是系统的状态向量，控制输入向量，被控输出向量，干扰输入向量，A，A d，B，C，D，D1为适当维数的已知实常矩阵，ΔA，ΔA d，ΔB，ΔC，ΔD，ΔD1是具有适当维数的实函数矩阵，表示系统的不确定性，且这些参数矩阵范数有界并满足

式中：H1，H2，E1，E2，E3，E4是已知的具有适当维数的常数矩阵.M（t）∈Ri×j是一个具有Lebesgue可测元的未知矩阵函数，且满足

式中：I表示适当维数的单位矩阵；d（t）为系统状态滞后，且存在正实数τ，v，使得对所有的时间t满足

引理1 函数f（x）是满足条件的，即对任意的x∈Rn和∈Rn，都存在一个常数矩阵L，使得式（6）成立

引理3［13］设X，Y，Z是给定的k×k阶实对称矩阵，满足X0，且对xTZx0的所有非零向量x∈Rk，有

则存在常数λ0，使得式（7）成立

假设1 设计一个线性状态反馈控制律

当w（t）＝0时，得到系统（1）的闭环系统

定义1 （H∞－γ控制）对于闭环系统（9），寻找所有真的实有理控制器K，使闭环控制系统内部稳定，且闭环传递函数矩阵T zw（s）的H∞范数小于一个给定的常数γ＜0，即

注：G（s）∈H∞为系数的传递函数矩阵，z＝G（s）w为系统的输出.

2 主要结果

定理2.1 针对非线性不确定时滞系统（1），给定正标量τ＞0和v＜1，如果存在n×n阶正定对称矩阵P＝PT＞0，R1＝0，R2＝＞0，以及适当维数矩阵N i，T i（i＝1，2，3，4），使得式（10）矩阵不等式成立

则称系统式（9）在满足条件式（4）和式（5）下是鲁棒二次稳定的.其中

证明：构造如下Lyapunov泛函

对于任意的w（t）∈L2［0，＋∞）且w（t）≠0时，有如下定理：

定理2.2 系统式（1）是具有H∞性能γ当且仅当存在适当维数矩阵N i，T i，S i（i＝1，2，3，4，5），Q及正定对称矩阵P＝PT＞0，R1＝0，R2＝＞0和标量α＞0，β＞0使得式（18）成立

而且如果式（18）满足，则状态反馈控制器

为一鲁棒H∞－γ镇定控制器.

证明 对任意满足式（3）的不确定性M（t），构造同定理2.1的Lyapunov泛涵，并且令

取Ψ＝zT（t）z（t）－γ2wT（t）w（t）＋V′（x（t））.

将式（12）～式（14）改动如下

由schur补可知Θ等价于下面矩阵不等式

显然，式（23）等价于任意具有适当维数的非零向量ζ，式（24）满足

其中标称项

时式（24）左边取最大值，此时需满足

注：通过求解以下的凸优化问题，可以求得闭环系统最优的H∞性能指标γ＊以及相应的鲁棒H∞－γ控制器.

3 数值仿真

利用Matlab软件求解凸优化问题（33）即可得到范数有界不确定性的非线性时滞系统的最优H∞－γ控制器u＊＝－0.498 2x1＋0.001 8x2，相应的干扰抑制度为γ＊＝1.340 636e－005.

4 结 论

本文结合自由权矩阵，牛顿－莱布尼兹公式，给出了范数有界不确定性系统的鲁棒控制二次稳定的充分条件，但是本文采用的是线性状态反馈，而实际中的状态反馈多为非线性的，此外本文中时滞的范围有些宽，实际系统中时滞一般是大于零的，即时滞的范围要小些，对于这些问题还需进一步研究.

［1］ Moon Y S，Park P，Kwon WH，et al.Delay－dependent robust stabilization of uncertain state－delayed sstems［J］Int.J.Control，2001，74（14）：1447－1455.

［2］ Han Qinglong，Gu Keqin.On robust stability of time－delay systems with norm－bounded uncertainty［J］.Automat.Contr.，2001，46（9）：1426－1431.

［3］ Saleh S.Delshad，Thomas Gustafsson，Andreas Johansson.Observer Design for uncertain Discrete－Time Nonlinear Delay Systems：LMI Optimization Approach［C］.20th Mediterranean Conference on Control ＆Automation，Barcelona，Spain，2012：592－597.

［4］ Fridman E，Shaked U.A descriptor system approach to control of time－delayed systems［J］.Auto.Contr.，2002，47（2）：253－279.

［5］ Fridman E.New Lyapunov－Krasovskii functionals fir stability of linear retard and neutral type systems［J］.Syst.Contr.Lett.，2001，43（4）：309－319.

［6］ Li X，de Souza C E.Criteria for robust stability of uncertain linear systems with time－varying state delays［C］.Proc.of 13th World Congress of IFAC，San Francisco，UAS，1996b，137－142，.

［7］ Yu L，Chu J.An LMI approach to guaranteed cost control of linear uncertain time－delay systems［J］.Automatica，1999，35（6）：1155－1160.

［8］ Choi H H，Chung MJ.Memoryless stabilization of uncertain dynamic systems with time－varying delayed states and controls［J］.Automatica，1995，31（9）：1349－1351.

［9］ Kim J H，Jeung E T，Park H B.Robust control for parameter uncertain delay systems in state and control input［J］.Automatic，1996，32（9）：1337－1339.

［10］ Su H Y，Chu J，Wang J C.A memoryless robust stability control for a class of uncertain linear time－delay systems［J］.Int，J.System Science，1998，29（2）：191－197.

［11］ Yu L，Chen G D，Memoryless stabilization of uncertain linear systems with time－varying state and control delays［J］.Advan.Mod.Ana，Series C，49（1）：27－34

［12］ 吴敏，桂卫华，何勇.现代鲁棒控制［M］.长沙：中南大学出版社，2006.

［13］ 苏宏业，褚健，鲁仁全.不确定时滞系统的鲁棒控制理论［M］.北京：科学出版社，2007.