解题后反思，培养数学思维

王辉

摘 要：解题后反思，命题的意图是什么？考核的概念、知识和能力是什么？验证结论是否正确，求解论证过程是否严密有据？不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括，对所蕴含的数学方法、数学思想进行不断地思考并做出新的判断，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学数学。

关键词：解题；反思；数学思维

在平时的教学中，为了提高学生的解题能力，除了做好审题、解题方法、解题步骤等工作之外，解题后的反思也是一个不可缺少的环节。由于学生认识结构水平的限制，表现出对知识不求甚解，不善于解题后对题目进行反思，也不善于纠正和找出自己的错误，缺乏解题后对解题方法、数学思维的概括，掌握知识的系统性较弱，结构性较差。解完一道题后，必须认真地进行探索：命题的意图是什么？考核的概念、知识点是什么？验证结论是否正确合理？求解论证过程是否严密有据？本题有无其他解法？解本类问题的通法是什么？通过解题后的一系列反思，让学生的思维继续飞翔，提高学生的解题能力。

一、积极反思，查漏补缺确保解题的合理性和正确性

解数学题，有时由于审题不清，概念不清，忽视条件或计算出错，难免出现这样或那样的错误。所以解题后，必须对解题的过程进行回顾和评价，对结论的正确性和合理性进行验证。

例1.（2006 北京）已知f（x）=（3a-1）x+4a（x<1）logax（x≥1）是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是 。

A.（0，1） B.（0，■） C.[■，■） D.[■，1）

错解：由题意，3a-1<00

反思：本题考查的是分段函数的单调性，学生大多只考虑两段都减，而未考虑到f（x）是（-∞，+∞）上的减函数，忽视当x=1时，（3a-1）x+4a>logax，即7a-1≥0？圯a≥■，故■≤a<■，正确答案应为C。

二、积极反思，系统小结，重视知识的迁移和应用

解题后，要不断地探究问题的知识结构和系统性，能否对问题蕴含的知识进行纵向深入地探索？能否加强知识的横向联系？通过不断地拓展，加强对知识结构的理解。

例2.（2014 新课标II）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，

f（2）=0，若f（x-1）>0，则x的取值范围是 。

■

解：由题意画出f（x）的简图，由图知f（x-1）>0的解为-2

反思：本题考查的是抽象函数的问题，解题时可以由所给条件画出函数图像，结合函数图像解决问题。可以改变某些条件，深化对这一类型题的理解。如，

（1）若将题中“f（x-1）>0”改为“■>0”，其余条件不变，则答案为： 。

（2）若将题中“f（x）在[0，+∞）单调递减”改为“当x>0时，xf′（x）-f（x）>0”；“f（x-1）>0”改为“■>0”，其余条件不变，则答案为：

。

三、积极反思，探求一题多解和多题一解，提高综合解题能力

数学知识有机联系、纵横交错，解题思路灵活多变，解题方法途径很多，但最终能殊途同归。解题后进一步反思，探求一题多解，多题一解，开拓思路，掌握规律，有创造性地学习、总结，使自己的解题能力更胜一筹。

例3.（2014 陕西）设a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，则 ■的最小值为 。

解：ma+nb≤■+■=■，则■≥■，即■的最小值为■。

反思：本题考查的是不等式问题，除可用均值不等式求解外，还可应用柯西不等式或引入参数求解。具体解法如下：

（1）（柯西不等式）（a2+b2）（m2+n2）≥（ma+nb）2，则■≥■，即■的最小值为■。

（2）（参数法）设a=■cos？兹b=■sin？兹，代入ma+nb=5，并利用辅助角公式化简得：■sin（？茲+？渍），故■≥■，即■的最小值为■。

四、积极反思，整合知识，探究规律，培养思维的创造性

解题不能就题论题，要寻找问题间的本质联系，能否受这个问题的启发，将一些重要的数学思想、数学方法进行有效的整合，对每一个问题都要寻根问底，能否得到一般性的结果，激发学生进一步探索问题的兴趣。

例4.（2013 浙江）已知α∈R，sinα+2cosα=■，则tan2α

。

A.■ B.■ C.-■ D.-■

解：因为：sinα+2cosα=■

∴（sinα+2cosα）2=■

∴4sinαcos2α+3cos2α=■

∴■=■

即3tan2α-8tanα-3=0，解得：tanα=3或tanα=■。

将tanα=3或tanα=■代入二倍角公式，得：tan2α=-■，故选C。

反思：由本题启发我们，对于已知α∈R，asinα+bcosα=c，求tanα的问题，可将已知条件两边平方后，将弦化为切来完成。也可以先求出sinα和cosα的值后，再求tanα。如由本题条件及选项的唯一性，记sinα=■，cosα=■符合要求，从而得到tanα=3，代入二倍角公式得到答案C。

总之，解题后应引导学生不断地对问题进行观察分析、归纳类比、抽象概括。对问题中所蕴含的数学思想、数学方法进行不断的思考总结，逐步养成学生独立思考、积极探究的习惯，并懂得如何学好数学。

参考文献：

罗增儒.数学解题学引论.陕西师范出版社，2004.

？誗编辑 马燕萍