高等数学中反例的若干构造方法

陈文生

摘 要：高等数学中的概念、定理比较多，让学生快速准确地理解并掌握这些概念和定理并非易事，它需要正面的说明解释，还需要从反面对比考证。着重对反例的构造方法和在高等数学中的作用进行了初步探讨。

关键词：反例；构造方法；高等数学；概念；定理

反例是构造法中的一种常见方法，它体现了数学发现、化归、猜想、实验、归纳等思想，它以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，针对具体问题的特点而采取的一种相应的解决方法。反例教学是一种简洁、明晰的教学辅助方法，它对理解数学问题的概念与原理都有极其重要的作用。本文将从反例的构造方法、反例的作用这两个方面进行探讨。

一、反例的几种构造方法及其应用

1.分析数量关系法

有些假命题，题设给定了某些数量关系或隐含了数量关系，当题设满足其中一部分数量关系时，结论就成立；但满足了另一部分数量关系时，结论就不成立。此时，只要注意讨论题设的数量关系，就容易找到反例。

2.分析题设导引法

对命题题设进行分析、推理，找出题设与结论之间的关系（充分条件、必要条件、充要条件），而在题设条件下这些命题有明显的错误。

例1.f（x）=1，0≤x≤12，1

3.构造法

（1）特例构造法

它是利用一些极端情况与典型反例来构造所需的反例。极端情况如，分式的分母为零，三角形中的直角三角形、等腰三角形，两直线平行或相互垂直等；典型反例如，处处不连续的狄里克雷函数等。有了这些特例，必要时灵活地运用，就可构造出所需的反例。

例2.函数y=f（x）在x=x0处连续，是否一定在x=x0的某一邻域内也连续？狄里克雷函数D（x）=1 x为有理数0 x为无理数，处处不连续，利用该例作f（x）=f（x-x0），D（x）=x-x0 x为有理数0 x为无理数，f（x）在x=x0处连续，但在x=x0的任何邻域内都不连续。

（2）性质构造法

性质构造法是根据反例本身的性质与特点，按一定的技能进行反例的构造。康托曾构造出一个连续单调函数，其导数几乎处处为零的例子，即，康托函数。这种构造的函数看起来人为因素强，却符合数学现成的理论与规律。

例3.关于半偶数方阵不存在的猜想。传说普鲁士阅兵时，需从6个部队中选派6个不同级别的军官各一名，共36人组成方队，但要求每一行每一列都有各部队、各级别的代表，这就是“36名军官问题。”欧拉当时并没有排出。但他猜想当n=4m+2，m=0，1，2……（通常称为半偶数）时，方阵不存在。欧拉以后，不少数学家把欧拉方阵作为两个拉丁方阵来研究，若能证明n为半偶数时，不存在两个正交拉丁方阵，就相当于证明了欧拉猜想。一个多世纪以来，认为欧拉猜想正确的思想一直占优势。1959年，印度数学家玻包和史里克汉德找到一个n=22的正交拉丁方阵，这个反例推翻了欧拉猜想。随后，美国数学家派克又构造了n=14，26的正交拉丁方。他们以出色的反例结束了论证170多年的猜想。

（3）比较构造法

此类构造从两个不同角度看，有两种不同形式。其一是根据已知反例的特点与思维方法，在新的范围内构造出类似的反例。如，魏尔斯特、拉斯用级数的方法构造出一个无处可微的连续函数，此法被广泛应用，构造出许多无处可微的连续函数。另一种是将所给命题与相似的已知命题作比较，找出其不同之处，构造反例。

（4）利用分类的方法

分类就是依据某一确定的特征，把满足题设及所有情况分为若干个并列的类（若是概念，则对其外延进行分类），然后逐步去考察，是否能得到题断。必要时，还要对上述的类依据某种特征再次分类考察，直接构造出反例来。最常见的是二分法，即，将题设的所有情况分为两类，使一类具有某种属性，而另一类不具有此种属性。若前一类情况可设成立，则考察后一类情况。甚至可对后一类情况继续施行二分法分类。

例4.试举例说明下述命题是假的：若数f（x）在[a，b]上有界，则f（x）在[a，b]上的定积分存在。就有界函数而言，可分为连续和不连续两类：在[a，b]上连续的函数（当然有界），那么它的定积分必然存在。若f（x）在[a，b]上有界但不连续，则可又依据间断点的情况分为两类：有限个间断点和无限个间断点。若是第一类，f（x）也是可积的。若是第二类，则f（x）不一定可積。取f（x）=1 x为有理数0 x为无理数，考察其在[0，1]上的情况。显然f（x）是有界的，但它有无限个间断点。由定积分的定义可知，f（x）在[0，1]上是不可积的，这就说明了上述命题为假命题。

4.定义法

由定义、法则出发，对照分析，抓住容易疏忽的条件，创设反例。（如分母不为零等）

二、反例在高等数学教学中的作用

1.用反例有利于命题结论的掌握

能使学生准确理解概念和正确掌握定理数学的知识体系是由概念和命题等内容组成的，学生的抽象概括能力、逻辑思维能力、空间想象能力、分析运算能力、解决问题能力都是以清晰、正确的概念为基础的。因此，深刻理解高等数学中的基本概念，是学好高等数学的根本。而正确使用每一个数学定理则是学好高等数学的关键。在高等数学教学中，对一些定义、定理及有关命题的叙述，单纯从理论上判断是很抽象的，学生在应用这些公式、定理、法则时常常忽视它们的前提条件，随意超出定理的适用范围去使用造成失误，而反例不但会加深学生对概念、定理中的关键词和本质特征的认识理解，使概念的内涵和外延更加明确清晰，而且可把定理中的条件、结论之间的充分性、必要性指示得一清二楚，达到强化条件的目的。

2.反例可以澄清数学概念与定理，增加其确切性与清晰度

数学中的概念与定理有许多结构复杂、条件结论犬牙交错，使人不容易理解。反例则可以使概念更加确切与清晰，将定理的条件、结论之间的关系解释得一清二楚。如，讨论周期函数及其最小正周期时，不少人以为周期函数必有最小正周期，可以举出反例澄清这种看法：f（x）=1 x为有理数-1 x为无理数，这个函数以任何有理数T为周期，而有理数中，无最小正数，所以f（x）没有最小正周期。

3.利用反例，可以加强对基本概念、定理和规则的理解

高等数学中有许多概念、定理和规则，接受起来有一定的困难，如果我们运用反例，从另一个侧面抓住概念，定理和公式的实质，从而可以促进学生对知识的理解与辨析。

4.反例可以提高学生的数学修养，进而培养他们的科学研究能力

面对一个数学问题的解答，运用反例可以检验答案是否正确。如果发现有误，通过反例引导学生寻求错因。反例会把错误的原因十分突出地衬托出来，使学生对比有关定义、定理和结论反思自己出现的错误，加深对知识的理解，抑制知识的负迁移。正如数学家维奥拉所说：“通过反例，不仅可以检验学生是否已经正确而深入地了解了数学的真谛，还可以锻炼学生的智力，并将学生的判断和推理严格地约束在一种顺序之中。”

三、反例法在数学领域的重大意义

在数学史上，恰当的反例法往往推动了数学的发展。这样的例子不胜枚举，例如，鲍耶与罗巴切夫斯基提出了欧氏几何平行公设的反例：通过已知直线外任意一点可以作无数条直线与已知直线平行。以其代替欧氏几何平行公理，建立了新的几何体系——罗氏几何；另一非欧几何的创立者黎曼则在球面上创立了欧氏几何平行公设的另一反例：“过直线外任意一点没有直线与之平行”，爱因斯坦的相对论就建立在黎曼几何模型之上。在数学发展史上，很多理论的建立和完善都是在正面证明无法进行的情况下，采用数学反例却又柳暗花明，从而形成了新的理论和概念。

总之，数学反例既是对命题十分简明的否定，又是对命题有说服力的肯定，是证伪、纠错和发现正确认识的极富说服力的思想方法。它以广泛抽象的普遍性与现实问题的特殊性为基础，体现了数学发现、化归、猜想、实验、归纳等思想，是一项积极的创造性思维活动。它往往能起到正例难以起到的作用，是高等数学教学中一项有效的教学辅助手段，但运用数学反例须注意适时适当，要在学生对所学知识有一定认识和理解的基础上，根据学生的知识掌握情况和接受性原则提出反例，所构造的反例力求简单明了、能说明问题，切忌繁杂或说明问题不确切。

参考文献：

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